回眸歷史看豎式

在倡導“自主學習”的今天，課堂教學給教師提出了一個挑戰(zhàn)，即如何看待并應對學生不同于預設的生成。以計算教學為例，教科書所呈現(xiàn)的過程并不能窮盡所有可能的方法，這就容易使教師誤認為教科書中的方法是唯一正確的，或者是最好的。因此，教師在教學中極易對學生富于創(chuàng)造性的自創(chuàng)算法采取抵觸甚至否定的態(tài)度。

從歷史的視角看，計算的過程與方法是多種多樣的。當今教科書中所謂的標準方法是人們長期以來約定俗成的，并且被認為是書寫最簡約、工整的方法，是無數(shù)種計算方法經(jīng)過演變并篩選出來的。從認知的角度看，這些方法并非是最自然的，書寫的簡約和工整隱藏了應當有的思考過程。因此需要回眸歷史審視計算方法，一方面可以感受到多樣化的算法，另一方面可以讓隱藏在算法背后的想法顯現(xiàn)出來，尋找到對學生的學習最自然的方法。

一、與現(xiàn)在不同的豎式

在如今數(shù)學教科書中整數(shù)加法、減法和乘法的豎式計算中，通常都會提出兩個要求，第一是數(shù)位右側(cè)（個位）對齊，第二是從低位算起。歷史上的算法并非都是如此，比如對于“135×12”就有如圖1的豎式計算方法。[1]

圖1 從高位算起的乘法豎式

這個計算過程是將上面的因數(shù)“135”看作“100+30+5”，第一步是計算出100個“12”等于1200，“0”省略不寫，把“12”寫在橫線下第一行；第二步是計算30個“12”等于“360”，用同樣方法寫在第二行；第三步算出5個“12”等于“60”寫在第三行。最后計算出三個部分積的和。這個過程是從高位到低位逐步計算的，而且每一步計算結(jié)果都另起一行，避免了計算過程中的進位。

類似于此還可以把下面的因數(shù)“12”看作“10+2”，先計算10個“135”等于“1350”，再計算2個“135”等于“270”，之后把這兩個部分積相加得到1620。（見圖2）

圖2 從高位算起的乘法豎式[2]

由此看出，所謂“從低位算起”并不是唯一確定、不能違背的，從高位算起應當是更加自然的思考方式，比如日常生活中的估算通常都是從高位算起的。[3]

除法是四則運算中難度最大的一種，歷史上出現(xiàn)過許多現(xiàn)在看起來極其煩瑣的計算方法。與現(xiàn)在除法豎式比較接近的一種，是出現(xiàn)于公元980年的Gerbert方法。[4]以“900÷8”為例，現(xiàn)在教科書中針對于此題的豎式計算應當是如圖3的寫法。

圖3 標準除法豎式

Gerbert方法與現(xiàn)在標準除法豎式不同的是將除數(shù)寫為“10-2”，將商寫在被除數(shù)右側(cè)，而且并不是取最大數(shù)作為試商，而是取便于計算的數(shù)。（見圖4）

圖4 Gerbert方法示意圖[5]

上述過程的第一步選擇商為90，是為了與10相乘得到900；第二步商18是為了與10相乘湊出180，以下依次類推。這個求商的思考過程與現(xiàn)在教科書中的過程顯然是不一樣的。Gerbert方法經(jīng)過演變，還出現(xiàn)過如圖5的除法豎式。

圖5 逐級寫商的除法豎式

這個過程的特點是將圖3標準算法中隱藏的位值原理顯現(xiàn)出來了，表面看書寫得比較煩瑣，但過程更加自然、直觀并易于理解了。

二、《御制數(shù)理精蘊》中的以乘算除

《御制數(shù)理精蘊》是清代康熙皇帝親自主持編寫的一套科學著作，其中下編卷一“歸除”章中介紹的除法計算極具特色，利用乘法豎式的寫法計算除法。比如針對問題“設如有米六十四石，令八人分之，每人得幾石”，列出的算式也就是對“64÷8”的計算，采用了如圖6的寫法。

圖6 《御制數(shù)理精蘊》中“64÷8”的計算

原書中對計算過程的描述為：“法以六十四石為實列于下，八人為法列于上，因法之八大于實之首位之六，故將法退一位書之。再看實足法幾倍，今足八倍，故書八于法上。乃以得數(shù)之八與法之八相因得六十四書于實下，與實相減恰盡，得數(shù)為八石也?！盵6]這一過程可以用現(xiàn)在的語言分如下幾個步驟解釋：

第一步：把被除數(shù)64寫在下面，除數(shù)8寫在上面。因為除數(shù)8大于被除數(shù)最高位6，所以要退一位寫（見圖7）。這實際上是運用乘法計算除法，相當于思考“8乘多少等于64”。

圖7 《御制數(shù)理精蘊》除法詳解示意圖之一

第二步：看被除數(shù)最多包含了除數(shù)的幾倍，可以看出最多包含8倍，所以在除數(shù)上面寫8。（見圖8）

圖8 《御制數(shù)理精蘊》除法詳解示意圖之二

第三步：將得數(shù)8與除數(shù)8相乘得64，寫在被除數(shù)64下面。（見圖9）

圖9 《御制數(shù)理精蘊》除法詳解示意圖之三

第四步：與被除數(shù)相減，恰好得0。說明得數(shù)就是8。（見圖10）

圖10 《御制數(shù)理精蘊》除法詳解示意圖之四

書中對于比較復雜的除法也采用同樣的方法計算。比如“9225÷45”的計算就是如下的豎式。（見圖11）

圖11 《御制數(shù)理精蘊》9225÷45過程示意圖

其中的“九二二五”是被除數(shù)“9225”，“四五”是除數(shù)“45”，最上面的“二○五”是商“205”。計算過程與前面基本上是一致的。把這個豎式中的除數(shù)“四五”移出來寫到左側(cè)，就與現(xiàn)在教科書中的除法標準豎式的寫法基本上一致了。（見圖12）

圖12 計算示意圖

初學除法最大的困難是，除法豎式與已經(jīng)熟悉的乘法豎式書寫方式不一致?！队茢?shù)理精蘊》中的方法提供了從乘法豎式自然過渡到除法標準豎式的思路，這樣的思路能夠使學習者在已有知識和經(jīng)驗的基礎上自然而然地獲得新知識。

三、豎式的認識與教學

從歷史發(fā)展的視角看，計算方式主要有心算、工具算和筆算。心算就是不利用紙筆和其他工具進行計算；工具算指的是借助諸如算籌、算盤等工具進行計算，當然近現(xiàn)代的計算工具還包括電子計算機（器）；筆算就是僅借助紙、筆進行計算，數(shù)學課程中的豎式其實就是歷史上傳承下來的筆算的一種形式，寫出豎式進行計算的目的在于記錄計算過程，減輕思維的記憶負擔。

長期以來，人們對于計算追求的是“準確”與“快速”，因此在多種多樣的筆算中就逐步摒棄了冗長、煩瑣的方式，遺留下書寫形式最為簡捷并且規(guī)范的形式，供后人學習。而對于初學者，特別是低齡的兒童來說，這些簡捷并且規(guī)范的豎式往往不是最容易理解的形式。因此在數(shù)學課程與教學中適當?shù)爻尸F(xiàn)一些表面看不簡捷、但是更為自然的豎式作為過渡，對于幫助學生理解計算過程中的原理或許會有所裨益。

1947年中華民國教育部審定，中華書局出版的《初級小學算術(shù)課本（六）》中把所有問題的計算都呈現(xiàn)出兩種形式的豎式。（見圖13）

圖13 民國算術(shù)課本圖

比如對于問題“兵士3隊，每隊125人，共有幾人？”[7]就分別列出如圖14的兩個豎式：

圖14 豎式對比示意圖

圖14中右側(cè)豎式不如左側(cè)豎式書寫簡捷，但把“125×3”過程中的“5×3”“20×3”和“100×3”三個環(huán)節(jié)分別呈現(xiàn)出來了，對于學習者來說更加自然、更加直觀、更容易理解。將二者擺放在一起對比學習，顯然有助于對左側(cè)標準豎式的理解。

綜上對于計算教學中的豎式應當形成的認識是，教科書中的豎式并不是唯一的，也不是學生最容易理解的。教學中教師應當讓學生與心算結(jié)合起來，當心算過程過于復雜、有記錄的需要時，就可以鼓勵學生用自己認為合理的方式記錄，在此基礎上通過引導與討論，逐步過渡到標準豎式的認識。

參考文獻

[1]David Eugene Smith. History of mathematics. Volume 2. Copyright， 1925， by David Eugene Smith. P108.

[2]同[1].

[3]郜舒竹.國外估算案例析[J].教學月刊，2013（3）.

[4]Louis C. Karpinski. Two Twelfth Century Algorisms. Isis， Vol. 3， No. 3 （Summer， 1921）， PP.396～413.

[5] 同[1]，P150.

[6][ 清] 御制數(shù)理精蘊： 下編卷一. 載：欽定四庫全書子部.

[7]教育部審定. 初級小學算術(shù)課本（六）[M]. 北京：中華書局， 1947年.

（首都師范大學初等教育學院 100048）