渦方法求解運(yùn)動(dòng)邊界問(wèn)題

許利波　陳君　楊慶國(guó)

摘 要：現(xiàn)代工業(yè)許多工程問(wèn)題都與運(yùn)動(dòng)邊界的流體問(wèn)題相關(guān)，如何快速地對(duì)運(yùn)動(dòng)邊界流體問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值模擬一直是備受關(guān)注的問(wèn)題。傳統(tǒng)CFD方法往往需要在每一步進(jìn)行網(wǎng)格重構(gòu)，從而大大地增加計(jì)算量。對(duì)已有渦方法進(jìn)行改進(jìn)，提高其計(jì)算效率與精度，使其更能滿足工程問(wèn)題的需要。

關(guān)鍵詞：運(yùn)動(dòng)邊界流體問(wèn)題 渦方法 數(shù)值模擬

中圖分類號(hào)：TB126 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-3973（2013）005-096-03

1 引言

自從18世紀(jì)工業(yè)革命以來(lái)，許多科學(xué)家一直在尋求推力大，效率高，具有工業(yè)應(yīng)用價(jià)值的推進(jìn)裝置。計(jì)算流體力學(xué)（CFD）的飛速發(fā)展，使其在與流體力學(xué)相關(guān)的各個(gè)工程設(shè)計(jì)中起到越來(lái)越重要的作用。現(xiàn)代的飛機(jī)以及航空發(fā)動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)，很大程度上依賴于計(jì)算流體力學(xué)的應(yīng)用。用數(shù)值模擬的方法輔助葉輪機(jī)設(shè)計(jì)的歷史可以追溯到19世紀(jì)40年代，而吳仲華1951年的工作中提出的流線曲率法在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)都是設(shè)計(jì)葉輪機(jī)械的最有效的數(shù)值設(shè)計(jì)工具，直到上世紀(jì)八十年代三維數(shù)值模擬逐漸得到應(yīng)用。CFD的應(yīng)用可以大大的縮短設(shè)計(jì)周期，對(duì)整個(gè)設(shè)計(jì)做出很好的預(yù)測(cè)和評(píng)估，節(jié)約設(shè)計(jì)成本，特別是實(shí)驗(yàn)上人力物力的投入。無(wú)論是飛機(jī)設(shè)計(jì)還是葉輪機(jī)設(shè)計(jì)，傳統(tǒng)方法都是建立在定常流動(dòng)的基礎(chǔ)之上的，即利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的原理，假設(shè)飛機(jī)或者葉柵靜止并給定來(lái)流，以此模擬物體在流體中的運(yùn)動(dòng)，并獲得其氣動(dòng)性能。風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)其實(shí)也是利用相同的原理。但是，在我們的日常生活以及工程實(shí)際中，物體之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)是普遍存在的。雖然建立在定常流動(dòng)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)之上的傳統(tǒng)方法（物體邊界看做靜止）已經(jīng)使我們的飛機(jī)、船舶、地面燃?xì)廨啓C(jī)等等可以順利的工作，但是如果能有方法能行之有效的模擬和研究物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的非定常效應(yīng)，完全有可能使目前的許多工程問(wèn)題得到更好的解決。具體到航空發(fā)動(dòng)機(jī)領(lǐng)域，我們希望通過(guò)目前的研究來(lái)分析解決葉輪機(jī)設(shè)計(jì)中所面臨的許多運(yùn)動(dòng)邊界的問(wèn)題，例如：轉(zhuǎn)子靜子干涉，葉片顫振等等

都是目前還沒(méi)有完全認(rèn)識(shí)和理解的問(wèn)題。另一方面，Weis-fogh機(jī)制的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了大量關(guān)于非定常升力產(chǎn)生機(jī)制以及微小飛行器的研究。從眾多已有的工作中我們可以看到，由于這類問(wèn)題本身必須考慮物體之間的相互運(yùn)動(dòng)，用傳統(tǒng)方法是很難模擬這樣的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。我們目前的工作主要就是嘗試建立合理的數(shù)值模擬方法以及物理模型，來(lái)研究這樣三個(gè)流體物理問(wèn)題：空發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)部轉(zhuǎn)子靜子干涉及其引起的一些相關(guān)問(wèn)題。

Chorin在1973年提出的渦方法（vortex method）首先是為了求解粘性流動(dòng)問(wèn)題。其基本思想是以離散分布的點(diǎn)渦來(lái)描述流場(chǎng)，點(diǎn)渦與物體邊界都是在拉格朗日（Lagrange）坐標(biāo)系下來(lái)表述的，通過(guò)分別解對(duì)流步（convection step）和擴(kuò)散步（diffusion step），得到流場(chǎng)隨時(shí)間變化的結(jié)果。Chorin的工作是以隨機(jī)走步（Random-Walk）的方式來(lái)處理擴(kuò)散步的，可以模擬許多粘性流動(dòng)問(wèn)題，如鈍體尾跡等。但是，這種隨機(jī)走步的方式并不具有很好的收斂性（Cottet，G.-H.（2000）），必須有大量的渦元才能比較準(zhǔn)確的結(jié)果。由于渦元隨機(jī)走步的特性，使得壁面上的物理量分布也發(fā)生隨機(jī)漲落，壁面上的物理量也就不易算準(zhǔn)。所以，隨機(jī)走步渦方法很難對(duì)非定常的N-S方程做出適時(shí)準(zhǔn)確的模擬。因此后來(lái)開(kāi)始使用粒子強(qiáng)度交換法（PSE-Particle Strength Exchange），這是在Cotte G. H.， Mas-Gallic S等人的工作基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種處理渦量擴(kuò)散過(guò)程的方法。這種方法中，渦元的強(qiáng)度在移動(dòng)過(guò)程中是不斷相互交換變化的，這避免了隨機(jī)走步所引起的隨機(jī)漲落，使模擬精度有明顯的提高。通過(guò)一系列的工作驗(yàn)證，這種以PSE為基礎(chǔ)的渦方法是可以比較準(zhǔn)確的模擬非定常的不可壓N-S方程。而由于方法本身采用對(duì)渦元和物體邊界都采用統(tǒng)一的Lagrange坐標(biāo)系來(lái)描述，使其能很方便地處理運(yùn)動(dòng)邊界的問(wèn)題。

2 渦方法及其數(shù)值結(jié)果

3 結(jié)論

從數(shù)值模擬的結(jié)果來(lái)看，渦方法可以比較好的模擬運(yùn)動(dòng)邊界條件下的流體機(jī)械問(wèn)題。渦方法具有這樣一些優(yōu)點(diǎn)：

（1）邊界條件通過(guò)假設(shè)渦層來(lái)處理，實(shí)際是一種物理建模，這種是一種解析的方式，計(jì)算中不會(huì)像許多算法一樣隨著雷諾數(shù)的增加對(duì)網(wǎng)格的要求迅速增加。

（2）對(duì)于物體個(gè)數(shù)不多的情況下，計(jì)算速度較快，處理運(yùn)動(dòng)邊界問(wèn)題比較自然。

（3）比較容易滿足自由邊界條件。

對(duì)于如何將渦方法應(yīng)用于工程實(shí)際問(wèn)題，還需要進(jìn)一步的數(shù)值研究與實(shí)驗(yàn)研究相結(jié)合，我們相信用渦方法可以揭示很多以往比較難以解決的流體物理問(wèn)題。

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