基于含誤差測量結果的Lamb波損傷檢測*

劉喜平，余 龍

(1.陜西理工學院 土木工程與建筑學院，陜西 漢中 723001；2.西北工業(yè)大學 力學與土木建筑學院，陜西 西安 710072)

Lamb波是一種在薄壁結構中產(chǎn)生的平面應變波，具有傳播速度快，耗散小和對損傷敏感等特點?；谟^察損傷對Lamb波傳播過程影響的結構損傷檢測方法，已經(jīng)被證明能夠快速高效完成對大型板殼結構表面腐蝕、裂紋、穿透孔洞和焊縫缺陷等多種損傷的檢測[1-4]；因此在損傷檢測研究中受到了廣泛的重視[5-9]。

Wang D和Su Z Q等[10-12]研究者充分考慮到實際工程監(jiān)測時傳感器數(shù)據(jù)中的誤差因素，在Lamb波ToF(Time of Flight)損傷檢測方法中通過引入概率思想，提高了存在測量誤差情況下的損傷檢測結果可靠性。但已有研究成果中，首先使用了不夠直觀的概率定義，其次對作為該方法中核心內(nèi)容的概率密度函數(shù)使用了正態(tài)分布假設。

本文對基于概率的Lamb波損傷檢測中的概率方法進行了分析，給出了新的概率定義；并通過在數(shù)值仿真結果中加入高斯白噪音，對已有工作中的測量結果正態(tài)分布假設進行了檢驗；最后使用非參數(shù)統(tǒng)計領域的最新研究方法獲取了測量結果分布的真實概率密度函數(shù)。

1 基于概率的Lamb波損傷檢測方法

1.1 Lamb波ToF損傷檢測方法

ToF方法是當前基于Lamb波的損傷檢測中使用最廣泛的方法之一。當Lamb波被激發(fā)后，傳感器將首先接收到直接從激勵器發(fā)出的Lamb波信號；如果結構內(nèi)有損傷存在，則傳感器還將接收到損傷反射的Lamb波信號。Lamb波直達信號和損傷反射信號均為波包形式信號，可以采用閾值法，互相關函數(shù)法和小波變換法等方法測量其波達時間[13]。兩個信號到達傳感器時間之間的差距稱為ToF。式(1)給出了ToF的定義：

(1)

其中Ti-j是編號i激勵器與編號j傳感器測量到的ToF值，LA-D是激勵器到損傷間的距離，LD-S是損傷到傳感器間的距離，LA-S是激勵器到傳感器間的距離，VS0和VSH0-damage分別是S0波和損傷反射波SH0-damage波的速度。

在使用了一組激勵器和傳感器測量到一個損傷ToF值之后，符合公式(1)的損傷位置是圍繞激勵器和傳感器的一條近似橢圓曲線。因此，一般采用多個激勵器傳感器組合，分別獲取多個ToF測量值，繪出多條相應曲線，各條曲線的公共交點為損傷具體位置。

1.2 基于概率的ToF方法

在傳統(tǒng)ToF方法中，不考慮各組激勵器傳感器測量到的ToF值中的誤差，這樣多條損傷可能位置曲線將準確交于一點。但是在實際中，由于各種噪音的干擾，ToF測量值中的誤差是不可避免的。因此多條損傷位置曲線不能交于一點，存在損傷位置難以確定的問題。

針對這一問題，Wang D和Su Z Q等研究者引入概率論概念，改變了傳統(tǒng)ToF方法中在尋找損傷位置時完全不考慮損傷可能位置曲線之外的點的思想，提出由于各種測量誤差的存在，實際損傷位置有一定概率不在依據(jù)ToF測量值繪出的損傷位置曲線上。據(jù)此思想提出了基于概率的ToF損傷檢測方法。其方法主要內(nèi)容可以分為兩部分，首先是依據(jù)每組ToF測量結果對檢測區(qū)域內(nèi)各點進行損傷概率評估，使用損傷分布概率圖來代替損傷位置曲線。最后對各組傳感器結果進行綜合評估，得到目標結構損傷分布概率圖。這樣在給定了損傷概率閾值之后，可以方便地依據(jù)概率數(shù)值給出明確的損傷可能位置區(qū)域。解決了傳統(tǒng)方法在測量結果存在誤差時難以給出具體損傷位置的問題。

當前已有的研究成果主要是集中在該方法第二部分內(nèi)容。實際上在已有成果中的第一步內(nèi)容上還存在有兩個不足：

1)概率定義問題。已有工作中的“損傷可能位置概率”，是指實際損傷位置距離某次測量值的概率分布fD(T)(s)，其中s=D(T)-D(Tm)，T和Tm分別是ToF值和其測量值,D(T)和D(Tm)分別是損傷真實位置和依據(jù)ToF測量值得到的損傷位置。由于噪音干擾，多種損傷的ToF測量值都有可能等于Tm，所以這種定義比較無論是通過理論推導還是樣本分析，想要給出fD(T)(s)都是比較困難的。

2)概率密度函數(shù)估計方面。當前已有工作中，對fD(T)(s)普遍使用了經(jīng)驗公式進行估計。在Su的工作中，根據(jù)經(jīng)驗采用高斯分布概率密度函數(shù)

(2)

其中Zij是平面各點與測量結果所對應損傷可能位置曲線間的距離，參數(shù)σij根據(jù)經(jīng)驗給出。

在Wang的工作中，平面上坐標為(x,y)的點的損傷概率由以下公式給出：

(3)

其中Wk[Rk(x,y)]是不同測量路徑下的權重系數(shù)，Rk(x,y)是點與路徑間的距離的一個線性函數(shù)，根據(jù)經(jīng)驗給出。

針對已有工作中的問題，首先應使用fTm(t)(即測量結果Tm的分布函數(shù)，其中t為時間)這一定義；其次，前人根據(jù)經(jīng)驗公式估計概率密度函數(shù)的方法，雖然具有一定的可行性，但由于使用了正態(tài)分布假設，因此缺乏對不同噪音情況的穩(wěn)健性。本文提出應該進行多次測量，運用統(tǒng)計學方法對測量結果樣本進行科學分析，獲取每一組傳感器測量結果的概率分布密度函數(shù)，并據(jù)此分析真實損傷位置。

2 對正態(tài)分布假設的檢驗

使用ANSYS軟件,以邊長為1 mm正方形單元，建立了600 mm × 600 mm × 1.5 mm的四邊簡支鋁板模型，彈性模量、泊松比和密度分別為71e9 GPa, 0.35和2 711 kg/m3。如圖1所示，以直徑為18 mm的穿透圓孔為檢測目標。使用加漢寧窗的5周300 kHz正弦波為激勵信號，激發(fā)出速度為5 159 m/s的S0波和2 611 m/s的A0波。模型中包括8個對稱分布壓電傳感器。使用其中四組，分別為s2-6(由2號和6號構成)、s3-7、s4-8和s3-5。其中s4-8接收到的信號如圖2所示。針對每組傳感器使用閾值法(即使用超過閾值的多個波峰時間的平均值來計算波包到達時間)分別進行了30次測量以獲得ToF統(tǒng)計樣本。

圖1 數(shù)值模型Fig.1 Schematic of numerical simulation mode

為模擬在實際實驗環(huán)境中的噪音，在通過仿真獲得的Lamb信號中分別加入了20 dB和30 dB的高斯白噪聲。

首先在30 dB噪音下，使用閾值法分別進行了30次ToF測量。觀察測量數(shù)據(jù)分布直方圖(圖3)，易見該數(shù)據(jù)分布不屬于正態(tài)分布類型。統(tǒng)計學中的Lillieforss檢驗可以用來檢測數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布[14]。本文數(shù)據(jù)在95%置信區(qū)間下的Lillieforss檢驗計算值為0.332 1，遠大于臨界值0.158 8，說明數(shù)據(jù)樣本與正態(tài)分布存在顯著性差異。

對20 dB噪音下的測量結果進行分析也得到同樣結果，即測量結果分布不屬于正態(tài)分布。

由于高斯白噪音已經(jīng)是理想化的情況，而實際工程中的噪音干擾更加復雜，因此實際工程中的ToF測量值分布與正態(tài)分布差異將更大。

圖3 30dB噪音下測量數(shù)據(jù)分布直方圖Fig.3 Histograms of measured data under 30dB noise

3 概率密度估計

統(tǒng)計學中概率密度估計方法可分為兩類，即參數(shù)方法和非參數(shù)估計方法。如采用已有工作中的正態(tài)分布假設，則可使用極大似然估計得到正態(tài)分布的兩個參數(shù)的估計量[15]：

(4)

(5)

其中Ti-j,k由i-j傳感器激勵器組測量的ToF數(shù)值，n為樣本數(shù)目。由于式(5)中給出的方差估計量只是漸進無偏估計，因此一般使用改進后的最小方差無偏估計量：

(6)

當測量數(shù)據(jù)分布類型未知時，則應使用非參數(shù)估計方法。其中應用最廣泛的是核估計方法[16]。

設K(u)為定義在(-∞,∞)上的一個Borel可測函數(shù)，而hn>0為常數(shù)，則

(7)

稱為總體密度的一個核估計。K稱為核函數(shù)，而hn稱為窗寬(Bandwidth)。核函數(shù)和窗寬的選擇對核估計結果有重要影響。一般使用漸進均方誤差的方法來選擇窗寬：

(8)

但在上式中包含待估計函數(shù)f本身，所以并不能直接用來選擇窗寬。如果假設f為正態(tài)分布類型，則可以獲得公式(8)的解：

(9)

這就是核估計中常用的高斯近似法。但由于在窗寬選擇中分布類型假設的引入，使得這種核估計方法不再是嚴格意義上的非參數(shù)估計。

使用參數(shù)估計方法和基于高斯近似的核估計方法，分別對30 dB和20 dB噪音下的測量結果進行了概率密度估計(圖4、圖5)?？梢娨延泄ぷ髦谢谡龖B(tài)分布假設的概率密度結果實際上是一種過平滑的估計結果?；诟咚菇频暮斯烙嫹椒ㄔ谳^小噪音情況下，能夠很好的反映出真實概率分布的特征；但是當噪音增加到20 dB時，也退化為一種過平滑估計。

由此可見，為了對Lamb波損傷檢測中的ToF測量值進行概率密度估計，需要引入更加先進的概率密度估計方法。

針對常見核估計方法的問題，Botev在2010年提出了一種新的基于擴散方程的核估計方法[17]。該方法具有良好的估計性能，且不需要對樣本分布類型做出任何假設。

Botev估計方法首先給出如下擴散微分方程

(10)

圖4 30 dB噪音下s4-8傳感器組概率密度函數(shù)估計結果 Fig.4 p.d.f. estimated result of s4-8 under 30 dB noise

圖5 20 dB噪音下s4-8傳感器組概率密度函數(shù)估計結果Fig.5 p.d.f. estimated result of s4-8 under 20 dB noise

該方程的解可以用來進行核估計：

(11)

在對以上基于擴散方程的核估計方法進行窗寬選擇時，同樣面臨與傳統(tǒng)核估計漸進均方誤差法窗寬選擇時依賴于fl的問題(其中l(wèi)是導數(shù)階次)，為解決這一問題，Botev提出了改進的Sheather-Jones算法：

1)對給定的l>2，令z0=ε，n=0；其中ε是計算機計算精度；

2)令zn+1=ξγ[l](zn)

其中l(wèi)值一般推薦為5。

在上述改進Sheather-Jones算法基礎上，可以進一步給出基于擴散方程的核估計：

1) 執(zhí)行Sheather-Jones算法步驟；

2)令在上述步驟中得到的高斯核估計值為px，再令ax=pαx，其中α∈[0,1]；

3)使用下式來給出‖Lf‖2估計值：

(12)

4)將‖Lf‖2估計值帶入下式：

(13)

圖4、圖5中給出了使用Botev方法對30 dB和20 dB噪音下測量結果的概率密度估計結果。從中可見，當噪音增加到20 dB噪音，只有Botev方法仍能很好的對樣本概率密度函數(shù)進行估計。

完成概率密度函數(shù)估計后，依據(jù)估計結果，根據(jù)式(1)，將fTmt映射為檢測目標結構內(nèi)的損傷位置概率分布；通過與其他傳感器組給出的損傷位置概率分布相結合得到損傷檢測結果。圖6、圖7和圖8中分別給出了20 dB噪音情況下，基于三種方法估計結果的損傷檢測結果。其最大概率損傷位置分別為(0.195 5，0.201 5)，(0.198 5，0.201 5)和(0.199 5，0.201 5)。

圖6 基于參數(shù)估計的損傷檢測結果Fig.6 Damage localization result using parametric estimate method

圖7 基于高斯分布假設核估計的損傷檢測結果Fig.7 Damage localization result using kernel density estimation based on Gaussian approximation

圖8 基于Botev方法的損傷檢測結果Fig.8 Damage localization result using Botev method

從中可以看出：由于參數(shù)估計和基于高斯假設的核估計方法給出了真實概率分布的一種過平滑結果，只有Botev方法給出的結果準確反映了真實概率分布的細節(jié)特征。因此基于Botev方法的損傷檢測結果也具有最高的精度?？梢姡瑴蚀_的概率密度函數(shù)估計對損傷檢測結果精度有著直接的影響。

4 結 論

針對已有基于概率的Lamb波損傷檢測工作中在對測量結果正態(tài)分布假設的基礎上，使用經(jīng)驗公式方法對損傷位置概率進行估計的不足，指出應使用統(tǒng)計學方法，通過對測量樣本進行分析來得到樣本分布的可靠估計結果。首先通過直方圖和Lillieforss檢驗證明了即便是在較為理想的高斯白噪音干擾下，ToF測量值分布也與正態(tài)分布存在明顯差異；其次，通過數(shù)值仿真實驗結果對參數(shù)估計、核估計和Botev核估計三種方法進行了評估。結果表明，即使在噪音較大情況下，基于擴散方程的Botev核估計方法仍能夠清晰的給出ToF測量值概率密度函數(shù)的真實本質特性。最后通過對比損傷檢測結果，指出準確的ToF測量值概率密度函數(shù)估計結果對損傷檢測結果精度有著直接的影響。

因此，在基于概率的Lamb波損傷檢測中引入Botev核估計方法，首先能夠完善整個檢測過程方法的理論體系，不再依賴于經(jīng)驗公式；其次，也能夠提高基于概率的Lamb波損傷檢測的可靠性和精度。

參考文獻：

[1] LU X, LU M Y, ZHOU L M, et al. Evaluation of welding damage in welded tubular steel structures using guided waves and a probability-based imaging approach[J]. Smart Materials and Structures, 2011, 20(1):015018.

[2] CHEN J G, SU Z Q, CHENG L. Identification of corrosion damage in submerged structures using fundamental anti-symmetric Lamb waves[J]. Smart Materials and Structures, 2010, 19(1):015004.

[3] ZUMPANO G, MEO M B. A new nonlinear elastic time reversal acoustic method for the identification and localisation of stress corrosion cracking in welded plate-like structures-A simulation study[J]. International Journal of Solids and Structures, 2007, 44: 3666-3684.

[4] 王強, 袁慎芳. 無參考主動Lamb波結構損傷時反成像監(jiān)測方法[J]. 航空學報, 2010, 31(1): 178-183.

[5] 王瑜, 袁慎芳, 邱雷, 等. 主動Lamb波中的空間濾波器結構健康監(jiān)測[J]. 振動、測試與診斷, 2011, 31(6): 794-797.

[6] SU Z Q, YE L, LU Y. Guided Lamb waves for identification of damage in composite structures : A review[J]. Journal of Sound and Vibration, 2006, 295: 753-780.

[7] AJAY Raghavan， CARLOS E S. Cesnik, review of guided-wave structural health monitoring[J]. The Shock and Vibration, 2007, 39: 91-114.

[8] 胥保春, 袁慎芳, 邱雷. Lamb波與瞬時相位技術在損傷識別中的應用[J]. 振動、測試與診斷, 2010, 30(3): 240-244.

[9] 張海燕,于建波,孫修立,等. HHT在Lamb波檢測信號分析中的應用[J]. 振動、測試與診斷, 2010, 30(3): 223-226.

[10] WANG D, YE L, SU Z Q, et al. Probabilistic Damage Identification Based on Correlation Analysis Using Guided Wave Signals in Aluminum Plates[J]. Structural Health Monitoring, 2010, 9(2): 133-144.

[11] SU Z Q, WANG X M, CHENG L, et al. On selection of data fusion schemes for structural damage evaluation[J]. Structural Health Monitoring, 2009, 8(3):223-241.

[12] SU Z Q, CHENG L, WANG X M, et al. Predicting delamination of composite laminates using an imaging approach[J]. Smart Materials and Structures, 2009, 18(7) :074002.

[13] 袁慎芳. 結構健康監(jiān)控[M]. 北京：國防工業(yè)出版社, 2007:78-100.

[14] LILLIEFORS H W. On the kolmogorov-smirnov test for the exponential distribution with mean unknown[J]. Journal of the American Statistical Association,1969, 64:387-389.

[15] 陳希孺. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M]. 合肥：中國科技大學出版社,2009：52-61.

[16] 陳希孺, 方兆本, 李國英, 等. 非參數(shù)統(tǒng)計[M]. 上海：上?？茖W技術出版社, 1989:45-52.

[17] BOTEV Z I, GROTOWSKI J F, KROESE D P. Kernel density estimation via diffusion[J]. Annals of Statistics, 2010, 38 (5): 2916-2957.