淺論極限在高等數學中的作用

劉亞敏

眾所周知，高等數學是現代科學技術中應用最廣泛的一門學科.在從初等數學這種靜態(tài)的數量關系的分析到高等數學這種對動態(tài)數量關系的研究這一發(fā)展過程中，研究對象發(fā)生了很大的變化.也正是在這一背景下，極限作為一種研究事物動態(tài)數量關系的方法應運而生.極限作為高等數學的理論基礎和基本組成部分，作為區(qū)別初等數學的重要標志，伴隨著微積分的建立，最終發(fā)展成現在的形式，在高等數學的舞臺上扮演著一個極其重要的角色，貫穿于整個高等數學的過程之中，如連續(xù)、導數、定積分、重積分、曲線積分、曲面積分以及級數的收斂性等定義都建立在極限的基礎上.可見，極限在高等數學中起到了極其重要的作用.

一、極限的產生和發(fā)展是高等數學產生的基礎

在西方，極限觀點的萌芽起源于對量的可分性的質疑.早在古希臘時代，一些智者就提出質疑：它是無限可分的，還是由無窮多個極微小的不可分的部分組成的？對于兩種設想，不同學派有不同的看法，但無論哪種看法，都包含了最樸素的極限思想：無窮逼近.如，古希臘的數學家歐多克索斯所提出的窮竭法，他認為量是無限可分的，并建立了下列原理：

“如果從任一量中減去不小于它的一半的部分，從余量中再減去不小于它的一半的另一部分，如此繼續(xù)下去，則最后留下一個小于任何給定的同類量的量.”

極限觀點在我國古代也有記載，戰(zhàn)國時代哲學家莊周所著的《莊子·天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，也就是說一根長為一尺的木棒，每天截去一半，這樣的過程可以無限地進行下去.此外，《墨經》中“端，體之無厚而最前者”“端，無問也”“非半弗斯則不動，說在端”等都包含了對物體經“化整為零”后的微分思想.隨后，三國時的數學家劉徽在計算圓周率的過程中創(chuàng)立并使用了極限方法.他用正n邊形內接于圓，隨著邊數不斷增加，正n邊形的面積越來越接近圓面積，其面積之差也越來越小，當差為無窮小量時，與圓面積無限逼近.這種當n無限增大，用差值趨于零的無限逼近思想，正是現代微積分中的極限思想的本質.

17世紀上半葉，解析幾何的產生標志著變量數學的開端，結束了希臘時期形成的數學幾何化的一統(tǒng)天下；反過來，用方程表示曲線，在一定程度上又使數學代數化.同時，代數符號體系的形成和發(fā)展，都為微積分的建立奠定了基礎.伴隨著微積分的建立過程，對無窮小量的探討也越來越引起人們的注意.17世紀下半葉，英國數學家牛頓和德國數學家萊布尼茲分別總結了前人的工作，創(chuàng)立了一個新的學科——高等數學.這個學科的特點是，需要運用無限過程運算，即極限運算.高等數學的核心內容是微分學和積分學，而微分和積分的概念是通過極限來定義的.

18世紀的許多科學家，如達蘭貝爾、歐拉、拉格朗日等都提出了自己的看法，都不同程度用極限概念作為微積分基礎，但并不成功，占優(yōu)勢的還是“無窮小方法”，至于“無窮小”到底是什么，沒有公認的精確定義.在19世紀20年代以后，柯西在1821—1823年間出版了《分析教程》《無窮小計算講義》兩本書，在這兩本書中，柯西給出了極限的精確定義，終于解決了“無窮小”問題，確立了極限論作為微積分的基礎.

由上可見，在極限的整個發(fā)展過程中，我們確定了微積分在高等數學中的基礎地位，也肯定了極限論在微積分中的重要地位.因此，極限的產生和發(fā)展是與高等數學緊密聯系在一起的.

二、極限在高等數學各組成部分的研究中起到了工具作用

高等數學研究的對象是函數，使用的工具是極限.極限方法是用來研究變量問題的基本方法，是人們從有限認識無限的一種數學思想.極限概念體現了變量和常量的對立統(tǒng)一，本質上是客觀世界量變轉化為質變過程的一種反映.極限是高等數學的理論基礎，用極限可以把連續(xù)、導數、積分、級數收斂等高等數學理論中的各組成部分進行統(tǒng)一處理.

本文僅以定積分的定義來闡述極限的工具作用：

由上可見，正是由于極限理論的建立，才有了定積分的定義.事實上，高等數學的許多重要概念，如函數的連續(xù)性定義、導數的定義、廣義積分的定義、重積分、曲線積分、曲面積分以及級數的斂散性定義等都是在極限理論基礎上建構的，甚至于高等數學的許多應用模型在其構建過程中大都使用了極限這一工具.如此種種，極限在高等數學中的重要作用可見一斑.搞好極限理論及相關應用的研究，對于高等數學課程建設而言都是十分必要的.