談類比法在中職圓錐曲線教學(xué)中的應(yīng)用

楊建芬

摘要：中職圓錐曲線的教學(xué)，包括圓、橢圓、雙曲線和拋物線，類比法是方法論中的基本方法之一，教師充分運用類比的方法，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有效地幫助學(xué)生理解概念，掌握圓錐曲線的相關(guān)知識，同時培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維與提高創(chuàng)新能力。

關(guān)鍵詞：中職類比法圓錐曲線

一、中職圓錐曲線教學(xué)

中等職業(yè)教育課程改革國家規(guī)劃新教材的基礎(chǔ)模塊，我們學(xué)習(xí)了圓的方程，在拓展模塊教材中，又系統(tǒng)地學(xué)習(xí)橢圓、雙曲線、拋物線，從動點軌跡的角度研究了橢圓、雙曲線及拋物線，得到描述動點軌跡的方程，稱之為二次方程，稱這些曲線為二次曲線。早在古希臘的亞歷山大時期，阿波羅尼奧斯總結(jié)了前任的成果，就建立了完美的圓錐曲線論，編著成書《圓錐曲線論》，書中將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)絡(luò)殆盡，證明了由同一個圓錐曲面可以截取到圓、橢圓、雙曲線及拋物線等幾種曲線。因此二次曲線又叫做圓錐曲線。

中職學(xué)生基礎(chǔ)普遍差，基礎(chǔ)知識參差不齊，接受能力、分析能力、思維能力偏低。而中職教材的數(shù)學(xué)概括性強(qiáng)、內(nèi)容抽象，學(xué)生不易理解，學(xué)習(xí)起來也比較枯燥、乏味，一些學(xué)生有明顯的厭學(xué)情緒，這直接影響著數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)生素質(zhì)的提高。

圓錐曲線的學(xué)習(xí)對概念的掌握和運用要求極高，如果能將一種研究思想或方法運用于圓錐曲線的教學(xué)中，既有利于教師的教，又有利于學(xué)生的學(xué)，那么將會達(dá)到事半功倍的效果。結(jié)合多年的教學(xué)實踐并不斷改進(jìn)，本人總結(jié)出在圓錐曲線教學(xué)中運用類比法的一般過程，可以有效地幫助學(xué)生理解區(qū)分概念，掌握圓錐曲線相關(guān)知識，同時培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維與提高創(chuàng)新能力。

二、類比法的界定和意義

類比法也叫比較類推法，是指由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也應(yīng)具有這種屬性的推理方法。其結(jié)論必須由實驗來檢驗，類比對象間共有的屬性越多，則類比結(jié)論的可靠性越大。類比法的特點是“先比后推”。“比”是類比的基礎(chǔ)，“比”既要“比共同點”也要“比不同點”。

哲學(xué)家康德說過“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往可以指引我們前進(jìn)?！痹跀?shù)學(xué)的教學(xué)與研究中，類比法是進(jìn)行合情推理的一種非常重要的思維方法。在我們分析問題解決問題的過程中，可以利用一個較簡單的類比問題的解答方法或結(jié)果，去找到原問題的解決方法?？梢哉f，類比法是探索問題、解決問題與發(fā)現(xiàn)新結(jié)果的一種卓有成效的思維方法。

三、類比法在中職圓錐曲線中的應(yīng)用

（一）圓與橢圓的類比

在數(shù)學(xué)教材中，很多新知識都是在原有知識的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，因而在新知識中多少都會帶有舊知識的痕跡。橢圓新授課時，通過對圓的知識回憶，運用類比法給學(xué)生創(chuàng)造最佳思維環(huán)境，可以使學(xué)生猜想出橢圓的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、研究思想與方法，激發(fā)學(xué)習(xí)的積極性。

1.定義的類比

①取一條定長的細(xì)繩，把它兩端都固定在圖板的同一點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時畫出的軌跡是一個圓；

②如果把細(xì)繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？

在探究這一過程中，讓學(xué)生動手操作，畫出軌跡，有的學(xué)生畫出一條線段，有的畫出橢圓，這時分析為什么會得到線段，是因為兩定點的距離等于繩長。接著與圓的定義作類比，引導(dǎo)學(xué)生給出橢圓的定義，強(qiáng)調(diào)橢圓是平面內(nèi)到兩定點的距離之和等于常數(shù)，且這一常數(shù)要大于兩定點的距離。

2.推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程的類比

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是在其定義的基礎(chǔ)上，運用兩點間距離公式推導(dǎo)而來的，具體步驟有：

①找已知條件：圓心的坐標(biāo)為C（a，b），半徑為r；

②設(shè)點找關(guān)系：設(shè)M（x，y）為圓上的任意一點，則|MC|=r；

③列式計算：√（x-a）2+（y-b）2= r；

④整理化簡：（x-a）2+（y-b）2 = r2。

這個方程就叫做以點C（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

掌握了橢圓的定義，分析建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)焦距為2c，橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為2a（2a>2c>0）， 得到

①找已知條件：焦點F1（- c，0），F(xiàn)2（ c，0）；

②設(shè)點找關(guān)系：設(shè)點M（x，y）是橢圓上的任意一點，則 |MF1| + |MF2| = 2a；

③列式計算：√（x+c）2+y2+√（x-c）2+y2 = 2a；

④整理化簡：（a2-c2）x2 + a2y2 = a2（a2-c2）；

⑤設(shè)量取簡：從審美角度，結(jié)合a>c>0，設(shè)a2-c2= b2，則b2x2+a2y2=a2b2，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑥強(qiáng)調(diào)關(guān)系：a、b、c的大小關(guān)系，a最大。

（二）橢圓與雙曲線類比

1.定義的類比

取一條定長的細(xì)繩，在繩子的兩頭對稱打兩個結(jié)，把繩子的兩端分別固定在圖板的兩點處，抓住其中一個結(jié)，套上一個小圓圈，圓圈里放一只鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？再取另外一個結(jié)，做同樣的操作。

與橢圓的定義做類比，分析畫圖過程中的變量與定量，引導(dǎo)學(xué)生大致描敘出雙曲線上點的特點，師生給出雙曲線的定義，強(qiáng)調(diào)雙曲線是平面內(nèi)到兩定點距離之差的絕對值等于常數(shù)，且這一常數(shù)要小于兩定點的距離。

2.推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程的類比

建立平面直角坐標(biāo)系后，設(shè)焦距為2c，雙曲線上的點到兩個焦點的距離之差的絕對值為2a（0<2a<2c）， 得到

①找已知條件：焦點坐標(biāo)F1（- c，0），F(xiàn)2（ c，0）；

②設(shè)點找關(guān)系：設(shè)點M（x，y）是雙曲線上的任意一點，則 |MF1| - |MF2| = 2a；

③列式計算：√（x+c）2+y2-√（x-c）2+y2= ±2a；

④整理化簡：（c2- a2）x2 - a2y2=a2（c2- a2）；

⑤設(shè)量取簡：因為c>a>0，類似可以設(shè)c2- a2= b2，則b2x2-a2y2=a2 b2，便得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑥強(qiáng)調(diào)關(guān)系：a、b、c的大小關(guān)系，c最大。

3.幾何性質(zhì)的類比

橢圓的幾何性質(zhì)包括了圖形范圍、對稱性、頂點和離心率，充分運用代數(shù)計算基本知識，從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程入手，逐一分析和探究，理清了標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的幾何意義，以及離心率e的計算和對橢圓形狀的影響。