離心率取值范圍求解策略

孔德杰

范圍問題是數(shù)學(xué)中的一大類問題，在高考試題中占有很大的比重.圓錐曲線離心率取值范圍問題雖然在最近幾年高考中有些弱化，但一旦在高考中出現(xiàn)，將是一道難題，所以我們有必要尋求離心率取值范圍的求解策略.求離心率取值范圍的關(guān)鍵是根據(jù)圓錐曲線本身a，b，c的等量關(guān)系和題目給出的條件，建立a，c的不等關(guān)系，從而求出離心率的取值范圍.

一、根據(jù)題目中直接給出的不等條件求離心率范圍

例1（2007年北京（文））橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，兩條準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)分別為M，N，若MN≤2F1F2，則該橢圓離心率的取值范圍是（）.

A. 0，12B. 0，22C. 12，1D. 22，1

分析本題中直接給出了一個不等關(guān)系，只需將其“翻譯”成a，c關(guān)系即可.

解 |MN|≤2|F1F2|，所以2·a2c≤2·2c，即a2≤2c2.所以 22≤e<1.故選D.

溫馨提示對于題目中直接給出不等條件，我們就可以直接建立a，c的不等關(guān)系.

二、根據(jù)圓錐曲線本身的性質(zhì)求離心率的取值范圍

1.根據(jù)圓錐曲線焦半徑的有界性

例2（2009年重慶（理））已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）.若雙曲線上存在點(diǎn)P使sin∠PF1F2sin∠PF2F1=ac，則該雙曲線的離心率的取值范圍是.

法一

分析把焦半徑用a，c表示，再根據(jù)橢圓焦半徑的有界性列出不等關(guān)系解題.

解因?yàn)閟in∠PF1F2sin∠PF2F1=ac，由正弦定理得|PF2||PF1|=ac，所以|PF1|>|PF2|，點(diǎn)P在右支上，所以|PF1|-|PF2|=2a，所以|PF2|=2a2c-a>c-a，解得 e∈（1，2+1）.

溫馨提示①所謂雙曲線焦半徑的有界性，即雙曲線其中一支上的點(diǎn)到對應(yīng)焦點(diǎn)的距離大于等于c-a，到另一個焦點(diǎn)的距離大于等于c+a.

②本題中根據(jù)題意點(diǎn)P，F(xiàn)1，F(xiàn)2應(yīng)構(gòu)成三角形，所以|PF2|≠c-a.

③本題還可以根據(jù)焦半徑|PF1|的有界性求解.

④所謂橢圓焦半徑的有界性，即橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離d滿足a-c≤d≤a+c.

注：本題還有其他解法，詳見后面根據(jù)圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的有界性和根據(jù)三角形三邊關(guān)系.

2.根據(jù)圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的有界性

例2法二

分析求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x0，再根據(jù)雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的有界性列出不等關(guān)系解題.

解由法一知|PF2||PF1|=ac，點(diǎn)P在右支上，所以ex0-aex0+a=ac，所以x0=a（c+a）e（c-a）

=a（e+1）e（e-1）>a，解得 e∈（1，2+1）.

溫馨提示①所謂雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的有界性，即焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右支上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0滿足x0≥a，左支上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0滿足x0≤-a；焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的上支上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y0滿足y0≥a，下支上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y0滿足y0≤-a.所以用此法時要注意焦點(diǎn)的位置.

②所謂橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)的有界性，即焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0滿足x0≤a，縱坐標(biāo)y0滿足y0≤b，焦點(diǎn)在y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的有界性正好相反.所以用此法時要注意焦點(diǎn)的位置.

3.根據(jù)三角形三邊關(guān)系

例2法三

分析求出|PF2|，|PF1|，再根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊列出不等關(guān)系解題.

解根據(jù)法一中知點(diǎn)P在右支上且|PF2|=2a2c-a，|PF1|=2acc-a，|PF2|+|PF1|>2c |PF2|+2c>|PF1|，|PF1|+2c>|PF2|，解得 e∈（1，2+1）.

溫馨提示本題只需解|PF2|+|PF1|>2c，其他兩個不等式恒成立.

三、根據(jù)數(shù)形結(jié)合求離心率的取值范圍

總結(jié)在求解圓錐曲線離心率取值范圍時，要認(rèn)真分析題設(shè)條件，關(guān)鍵是合理建立不等關(guān)系：如果題目中直接給出了不等條件，我們可以直接建立不等關(guān)系求解；如果題目是跟焦半徑有關(guān)的問題，我們可以考慮用焦半徑的有界性，或者根據(jù)焦半徑公式求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，用點(diǎn)的坐標(biāo)的有界性建立不等關(guān)系求解；如果題目是跟三角形有關(guān)的問題，可以考慮用三角形三邊的關(guān)系建立不等關(guān)系求解.我們還可以根據(jù)題目條件選擇其他方法建立不等關(guān)系.總之，在做題時要不斷總結(jié)，擇優(yōu)解題.