一道函數(shù)試題的析題展示

王建鵬

“析題”是近年來新興的一項教研活動.去年，筆者有幸參加了福建省第二屆中小學(xué)教師教學(xué)技能大賽，其中中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)科技能環(huán)節(jié)的比賽項目就是解題析題.

“析題”不同于以往的“說題”，是指執(zhí)教者在精心做題的基礎(chǔ)上，立足學(xué)生的角度，闡述在題目解答時所采用的思維方式、解題策略及依據(jù)，進(jìn)而總結(jié)出經(jīng)驗性解題規(guī)律并進(jìn)行拓展引申.析題的關(guān)鍵在“析”，內(nèi)核在于“用題去教”，即通過對學(xué)情的預(yù)設(shè)，選擇題目做傳輸帶，刺激學(xué)生把原有的知識經(jīng)驗作為新知識的生長點，進(jìn)而形成新的知識經(jīng)驗.其本質(zhì)是通過對“好題”的深入淺出，落實學(xué)生學(xué)的“有效”，從而將教師的“教”、學(xué)生的“學(xué)”與研究“考試命題”三者有機結(jié)合.本文擬以2011年福州市高三質(zhì)檢理科卷第20題為例進(jìn)行析題，以期拋磚而引玉.

1展示題目

（2011年福州市高三質(zhì)檢理科卷第20題）設(shè)函數(shù)f（ x ）=ex+sinx，g（ x ）=ax，F(xiàn)（ x ）=f（ x ）？g（ x ），（Ⅰ）若x =0是F（ x ）的極值點，求a的值；（Ⅱ）當(dāng)a =1時，設(shè)P（ x1，f（ x1 ）），Q（ x2，f（ x2））（x1

≥0，x2

≥0）， 且PQ/ /x軸，求P，Q兩點間的最短距離；

（Ⅲ）若x≥0時，函數(shù)y=F（ x ）的圖象恒在y=F（？x）的圖象上方，求實數(shù)a的取值范圍.

2 試題評價

2.1 考試評價功能

本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與最值、函數(shù)的圖象與零點、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，并以這些基礎(chǔ)知識為載體，考查學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力與運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想.試題凸顯對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)學(xué)科本質(zhì)的考查，并通過與三角函數(shù)知識的交匯，來實現(xiàn)對學(xué)生綜合運用學(xué)科知識分析問題和解決問題的能力的考查.試題的主要亮點有（1）很好地實現(xiàn)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)知識模塊的自然交匯， 問題的設(shè)置注重幾何描述，強調(diào)數(shù)形結(jié)合；（2）問題設(shè)置脈絡(luò)清晰，層次分明，有效地在問題的求解過程中實現(xiàn)對數(shù)學(xué)思想方法和學(xué)科本質(zhì)的考查.

2.2 教學(xué)導(dǎo)向功能

本題的設(shè)計切合《課程標(biāo)準(zhǔn)》的基本理念，很好地體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)立足基礎(chǔ)、關(guān)注過程、突出思想、把握本質(zhì)等教與學(xué)的導(dǎo)向.重視對學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行思維和交流的能力的培養(yǎng)，有效引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)由結(jié)果教育向過程教育的轉(zhuǎn)變.

3 教學(xué)意圖

3.1 課堂情景

本題擬作為高三第一輪函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊復(fù)習(xí)課的例題.

3.2 學(xué)情預(yù)設(shè)

通過之前的作業(yè)和課堂表現(xiàn)，結(jié)合平時對學(xué)生的觀察、了解學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展區(qū)基本特征為：

（1）學(xué)生已學(xué)習(xí)了運用導(dǎo)數(shù)解決以三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)為背景的單調(diào)性與最值問題的基本方法，已有一定的通過構(gòu)造函數(shù)與求導(dǎo)的方法解決不等式含參問題的基礎(chǔ)，能較熟練地通過對二次函數(shù)圖象性質(zhì)的分析來處理求導(dǎo)問題.

（2）本題的研究對象以指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)為載體，情境較新，學(xué)生比較陌生.求導(dǎo)完難以轉(zhuǎn)化成以二次函數(shù)為背景的圖象性質(zhì)來分析，需要通過多次的構(gòu)造函數(shù)與求導(dǎo)來處理，對學(xué)生的抽象概括能力要求較高.這對學(xué)生而言存在相當(dāng)大的挑戰(zhàn)，但對導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)理解卻至關(guān)重要.

3.3 教學(xué)目標(biāo)

基于課程標(biāo)準(zhǔn)的要求、學(xué)生情況的實際、遵循教學(xué)目標(biāo)的“三維”理念，確定教學(xué)目標(biāo)為：經(jīng)歷“多次構(gòu)造函數(shù)與求導(dǎo)”的過程，理解每次構(gòu)造函數(shù)與求導(dǎo)的思維成因及意義，提高運用導(dǎo)數(shù)工具探究函數(shù)的單調(diào)性與最值問題的能力，進(jìn)一步理清解決函數(shù)、方程與不等式綜合問題的一般規(guī)律.

4 教學(xué)流程

以波利亞的“怎樣解題表”為指導(dǎo)展示析題過程

4.1 弄清題意

4.4 回顧反思

本道試題以指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)為載體，通過多次的構(gòu)造函數(shù)與求導(dǎo)，考查學(xué)生全面運用導(dǎo)數(shù)工具探究函數(shù)的單調(diào)性與最值問題的能力.之前學(xué)生對于通過對二次函數(shù)圖象性質(zhì)的分析來處理求導(dǎo)問題比較熟練，而對于需要多次求導(dǎo)的問題則顯得很不適應(yīng).本道試題的價值在于，能較好地切中學(xué)生原有的知識經(jīng)驗，打破學(xué)生的思維定勢，貼近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”.刺激學(xué)生把原有的知識經(jīng)驗作為新知識的生長點，形成新的知識經(jīng)驗，進(jìn)而體會研究導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用不應(yīng)只是掌握具體的方法，更要關(guān)注對導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解.

基于上述反思，結(jié)合“用題去教”的理念，對試題的第（Ⅱ）問進(jìn)行拓展延伸.

變式1 （Ⅱ）當(dāng)a =1時，設(shè)P（ x1，f（ x1 ）），Q（ x2，f（ x2））（x1

≥0，x2

≥0）， 且PQ/ /y軸，求P，Q兩點間的最短距離；

變式2 （Ⅱ）當(dāng)a =1時，設(shè)P（ x1，f（ x1 ）），Q（ x2，f（ x2））（x1≥0，x2

≥0），求P，Q兩點間的最短距離；

變式3 （Ⅱ）設(shè)P（ x1，f（ x1 ）），Q（ x2，f（ x2））（x1≥0，x2

≥0），且PQ/ /x軸，若P，Q兩點間的最短距離為1，求a的取值范圍；

構(gòu)造函數(shù)h（ x ）=ex+sinx？ax，

觀察h（ x ）=ex+cosx？a和h（ x ）=ex？sinx，

由h（ x ）≥0推出h（ x ）在[0， +∞）單調(diào)遞增結(jié)合h（0）=2？a.不難觀察，當(dāng)2？a≥0時推出h（ x ）在[0， +∞）單調(diào)遞增，可得最小值為h（0）=1，可類比第（Ⅲ）問思路.

進(jìn)一步觀察h（ x ）=ex？sinx，聯(lián)想到選修2？ 2第一章習(xí)題1.3的B組第一題的在[0， +∞）上ex≥x+1與sin x≤x的結(jié)論，考慮進(jìn)一步縮小范圍，令h（ x ） = ex？sinx？1，發(fā)現(xiàn)h（ x ）≥0在[0， +∞）仍然成立，考慮令h（ x ）=ex+cosx？x？m，從h（ x ）在[0， +∞）單調(diào)遞增結(jié)合h（0）=2？m出發(fā)，不但可以把條件改為二次函數(shù)g（ x ）=12x2+mx，同樣可類比第（Ⅲ）問思路處理.

變式4 函數(shù)f（ x ）=ex+sinx，g（ x ）=12x2+mx，

F（ x ）=f（ x ）？g（ x ），（Ⅱ）P（ x1，f（ x1 ））， Q（ x2，f（ x2））（x1

≥0，x2

≥0）， 且PQ/ /x軸， 若P，Q兩點間的最短距離為1，求m的取值范圍；

從2012年各省的高考試題來分析，不難看出上述理念在命題思路上得到較好的體現(xiàn).譬如：12年福建省理科20題，12年山東省理科22題，12年全國大綱理科20題，12年全國新課標(biāo)文科21題等等.

總之，任何一道數(shù)學(xué)題，都有它的背景及考查知識和方法的側(cè)重點.

因此，養(yǎng)成對典型例題進(jìn)行反思的習(xí)慣是極為重要的，例如：如何弄清題設(shè)與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，較快地找到解題的突破口？解題所用的方法是否合理簡捷，有沒有更好的解法？解題過程是否正確無誤，表述是否符合邏輯？解題所用的方法、技能有沒有廣泛應(yīng)用的價值？如果適當(dāng)改變題目的條件或結(jié)論，問題將會出現(xiàn)什么變化？有什么規(guī)律？等等.這樣做就能使我們領(lǐng)悟蘊含在問題的提出、完善和深化的全過程、貫穿在分析問題和解決問題的過程中的數(shù)學(xué)思想方法，提高綜合運用知識的能力.

參考文獻(xiàn)[1]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2004