數(shù)學(xué)歸納法

已知函數(shù)f（x）=ln（2-x）+ax在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù).

（1）求實數(shù)a的取值范圍；

（2）若數(shù)列{an}滿足a1∈（0，1），an+1=ln（2-an）+an，n∈N？鄢，證明0

破解思路 （1）先把函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上遞增轉(zhuǎn)化為f ′（x）≥0在區(qū)間（0，1）上恒成立，然后運(yùn)用分離常數(shù)法求出實數(shù)a的取值范圍.

（2）先用數(shù)學(xué)歸納法證明0

完美解答 （1）因為函數(shù)f（x）=ln（2-x）+ax在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)，所以f ′（x）= +a≥0在區(qū)間（0，1）上恒成立，所以a≥ . 又g（x）=在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)，所以a≥g（1）=1，即實數(shù)a的取值范圍為a≥1.

（2）先用數(shù)學(xué)歸納法證明0

當(dāng)n=1時，a1∈（0，1）成立；

假設(shè)n=k時，0

當(dāng)n=k+1時，由（1）知a=1時，函數(shù)f（x）=ln（2-x）+x在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)，

所以ak+1=f（ak）=ln（2-ak）+ak，所以0

即0

再證anln1=0.

所以an