解題教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生思維的嘗試

蔡少華

【摘要】 新課標(biāo)中強(qiáng)調(diào)“知識結(jié)構(gòu)”與“學(xué)習(xí)過程”，目的在于發(fā)展學(xué)生的思維能力，如何把數(shù)學(xué)知識作為思維過程的材料和媒介呢？ 只有把掌握知識、技能作為中介來發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)才符合素質(zhì)教育的基本要求，思維品質(zhì)的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育的價值得以真正實(shí)現(xiàn)的理想途徑.本文僅從精選例題、推廣習(xí)題和疏通不同解法三個方面淺談培養(yǎng)學(xué)生思維能力的一些作法.

【關(guān)鍵詞】 思維 精選例題 習(xí)題的推廣 疏通不同解法

【中圖分類號】 G421 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】 A 【文章編號】 1006-5962（2013）02（b）-0189-01

思維是人腦對現(xiàn)實(shí)的概括的反映，思維過程是一種對客觀事物的概括的間接的反映過程.它反映出客觀事物的一般特性和規(guī)律性的聯(lián)系和關(guān)系.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們?nèi)缒苤鸩脚囵B(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高思維水平，這對提高教學(xué)質(zhì)量，有著重要的作用.培養(yǎng)學(xué)生思維能力可以從各個方面入手，下面就解題這個角度，從精選例題、推廣習(xí)題和疏通不同解法三個方面淺談一些作法.

1 精選例題

主要是通過典型例題，以點(diǎn)帶面.

例1.求證：1×2×3×…×k+2×3×4×…×（k+1）+…+n（n+1）…（n+k-1）（k∈N﹡）.

這道題我在講《數(shù)學(xué)歸納法》（北師大版選修2-2）一節(jié)的習(xí)題課作為一例題出現(xiàn)（證明從略）.

講完這個題后，提問學(xué)生：平時哪些習(xí)題與例1類似？當(dāng)時，同學(xué)們一時答不上來，這時我便啟發(fā)同學(xué)們思考：在例1中，當(dāng)k=1，2，3…時，等式變?yōu)槭裁礃?？立刻，不少同學(xué)回答出：都是我們已作過的習(xí)題，由此可見通過例1不僅復(fù)習(xí)了如何應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式，而且通過例1把已做過的一些習(xí)題串聯(lián)起來.通過串聯(lián)，使學(xué)生對做過的習(xí)題仍然產(chǎn)生興趣和加深印象，這不僅有利于學(xué)生的思維發(fā)展，也深切體會到特殊與一般的關(guān)系.

2 習(xí)題的推廣

習(xí)題的推廣，這也是訓(xùn)練學(xué)生思維的一種手段.經(jīng)常注意這方面的訓(xùn)練，一方面能使學(xué)生從題海戰(zhàn)術(shù)中解脫出來；另一方面，使學(xué)生對所做過的習(xí)題有較深的印象，起到舉一反三，觸類旁通的效果.習(xí)題能否推廣的關(guān)鍵在于根據(jù)題目的內(nèi)容通過分析、類比，能否從特殊引向一般.

例2.已知，.求證：.

這是我在講《推理與證明》（北師大版選修2-2）一章時布置的一道課外作業(yè)題，同學(xué)們都做出來了，概括起來主要有下面六種證法：

1）綜合法；2）比較法；3）三角代換法；4）分析法；5）反證法；6）柯西不等式法.

講評完六種證法后，我提出了問題：能否將這道題加以引申，推廣到一般情形？經(jīng)過同學(xué)們的廣泛討論和思考得到下面的問題.

例3.已知：，.求證：.

對于這道題，例2中除了三角代換法外其余的五種證法的思維都能用到例3中.其實(shí)質(zhì)是用到了基本不等式：.

下課后，部分同學(xué)對例2進(jìn)行了另一種引申，得到了如下的命題一，并給出了證明.

[命題一]已知，， 均為正實(shí)數(shù)）.

求證：.

證明：（略）.個別同學(xué)在老師的指導(dǎo)下還得到下面的命題：

[命題二] 已知，，，.

求證：.證明：（略）

由上面的解法使學(xué)生看到這類題目雖然被引申和推廣，其實(shí)主要方法仍然是使用重要不等式.

3 疏通不同解法

通過不同的途經(jīng)解決問題，并疏通兩種不同的解法，這對培養(yǎng)學(xué)生的思維也是有益的.例如，我在數(shù)學(xué)歸納法的一節(jié)復(fù)習(xí)課中先給出了下面的問題：一堆同樣大小的立方體堆積如下圖，第一層1個，第二層1+2個，第三層1+2+3個，求n層的總個數(shù)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明所得結(jié)論.

略解：在公式中，依次令，得到n個等式，，，，，

.（﹡）將上面n個等式相加，可得

.數(shù)學(xué)歸納法證明：（略）.然后提出

例4.求證：n×1+（n-1）×2+…+1×n.

對比上式，即要證n×1+（n-1）×2+…+1×n引導(dǎo)學(xué)生觀察（﹡）號中的幾個等式的左邊，不難發(fā)現(xiàn)對應(yīng)的列相加，就得到上面的等式.當(dāng)然例4也可用數(shù)學(xué)歸納法來證明.通過上面兩例解法的疏通，大大地激發(fā)了同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣，有利于提高學(xué)生的思維能力.

我通過上述的嘗試，提高了教學(xué)效果，初步看到，這種做法有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高思維水平，這也正是新課標(biāo)賦予我們的使命之一.