導(dǎo)數(shù)問題中的錯例剖析

秦勤

摘要：導(dǎo)數(shù)的引進無疑為中學(xué)數(shù)學(xué)注入了新的活力，但由于概念的抽象性，對基礎(chǔ)知識掌握不全面或?qū)︻}意理解不準(zhǔn)確，在應(yīng)用中出現(xiàn)一些錯誤現(xiàn)象。本文對幾類常見錯誤進行剖析，以期引起大家的注意，試圖對學(xué)生今后的學(xué)習(xí)有所啟迪與幫助。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)問題；錯例；剖析

中圖分類號：G642 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）52-0097-02

導(dǎo)數(shù)的引進無疑為中學(xué)數(shù)學(xué)注入了新的活力，但由于概念的抽象性，對基礎(chǔ)知識掌握不全面或?qū)︻}意理解不準(zhǔn)確，在應(yīng)用中出現(xiàn)一些錯誤現(xiàn)象。本文對幾類常見錯誤進行剖析，以期引起大家的注意，試圖對學(xué)生今后的學(xué)習(xí)有所啟迪與幫助。

一、對單調(diào)性判定法則的理解發(fā)生偏差

例1？搖判斷函數(shù)f（x）=x-cosx在定義域區(qū)間（-∞，+∞）上的單調(diào)性。

錯解：f（x）=1+sinx，當(dāng)x=2kπ+■（k∈Z）時，f（x）=0，不滿足f（x）>0，所以f（x）=x-cosx不是單調(diào)函數(shù)。

剖析錯解：教科書中指出：“函數(shù)y=f（x）在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f（x）>0，則f（x）為增函數(shù)；如果f（x）<0，則f（x）為減函數(shù)”，這僅是判定函數(shù)單調(diào)性的充分條件而不是必要條件，實際上，如果僅在某些個別點出現(xiàn)f（x）=0，但在其余點都是使f（x）>0，那么f（x）仍是增函數(shù)。

正解：f（x）=1+sinx，僅當(dāng)x=2kπ+■（k∈Z）時，f（x）=0，所以f（x）≥0，從而f（x）=x-cosx是增函數(shù)。

二、忽視導(dǎo)數(shù)的幾何意義

例2？搖已知曲線f（x）=2x3-3x，過點M（0，32）作曲線f（x）的切線，求切線的方程。

錯解：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知：k=f（0）=-3

所以曲線的切線方程為Y=-3x+32。

剖析錯解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線上該點的切線的斜率，因此要注意此點是不是在曲線上。

正解：設(shè)切點坐標(biāo)為N（x0，2x03-3x0），則

切線斜率為k=f（x0）=6x02-3

切線方程為y=（6x02-3）x+32

又點N在切線上，故有：

2x03-3x0=（6x02-3）x0+32，得x0=-2

所以切線方程為y=21x+32。

三、忽視閉區(qū)間上極值與最值的關(guān)系

例3？搖求函數(shù)f（x）=x3-2x2+x在[-3，3]上的最值。

錯解：f（x）=3x2-4x+1

令f（x）=3x2-4x+1=0

解得x=1，x=■

所以，極值點為x=1與x=■。

因為f（1）=0，f（■）=■

所以函數(shù)的最大值為■，最小值為0。

剖析錯解：閉區(qū)間上的最值問題是極值點處的函數(shù)值與端點處的函數(shù)值進行比較，然后取其最大值和最小值，而不能簡單地把極值等同于最值。

正解：f（x）=3x2-4x+1=0

令f（x）=0

解得x=1，x=■

所以，極值點為x=1與x=■

所以f（1）=0，f（■）=■

F（-3）=-48，f（3）=12

所以函數(shù)的最大值為12，最小值為-48。

四、給定區(qū)間是單調(diào)區(qū)間的全集還是子集

例4？搖若函數(shù)f（x）=x3-mx2+2m2-5的遞減區(qū)間是（-9，0），求m。

錯解：f（x）=3x2-2mx<0得■m

所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（■m，0），所以（■m，0）？勐（-9，0）

所以■m≤-9即m≤-■。

剖析錯解：沒有看清楚條件，若告訴f（x）在（-9，0）上單調(diào)遞減，則上述解法是正確的，這與告訴遞減區(qū)間是（-9，0）是不一樣的，錯解的原因就在于分不清兩者的差異。

正解：f（x）=3x2-2mx<0得■m

所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（■m，0），所以■m=-9

所以m=-■。

五、注意單調(diào)性的充要條件

例5 已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+3x-1（a>0），且f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范圍。

錯解：f（x）=3x2+2ax+3>0，得△=4a2-4×3×3<0，

所以a2<9，即0

剖析錯解：錯在沒有考慮f（x）=0

正解：f（x）=3x2+2ax+3，因為f（x）在R上是增函數(shù)，所以f（x）≥0在R上恒成立。得△=4a2-4×3×3≤0故a2≤9，即0

六、導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點

例6？搖已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為10，求

f（x）。

錯解：f（x）=3x2+2ax+b

則？搖f（1）=0？圯3+2a+b=0f（1）=10？圯1+a+b+a2=10 ？搖所以a=4b=-11或a=-3b=3

所以f（x）=x3+4x2-11x+16或f（x）=x3-3x2+3x+9。

剖析錯解：錯解在于認為導(dǎo)數(shù)為0的點就是極值點。實際上導(dǎo)數(shù)為0的點只是存在極值可疑點，若它的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，它才為極值點；若同號，則不為極值點。

正解：求出a，b得解析式后，應(yīng)再看f1（x）=3x2+8x-11=（3x+1）（x-1），f2（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2，易知f2（x）在x的兩側(cè)同號，所以x=1不是f（x）的極值點，故f（x）=x3+4x2-11x+16為所求。