對2013年廣東高考數(shù)列題的探究及推廣

梁文威

近年來的高考數(shù)列解答題，常與不等式證明結合作為壓軸題的形式出現(xiàn)，這類問題既需要證明不等式的基本思想和方法，又要結合數(shù)列本身的結構和特點，有著較強的技巧性，能綜合考查考生的邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力.因此有關數(shù)列不等式的證明是一個?？疾凰サ念}型，用“放縮法”證明數(shù)列不等式更是歷年高考命題的熱點，對“放縮法”的巧妙運用往往能體現(xiàn)出創(chuàng)造性，可以化繁為簡、化難為易，達到事半功倍的效果.故此，筆者將分享對2013年廣東高考數(shù)列題的探究及推廣，以期與同行交流和探討.

一、試題

二、試題解析

三、試題評價

從試題的編擬來看，這道數(shù)列試題充分體現(xiàn)了考基礎、考能力、考素質、考潛能和以考生發(fā)展為本的考試目標.試題的第（1）問比較常規(guī)，學生比較容易上手，以增加學生解決綜合題和戰(zhàn)勝困難的信心；第（2）問利用遞推關系求數(shù)列通項公式，這應該是學生比較熟悉的，這樣可以讓他們能夠心平氣和地思考問題，但在思維的層次上和運算能力上作了一個適當?shù)奶嵘?，對中等偏下的學生設置了障礙；第（3）問是為一些優(yōu)秀學生提供了充分展示自己智力的平臺，讓這些學生能夠脫穎而出.這樣，逐步增加試題思維的難度，達到通過數(shù)列壓軸題增加試卷區(qū)分度的目的，對今后中學數(shù)學教育改革有良好的推動與導向作用.

從數(shù)學思想方法和能力要求上看，數(shù)列試題著重考查了考生的轉化思想和整合放縮思想等重要數(shù)學思想方法.第（2）問，結合題目的已知條件，根據(jù)遞推數(shù)列的特征進行化簡變形，并有針對性地構造等差數(shù)列從而得到數(shù)列的通項公式；第（3）問，靈活巧妙地對數(shù)列求和進行放縮處理，達到化繁為簡、化難為易，事半功倍的效果.

從評卷情況來看，數(shù)列解答題雖然一看題目似乎是“通性通法”，但很多考生的思維定勢比較明顯，不能做到精細的放縮估計.故此，筆者主要針對第（3）問展開深入的探究和推廣.事實上對本題進行適當?shù)难由焱卣?、探究，作為一個專題教學，進行數(shù)學美的賞析，不失為一個好的探究性學習和研究性學習素材.

四、試題的加強

1. 解答第（3）問的時候，發(fā)覺可以用<=-繼續(xù)放縮下去，從而得到一個更進一步的估值結果.

評注：上面的推論二是利用了例2的結論將原試題中的更進一步地推廣到（a≥2），可以說是為本道高考數(shù)列題探究和推廣畫上的完美句點.

通過對這道高考數(shù)列題的深入探究和推廣，筆者發(fā)現(xiàn)此題可作為研究性教學的素材，對本題進行研究性教學時，學生可重點研究試題的立意以感悟考查的目的與學習重點，研究試題的解法以優(yōu)化解題策略和方法，研究試題的推廣以培養(yǎng)探究意識和創(chuàng)新精神.總之，高中數(shù)學的主要任務不僅是學知識，也要增強數(shù)學素質，優(yōu)化思維結構，注重思想方法和能力的提升.

責任編輯 羅 峰