開放探索性題的特征及解法

劉秀華

開放探索性試題是近幾年來中考比較常見的開放型試題，也是中考數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)的一種新題型.探索性試題打破傳統(tǒng)模式，構(gòu)思新穎，使人耳目一新.這類題被認(rèn)為是當(dāng)前培養(yǎng)創(chuàng)新意識、創(chuàng)造能力的最富有價值的數(shù)學(xué)問題，加大數(shù)學(xué)探究題在中考命題中的力度，是應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)軌的重要體現(xiàn)，對發(fā)揮學(xué)生主體性方面確實具有得天獨厚的優(yōu)勢，是培養(yǎng)學(xué)生主體意識的極好材料.探索性試題可以考查學(xué)生的判斷能力、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，因此，教師在數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)時必須重視這種題型的分析與指導(dǎo)，教學(xué)中應(yīng)注意這種開放型試題的訓(xùn)練，以培養(yǎng)聯(lián)想、猜想、探索等能力.以下舉例說明各類探索性問題的解法.

一、條件開放探索型

特征：條件探索型的基本特征是給出命題的結(jié)論，要求我們探索結(jié)論成立的條件.解法：是從所給的結(jié)論出發(fā)，執(zhí)果索因，尋求結(jié)論成立時應(yīng)具備的條件，進(jìn)而給予解答.思維方式是變換思維方向，逆向思維.

二、結(jié)論開放探索型

這類題目就是在給定的條件下，探索相應(yīng)的對象是否存在.它有結(jié)論存在和結(jié)論不存在兩種情況.其基本解題方法是：假設(shè)存在，演繹推理，得出結(jié)論，從而對是否存在作出準(zhǔn)確的判斷.

結(jié)論探索型一般可分為猜想型、判斷型和是否存在型.

1.猜想型

特征：條件明確，結(jié)論不唯一或不確定.

解法：猜想型需探索的結(jié)論要依據(jù)題設(shè)條件從簡單情況或特殊情況入手進(jìn)行歸納，大膽猜想得出，然后再進(jìn)行論證.

例2觀察下列等式：9-1=816-4=1225-9=1636-16=20……

這些等式反映出自然數(shù)間的某種規(guī)律，設(shè)n表示自然數(shù)，用關(guān)于n的等式表示出來：.

策略小結(jié)此類“猜想型”開放探究題要求能夠從所給條件出發(fā)，通過觀察、試驗、分析、歸納、比較、概括、猜想、探索出一般規(guī)律，解題的關(guān)鍵在于正確的歸納和猜想.

2.判斷型

特征：這類問題結(jié)論不明確，解題方向不確定，結(jié)論可能不止一種，要求考生依據(jù)條件探索結(jié)論的存在性或多樣性，或是給出某一結(jié)論，然后再說明其存在或不存在的理由.

解法：解題時通常先假設(shè)被探索的數(shù)學(xué)性質(zhì)存在，并將其構(gòu)造出來，再利用題設(shè)條件和數(shù)學(xué)結(jié)論將其肯定或否定.

例3說出函數(shù)y=x2+1與函數(shù)y=（x+1）2的共同點.

解①都是二次函數(shù).②圖像都是拋物線.③開口都向上.④與y軸均交于（0，1）點.

3.是否存在型

特征：給出命題的一定條件，求滿足某種條件的數(shù)、點、圖形是否存在.

解法：這類問題的特征是在題設(shè)條件下判斷數(shù)學(xué)對象是否存在或成立，即在是與否之間作出選擇.解法步驟是先假設(shè)數(shù)學(xué)對象存在或成立，以此為前提進(jìn)行運算或推理.若推出矛盾可否定假設(shè)，否則給出肯定的證明.

例4如圖，⊙O的直徑AB為6，P為AB上一點，過點P作⊙O的弦CD，連接AC，BC，設(shè)∠BCD=m∠ACD，是否存在正實數(shù)m，使弦CD最短？如果存在，請求出m的值；如果不存在，請說明理由.

簡析假設(shè)存在正實數(shù)m，使弦CD最短，則有CD⊥AB于P，從而cos∠POD=OP∶OD，因為AB=6，所以cos∠POD=30°.于是∠ACD=15°，∠BCD=75°，故m=5.

策略小結(jié)：此類綜合性開放題，需要學(xué)生綜合題設(shè)條件，通過觀察、比較、聯(lián)想、猜測、推理、判斷等探索活動逐步得到結(jié)論，有時需分析運動變化過程，尋找變化中的特殊位置，即“動”中求“靜”，“一般”中見“特殊”，再探求特殊位置下應(yīng)滿足的條件，利用分類討論思想，各個擊破.

解法：假設(shè)存在→分析求解→去偽存真.

解題步驟：

假設(shè)存在由已知條件或法則推理或計算——

→推出結(jié)論無誤或求出結(jié)果→肯定假設(shè)

推出的結(jié)論或求出的結(jié)果

→與已知或其他事實矛盾→否定假設(shè)

總之，開放探究題具有不同于封閉題的顯著特點：（1）數(shù)學(xué)開放題內(nèi)容具有新穎性，條件復(fù)雜，結(jié)論不定，解法靈活，無現(xiàn)成模式可套用，題材廣泛，貼近學(xué)生實際生活，不像封閉性題型那樣簡單，靠記憶、套模式來解題.（2）數(shù)學(xué)開放題形式具有多樣性、生動性，有的追溯多種條件，有的探求多種結(jié)論，有的尋找多種解法，有的由變求變，體現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)氣息，不像封閉性題型形式單一的呈現(xiàn)和呆板的敘述.（3）數(shù)學(xué)開放題解決具有發(fā)散性，由于開放題的答案不唯一，解題時需要運用多種思維方法，通過多角度的觀察、想象、分析、綜合、類比、歸納、概括等思維方法，同時探求多個解決方向.（4）數(shù)學(xué)開放題教育功能具有創(chuàng)新性，正是因為它的這種先進(jìn)而高效的教育功能，適應(yīng)了當(dāng)前各國人才競爭的要求.開放探究性問題變化無窮、生動活潑、靈活多樣，一改學(xué)生死搬硬套的解題模式，消除學(xué)生模仿死記解題的習(xí)慣，從不同角度對問題的深思熟慮，尋求多樣性的解題方法，所以在數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)時，必須重視這種題型的特征及解法.