不等式恒成立問題

李世明

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2013）05-0135-01

確定不等式恒成立時(shí)參數(shù)的取值范圍，是學(xué)生不易解決的難點(diǎn)問題。不等式恒成立問題是高考及各類考試的命題熱點(diǎn)，因此也就成為我們數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。解答這類問題主要有四種方法：其一，利用一次函數(shù)的單調(diào)性；其二，利用二次函數(shù)的單調(diào)性；其三，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值；其四，利用數(shù)形結(jié)合法。

方法一：利用一次函數(shù)的單調(diào)性

設(shè)一次函數(shù)f（x）=ax+b （a≠0），當(dāng)a > 0時(shí)f（x）在R上是增函數(shù)；當(dāng)a<0時(shí)f（x）在R上是減函數(shù)。所以關(guān)于不等式恒成立問題，若能將不等式化為關(guān)于主元（或參數(shù)）的一次函數(shù)，則可用一次函數(shù)的單調(diào)性求解。

具體情況為：當(dāng)x∈[m，n]時(shí)，

f（x）>0恒成立？圳a>0f（x）min=f（m）>0或a<0f（x）min=f（n）>0；

f（x）<0恒成立？圳a>0f（x）max=f（n）<0或a<0f（x）max=f（m）<0；

或x∈[m，n]時(shí)，f（x）>0恒成立？圳f（m）>0f（n）>0；

x∈[m，n]時(shí)，f（x）<0恒成立？圳f（m）<0f（n）<0；

例.對(duì)于任意的|m|≤2，函數(shù)f（x）=mx2-2x+1-m恒為負(fù)值，求x的取值范圍。

解法一：對(duì)任意的|m|≤2，函數(shù)f（x）=mx2-2x+1-m恒成立，等價(jià)于關(guān)于m的一次不等式（x2-1）m-2x+1<0在|m|≤2上恒成立。

設(shè)g（m）=（x2-1）m-2x+1，則有

x2-1>0g（2）<0，或x2-1<0g（-2）<0，或x2-1=0g（m）=-2x+1<0，

即x2-1>02（x2-1）-2x+1<0，或x2-1<0-2（x2-1）-2x+1<0，或x2-1=0-2x+1<0。

解得1

∴■

解法二：對(duì)任意的|m|≤2，函數(shù)f（x）=mx2-2x+1-m<0恒成立，（x2-1）m-2x+1<0在|m|≤2上恒成立。

設(shè)g（m）=（x2-1）m-2x+1，則有g(shù)（-2）<0g（2）<0，

即-2（x2-1）-2x+1<02（x2-1）-2x+1<0，即2x2+2x-3>02x2-2x+1<0，

解得■

總結(jié)：對(duì)于此類問題，我們不妨換個(gè)角度看問題，換個(gè)方面去解釋，換個(gè)方向去思考，往往會(huì)收到意想不到的效果。

方法二：利用二次函數(shù)的單調(diào)性

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a>0），其圖象是開口向上的拋物線，在區(qū)間[-■，+∞]上f（x）是增函數(shù)，在區(qū)間[-∞，-■]上是減函數(shù)。所以：f（x）>0在R上恒成立？圳a>0△<0；

f（x）>0在區(qū)間[m，n]上恒成立？圳-■>nf（n）>0或-■0或△<0。

例1.設(shè)f（x）=x2-2ax+2，當(dāng)x∈[-1，+∞）時(shí)，都有f（x）≥a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解：設(shè)g（x）=f（x）-a=x2-2ax+2-a

則問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x∈[-1，+∞）時(shí)g（x）≥0恒成立，

∴有△≤0或-■≤-1g（-1）≥0，

即4a2-4（2-a）≤0或a≤-11+2a+2-a≥0，

解得-2≤a≤1或-3≤a≤-1。

∴-3≤a≤1即為所求a的取值范圍。

例2. 若對(duì)于任意x∈（0，1），恒有2x2+（a+1）x-a（a-1）<0，求a的取值范圍。

解：令f（x）=2x2+（a+1）x-a（a-1）<0，∵對(duì)任意x∈（0，1），恒有f（x）<0，∴有f（0）≤0f（1）≤1，即-a（a-1）≤02+（a+1）-a（a-1）≤0，解得a≤-1或a≥3即為所求。

方法三：分離參數(shù)，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值

關(guān)于x的不等式f（x，λ）≥0在區(qū)間D上恒成立，變形并分離出參數(shù)λ得F（λ）≥G（x）或F（λ）≤G（x）在區(qū)間D上恒成立，則有關(guān)系式F（λ）≥G（x）max，或F（λ）≤G（x）min，從中可求出參數(shù)λ的取值范圍。

例1.求■+■≤a■（x>0，y>0）恒成立的a的最小值。

解：由■+■≤a■（x>0，y>0）恒成立，得a≥■恒成立。∴只需a≥（■）max。

∵■=■=■

=■≤■

=■=■，

∴（■）max=■.∴a≥■.∴a的最小值是■。

例2.設(shè)f（x）=lg■，其中a是實(shí)數(shù)，n是任意給定的自然數(shù)且n≥2，如果f（x）當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)恒有意義，求a的取值范圍。

解：f（x）當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)有意義的條件是1+2x+3x+…+（n-1）x+nxa>0在x∈（-∞，1]上恒成立，即a>-[（■）x+（■）x+（■）x+…+（■）x]在（-∞，1]上恒成立。

∵函數(shù)y=-（■）x（k=1，2，3，…，n-1）在（-∞，1]都是增函數(shù)，

g（x）=-[（■）x+（■）x+（■）x+…+（■）x]在（-∞，1]上也是增函數(shù)，從而g（x）在x=1時(shí)取得最大值為

g（1）=-（■+■+■+…+■）

=-■=-■。

∴只需a>g（x）max=g（1）=-■，

∴a的取值范圍是a>-■。

方法四：數(shù)形結(jié)合法求解不等式恒成立問題

例：如果不等式x2-logmx<0在（0，■）內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解：在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=x2和y=logmx的圖像，可看出當(dāng)m>1時(shí)原不等式不成立。從而0x2在x∈（0，■）上恒成立，只需當(dāng)x=■時(shí)滿足logm■≥■。

解得m≥■. ∴■≤m<1即為實(shí)數(shù)m的取值范圍。