利用導(dǎo)數(shù)解決圓錐曲線中的切線問(wèn)題

陳建參

摘 要： 文章認(rèn)為，根據(jù)圓錐曲線特別是拋物線的全部或局部函數(shù)性，利用導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)的方法，可以順利解決圓錐曲線中的切線問(wèn)題.

關(guān)鍵詞： 圓錐切線 函數(shù)性 導(dǎo)數(shù) 切線斜率

圓錐曲線問(wèn)題與導(dǎo)數(shù)的工具性的交叉滲透，很自然地做了一個(gè)知識(shí)點(diǎn)和能力上的交匯整合.在2012年的高考題中，總體的體現(xiàn)是題型新穎，難度跨度增大，特別是對(duì)考生的運(yùn)算求解能力的要求提高，但如果能利用好導(dǎo)數(shù)，則可以使解題變得簡(jiǎn)捷巧妙.

【點(diǎn)評(píng)】化拋物線方程為函數(shù)形式，根據(jù)曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，從而把點(diǎn)的坐標(biāo)與直線的斜率聯(lián)系到一起，這是寫出切線方程的關(guān)鍵.

（I）求拋物線E的方程；

（II）設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P，與直線y=-1相交于點(diǎn)Q，證明：以PQ為直徑的圓恒過(guò)y軸上某定點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為圓錐曲線的定義，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，以及定值的證明，關(guān)鍵是把拋物線方程化為函數(shù)形式，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.

【點(diǎn)評(píng)】開(kāi)口向左或向右的拋物線方程不是函數(shù)形式，但如果只取軸的上方或下方部分，就是函數(shù)關(guān)系了，利用導(dǎo)數(shù)就可以解決相應(yīng)切線問(wèn)題.

【點(diǎn)評(píng)】該試題出題的角度不同尋常，因?yàn)樯婕暗氖莾蓚€(gè)二次曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，并且要研究?jī)汕€在公共點(diǎn)出的切線，是該試題的創(chuàng)新之處.另外，在第二問(wèn)中難度加大了，出現(xiàn)了另外兩條公共的切線，這樣的問(wèn)題在我們以后的學(xué)習(xí)中也是需要練習(xí)的.

利用導(dǎo)數(shù)求解圓錐曲線的切線問(wèn)題，關(guān)鍵在于設(shè)切點(diǎn)求斜率，把解析幾何和導(dǎo)數(shù)的工具性結(jié)合起來(lái)，作為一種思維方式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)捷、實(shí)用和綜合性.