感悟不等關(guān)系的探究之旅

何繼剛

在2013年“杏壇杯”蘇派青年教師課堂教學(xué)展評活動江蘇寶應(yīng)中學(xué)賽點，有9位教師進(jìn)行了同課異構(gòu)的教學(xué)展評，課題是蘇教版必修5《不等式》第一課《不等關(guān)系》。每位教師的課都有自己的特色，讓我們看到了在新課改引領(lǐng)下青年教師成長的喜人局面，也充分展現(xiàn)了本次展評活動“以學(xué)定教，學(xué)教相長”的教學(xué)特色。下面對張家港崇真中學(xué)刁克老師的課，談幾點看法，一管之見，供同仁參考。

一、幾點特色

刁老師的課很有生活氣息，他成功地將學(xué)生帶入充滿不等關(guān)系的“觀影之旅”，在具體情境中，他扮演了“導(dǎo)游”角色，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了一個又一個不等關(guān)系的探究。本課也很有“數(shù)學(xué)性”，在處理生活中不等關(guān)系的過程中，積極引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)模型來思考問題，增強(qiáng)了學(xué)生將生活問題數(shù)學(xué)化的意識和能力。

1.生活引領(lǐng)：以生活經(jīng)驗為基礎(chǔ)，感知不等關(guān)系。

本節(jié)課以一個觀影之旅為主線，創(chuàng)設(shè)了生動的系列化的問題情境，并通過圍繞不等關(guān)系的問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生觀察分析、自主發(fā)現(xiàn)、合作探究，感悟和提煉生活中的不等關(guān)系，為構(gòu)建學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)奠定了基礎(chǔ)。

2.導(dǎo)問引領(lǐng)：以問題為中心，探究不等關(guān)系。

刁老師在引出課題后，通過3個問題以及思考題構(gòu)成的問題鏈，進(jìn)一步引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中存在的“不等關(guān)系”，并用數(shù)學(xué)語言將其數(shù)學(xué)化，營造探究問題的自主學(xué)習(xí)氛圍。

“問題1”的設(shè)計意圖在于，突出一元一次不等式數(shù)學(xué)模型的具體應(yīng)用，思考題是“問題1”的拓展，它可以強(qiáng)化學(xué)生分類討論的意識，提高學(xué)生應(yīng)用不等關(guān)系進(jìn)行思辨的能力。通過處理思考題中的兩種方案，提高了學(xué)生分析數(shù)據(jù)、利用不等關(guān)系進(jìn)行決策的能力。

“問題2”的設(shè)計意圖在于，引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握用一元二次不等式數(shù)學(xué)模型解決實際問題中的不等關(guān)系問題，同時引導(dǎo)學(xué)生從變量設(shè)法的不同，來理解和選擇解決問題的方案，培養(yǎng)學(xué)生解決不等關(guān)系問題的靈活性。

“問題3”引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會了根據(jù)題目建立多個不等條件和同時成立的不等關(guān)系模型，可以讓學(xué)生學(xué)會根據(jù)題目準(zhǔn)確地列出二元一次不等式組，為后面利用線性約束條件解決目標(biāo)函數(shù)問題做好鋪墊。

這三個問題環(huán)環(huán)相扣，分層遞進(jìn)，使學(xué)生對不等關(guān)系的認(rèn)識由淺入深、由表及里，使學(xué)生的探究逐步走向深入，強(qiáng)化了運用不等式模型解決不等關(guān)系的意識，學(xué)生的數(shù)學(xué)化的能力得到提升。

3.活動引領(lǐng)：以形成思維模式為目標(biāo)，建構(gòu)不等關(guān)系。

刁老師的課堂很注重學(xué)生的參與，每個問題提出后，他均能有效地組織學(xué)生活動，讓學(xué)生在交流中互補(bǔ)，在交流中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，在交流中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不等關(guān)系的能力。他通過有效的活動實現(xiàn)了思維建構(gòu)、知識建構(gòu)與數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，通過分組合作學(xué)習(xí)探究，解決了3個實際生活中的不等關(guān)系問題，讓學(xué)生獲得了“一元一次不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型”“一元二次不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型”“二元一次不等式組（線性約束條件）的數(shù)學(xué)模型”。

4.展評引領(lǐng)：以生生合作、師生合作為推手，感悟不等關(guān)系。

刁老師的課堂注重通過學(xué)生的展示與教師的點評相結(jié)合的方式來促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行反思與感悟。例如他追問這樣一個問題：《西游記2》劇組為影片上映做宣傳，準(zhǔn)備制作宣傳海報，已知宣傳海報由鋼管支撐，要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍，怎樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式呢？

對該問題，學(xué)生討論得很熱烈，刁老師在請了兩名學(xué)生上黑板展示后，告訴學(xué)生在實際建立不等關(guān)系時，第一要注意不等關(guān)系必須符合實際意義，第二要注意所設(shè)未知量的單位。這一環(huán)節(jié)，有學(xué)生自主學(xué)習(xí)成果的展示，也有老師引導(dǎo)下的自覺感悟；有合作學(xué)習(xí)帶來的廣泛思考，也有老師引導(dǎo)下學(xué)生數(shù)學(xué)知識的主動建構(gòu)所帶來的感悟；有學(xué)生展示帶來的智慧操作，也有學(xué)生通過自己的操作帶來的對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的感悟。

二、幾點建議

1.讓列舉不等關(guān)系的過程成為深度感知的過程。

本節(jié)課學(xué)生從自己的生活中發(fā)現(xiàn)了很多不等關(guān)系，但是這些不等關(guān)系，在初中學(xué)習(xí)不等式時也常常涉及到，因此，僅舉這些實例還缺乏深度和廣度。教學(xué)中，我們要從不同維度和不同領(lǐng)域引導(dǎo)學(xué)生列舉“不等關(guān)系”，如：從生活中、從生產(chǎn)實踐中、從科學(xué)實驗中、從學(xué)過的數(shù)學(xué)中（圖形中的不等關(guān)系、函數(shù)的單調(diào)性、正余弦函數(shù)的有界性等）去尋找不等關(guān)系，將教學(xué)與學(xué)生的經(jīng)驗結(jié)合起來，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)成為有意義的學(xué)習(xí)。

要讓學(xué)生經(jīng)歷必要的認(rèn)知過程，即感受不等關(guān)系的情境，產(chǎn)生用數(shù)學(xué)刻畫不等關(guān)系的認(rèn)知傾向，形成問題提出、探究分析、再數(shù)學(xué)建構(gòu)的過程。

加強(qiáng)比較教學(xué)，要體現(xiàn)建立相等模型與建立不等模型之間的決策過程，通過兩種方案的比較，可以形成一種深度教學(xué)的過程。

2.用有遞進(jìn)的問題鏈逐步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。

本節(jié)課的核心概念是“不等關(guān)系”，主問題是“如何用數(shù)學(xué)刻畫不等關(guān)系？”即怎樣用數(shù)學(xué)的語言表示不等關(guān)系？教學(xué)設(shè)計要圍繞主問題設(shè)計“問題鏈”，以此引導(dǎo)學(xué)生開展生活感悟、數(shù)學(xué)思維活動、合情推理（嘗試將列出的不等關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表示）、相互討論、合作交流等活動，進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生建立不等關(guān)系的認(rèn)知結(jié)構(gòu)：

還要通過問題、作業(yè)來設(shè)計延續(xù)“不等”問題的思維情境，讓“不等關(guān)系”的數(shù)學(xué)思維不斷向后續(xù)學(xué)習(xí)過程延伸。

3.讓構(gòu)建不等關(guān)系的過程成為滲透數(shù)學(xué)思想的過程。

不等關(guān)系的學(xué)習(xí)要能夠讓學(xué)生充分經(jīng)歷“類比”這一重要的推理過程，感受合理推斷的探索與發(fā)現(xiàn)功能?？坍嬒嗟汝P(guān)系的數(shù)學(xué)模型（等式）與刻畫不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型（不等式）將各自對應(yīng)于一個“集合”，這兩類“集合”既不相同，又存在密切聯(lián)系。在教學(xué)過程中，既可以滲透“集合”思想，也可以滲透分類討論的思想與思維方式。

不等式是刻畫不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，因此，不等式的學(xué)習(xí)過程是數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)過程，是使學(xué)生感受“模型化”思想與方法的最佳時機(jī)。在構(gòu)建不等關(guān)系時，需要先引入字母表示相關(guān)的量，因此，這樣的過程又是滲透代數(shù)思想的過程。

4.讓運用不等關(guān)系的過程成為體現(xiàn)數(shù)學(xué)價值的過程。

不等式作為刻畫不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型的理論價值與應(yīng)用價值是什么？這是一個比較深刻的問題，也不是在一節(jié)課上就能夠充分體現(xiàn)的，但是，不等式作為用數(shù)學(xué)來思考的工具，它的簡單美、化歸作用、定量分析作用等數(shù)學(xué)價值，在這節(jié)課的教學(xué)中應(yīng)有所滲透。

（作者系江蘇省特級教師、江蘇省揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)副校長）