一道函數(shù)題的多視角求解

吉祥

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題教學(xué)，然而解題并不是教學(xué)的唯一目的，應(yīng)當(dāng)在問題驅(qū)動(dòng)下，鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)，訓(xùn)練方法，開啟心智，驅(qū)動(dòng)思維，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展、數(shù)學(xué)解題能力的提高.然而目前，教學(xué)方法的模式化，教學(xué)目標(biāo)的單一化，教學(xué)效果的功利化，都無形地制約和影響學(xué)生思維的發(fā)展，導(dǎo)致學(xué)生思維僵化，“創(chuàng)造”和“變通”的學(xué)習(xí)能力不強(qiáng).本文從一道函數(shù)題著手談?wù)劷忸}視角的多樣化，有利于培養(yǎng)學(xué)生的良好思維品質(zhì)，深刻領(lǐng)悟試題的本質(zhì).

例題：已知函數(shù)，

（1）當(dāng)a=-3時(shí)，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)f（x）的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.

本題的第一問是主要利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的極值，根據(jù)求極值的一般步驟便可以解決.第二問涉及函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，求有關(guān)的參數(shù)取值問題.下面通過三種不同的視角對(duì)第（2）問作分析與求解，以饗讀者.

視角1：由函數(shù)圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)分析可知，該函數(shù)若為單調(diào)增，則滿足題意；若函數(shù)不單調(diào)，則該函數(shù)存在極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，因此結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只要極大值小于零或極小值大于零.

①當(dāng)△=4-4a≤0時(shí)，即a≥1，f（x）在R上單調(diào)增，且f（0）=-a<0，f（3）=2a>0，

所以f（x）的圖像與軸只有一個(gè)交點(diǎn).

列表如下：

由上表可知為極大值，為極小值.函數(shù)的簡圖如下：

要使得函數(shù)f（x）的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

①同解法1中的①；

綜合①②得a的取值范圍是（0，+∞）.

視角3：解法1、2都運(yùn)用了分類討論的思想，而對(duì)于含參數(shù)取值問題的求解，除了分類討論之外，有時(shí)也可以利用分離參數(shù)的方法求解，往往將方程（或不等式）中的所含參數(shù)與變量分離出來，轉(zhuǎn)化為研究某一具體函數(shù)的性質(zhì)（函數(shù)的單調(diào)性、圖像或值域等）確定參數(shù)取值.本題的函數(shù)圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0有唯一解，再實(shí)行參數(shù)分離.

當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，h′（x）>0，所以h（x）在（-∞，0）上為增函數(shù).

當(dāng)x∈（0，1）或x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）<0，所以h（x）在（0，1）和（1，+∞）上為單調(diào)減函數(shù).

作出h（x）的圖像，如圖1所示.

點(diǎn)評(píng)：解法3利用分離參數(shù)的方法，巧借函數(shù)的圖像，直觀地反映出a的取值范圍，使問題的解決簡單易行.

變式1：如將本題中的第（2）問變?yōu)椋骸叭艉瘮?shù)f（x）的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.”

結(jié)合解法3的圖3可知a=0.

變式2：如將本題中的第（2）問變?yōu)椋骸叭艉瘮?shù)f（x）的圖像與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.”

同樣利用圖3易知a<0.

從以上三種不同的視角進(jìn)行解題可以看出，視角1合乎情理，體現(xiàn)了思維的直接性，但對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力要求較高，需要解兩個(gè)無理不等式，往往會(huì)半途而廢，無功而返.視角2在視角1的基礎(chǔ)上，尋求突破，靈活利用韋達(dá)定理巧妙跨越運(yùn)算障礙，讓人倍感輕松.這一解法凸顯了思維的靈活性.視角3采用分離參數(shù)，另辟蹊徑，將問題轉(zhuǎn)化為某一具體函數(shù)進(jìn)行研究，借助函數(shù)的圖像，直觀明了，問題便迎刃而解，凸顯了思維的深刻性.視角3讓我們從另一角度剖析了試題的本質(zhì)，并對(duì)試題進(jìn)行了變式探究，提升了實(shí)體的價(jià)值，激活了學(xué)生的思維，可謂一舉多得.

變換不同的視角解題，不斷優(yōu)化解題思路，梳理出解決本題的最佳方法，可使思維更靈活，對(duì)問題理解更深刻，從而提高學(xué)生解決綜合問題的能力.在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，應(yīng)該多注意這方面的訓(xùn)練，從而在解決這類綜合問題時(shí)思路開闊，從容應(yīng)答.