數(shù)學教學中的拓展與提升

范達江

數(shù)學教學的目標是使學生獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必須的數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，體會數(shù)學知識之間、數(shù)學與其他學科之間、數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，并運用數(shù)學的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。這就要求教師在課堂教學中從學生的認知特點、身心發(fā)展規(guī)律出發(fā)，結合知識的橫向、縱向聯(lián)系，把教材中的隱性知識適時、適度地展現(xiàn)出來。這就是我們常說的拓展提升。課堂拓展提升是落實課程目標的重要抓手，是課堂教學走內涵發(fā)展的必由之路。

一、知識拓展，提升學生的思維水平

知識是數(shù)學學習的基礎，是數(shù)學學習目標實現(xiàn)的載體。因此，數(shù)學拓展提升應先從知識拓展開始。對知識的遷移、綜合、延伸、拓展，既可培養(yǎng)學生運用知識的能力，也可讓學生所掌握的知識系統(tǒng)化、網絡化。

（一）對新概念、新定理和與之相關的舊概念、舊定理進行比較、辨別、總結、歸納、類比，并形成更新的概念、定理，提升學生的歸納類比能力

這一點較適用于概念課。比如在學習了“一元二次方程的定義”后，可讓學生聯(lián)系一元一次方程的定義進行比較分析，再引導學生對照一元一次方程、一元二次方程的定義，講出一元三次方程、一元四次方程等一元高次方程的定義。又如在學習了“垂徑定理”后，讓學生對定理的條件、結論進行分解，并嘗試進行重組，進而得出“垂徑定理”的推論。該推論把“與圓有關的性質”幾乎都涵蓋其中了。

（二）通過對例題、習題的一題多解、一題多變、多題一解等的變式訓練，提升學生的開放意識和發(fā)散思維

這一點適用于概念課、復習課等各種課型。例如在浙教版《數(shù)學》（八上）“7.3 一次函數(shù)（1）”中有一個例題：

按國家2008年3月1日起實施的有關個人所得稅的規(guī)定，全月應納稅所得額不超過500元的稅率為5%，超過500元至2000元部分的稅率為10%。（1）設全月應納稅所得額為x元，且500

教學中，教師可先介紹課本解法，再引導學生不按（1）小題的解析式解答（2）小題，而是直接按照稅收法則計算，然后再比較兩種方法，讓學生感受到用函數(shù)模型解決問題的優(yōu)越性。在此基礎上，就（1）小題進行變式訓練，把題中的x變?yōu)閭€人的工資，其他條件不變，求出y關于x的函數(shù)解析式和自變量的取值范圍。然后，再探討（2）小題的解法是否有變化。這樣的拓展可使學生的思維得到有效訓練。

（三）通過知識間的橫向、縱向綜合運用，提升學生的正遷移能力

這一點較適用于復習課。如上了“勾股定理”后，可以給出如下系列問題：（1）請同學們在方格紙上表示，，2；（2）請同學們求由，，2三條線段所圍成的三角形的面積；（3）請同學們求出這條邊上的高。這樣，通過有梯度的系列問題的拓展，學生會從數(shù)形結合的角度更加深刻地認識勾股定理。

二、文化拓展，提升學生的數(shù)學思想修養(yǎng)

數(shù)學學習的過程中蘊含著許多文化，通過不斷發(fā)掘拓展，能讓學生不僅領悟到數(shù)學的本質，還可領悟到人的思想、品德、人生觀、價值觀等。

（一）向學生介紹數(shù)學名人名家的生平、趣聞，鼓勵學生閱讀數(shù)學科普讀物、數(shù)學網站等，讓學生體驗數(shù)學發(fā)生、發(fā)現(xiàn)的情景

例如在學習“平面直角坐標系”時，可向學生介紹迪卡爾和他的《幾何學》，使他們明白迪卡爾是第一個建立坐標思想、第一次使數(shù)和形統(tǒng)一起來的數(shù)學家。又如在學習“有理數(shù)”時，可以讓學生經歷數(shù)的產生過程，使他們產生探索數(shù)學、科學的神往。

（二）挖掘某些特殊的數(shù)學知識，激發(fā)學生的愛國熱情，陶冶學生的思想情操

在“勾股定理”的教學中，教師可向學生介紹多種證法，其中我國趙爽的“弦圖證法”比美國的“總統(tǒng)證法”早好幾百年。與之類似，祖沖之發(fā)現(xiàn)圓周率也比其他國家早好幾百年，還有雞兔同籠、韓信點兵等經典命題對開創(chuàng)數(shù)學發(fā)展史產生了深遠的影響，等等。介紹這些可以讓學生體會到中國古代數(shù)學家的超人智慧和輝煌成就，從而激發(fā)民族自豪感和傳承中國數(shù)學文化的激情。

三、實踐拓展，提升學生的數(shù)學體驗

數(shù)學來源于生活實踐，又服務于生活實踐。數(shù)學教學必須關注生活實踐，提升學生的數(shù)學體驗。

（一）從生活生產實踐中引導學生發(fā)掘題材，從中找到數(shù)學的模型去解決實際問題

在“反比例函數(shù)”的教學中，筆者出了這樣一道題：

病人吃下醫(yī)生規(guī)定的藥劑量后，血液中的含藥量與服藥的時間成正比，當服藥時間為45分鐘時，血液含藥量達到最高為90個單位，然后血液中的含藥量與服藥后的時間成反比。當血液含藥量不低于60個單位時，為藥效發(fā)揮最佳時期。請問藥效發(fā)揮的最佳時間是幾分鐘？

看到這樣的題目，學生的學習熱情高漲，感受到了數(shù)學的趣味與妙用。這樣的拓展，有助于提升學生運用數(shù)學模型解決問題的意識和數(shù)學建模能力。

（二）運用現(xiàn)代信息技術，拓展教學資源，為達成教學目標提供充分的感性材料

在教學“統(tǒng)計”時，如果只靠課本上的教學資源，感性材料的數(shù)量是絕對不夠的，而且僅靠這些東西也容易造成學生的片面理解，導致在實際生活中很難自如地運用知識。如果運用現(xiàn)代信息技術，引導學生從網上尋找各種所需資料，同時尋找一組數(shù)據(jù)并繪制出自己喜歡的統(tǒng)計圖。這樣，一個更加廣闊的世界就展現(xiàn)在了學生的面前，有助于激發(fā)學生了解統(tǒng)計、概率知識的興趣，提升學生對“統(tǒng)計”這部分內容的直觀感受與理解水平。

（三）發(fā)揮數(shù)學的基礎學科作用，注重與橫向學科的聯(lián)系，實現(xiàn)跨學科的綜合

在學習“分式”時，引入并聯(lián)電路的電阻計算；學習“函數(shù)”后，引入電壓、電阻、電流間的關系，密度、質量、體積間的關系，質量、重力、重力加速度間的關系；學習“乘方”后，引入細胞分裂的過程及其計算；講到“探索確定位置的方法”時，聯(lián)系世界地圖的經緯網……這樣的跨學科綜合，讓各學科之間的聯(lián)系更為緊密，從而擺脫過去那種學科間壁壘森嚴的孤立局面，建立起學科間互相滲透的互通局面，使學生感覺到數(shù)學的效用，提升跨學科綜合運用數(shù)學的能力。

最后，需要指出的是，為了更好地實現(xiàn)課程目標，數(shù)學課堂上的拓展提升在操作中還要注意以下幾點。一是拓展切忌偏重于形式。為了突出重點、解決難點，教師在教學中常常會拓展一些與原題相似或者能升華數(shù)學思想、體現(xiàn)數(shù)學本質的問題讓學生進行比較。這有利于對數(shù)學思想方法的深層理解，可如果操作不當，卻會適得其反。所以，拓展不能只重形式，而要注重挖掘數(shù)學內涵、揭示數(shù)學本質。二是拓展不能偏重于深度。拓展得太深，對學生來說就會難度過大，無法適應，結果反而是影響了課堂教學目標的完成。三是拓展不能忽視隨機生成。課前備課所準備的各種預設活動再充分，也不能把課堂的各個環(huán)節(jié)都考慮到。學生是活生生的有思想的人，課堂中難免會出現(xiàn)課前備課所想不到的情況。這就要求教師根據(jù)臨時出現(xiàn)的各種情況作出恰當、合理的反應，并作進一步的拓展。