隨機(jī)微分博弈下的資產(chǎn)負(fù)債管理*

楊 鵬，林 祥

(1. 西京學(xué)院基礎(chǔ)部,陜西 西安 710123；2. 中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 長沙410075)

資產(chǎn)-負(fù)債管理問題是以研究負(fù)債情形下組合證券投資問題的最優(yōu)投資策略和風(fēng)險控制為目標(biāo)，以實現(xiàn)資產(chǎn)的最優(yōu)配置和套期保值為目的的一種現(xiàn)代金融管理方法。目前, 已經(jīng)受到理論界和許多金融機(jī)構(gòu)的重視。文[1]研究了均值-方差準(zhǔn)則下的負(fù)債問題。建立了負(fù)債與股票價格服從不同的布朗運動情形下的均值-方差模型, 得到了最優(yōu)投資策略和有效前沿的顯示表達(dá)式。文[2] 應(yīng)用隨機(jī)控制研究負(fù)債情形下基于效用最大化的動態(tài)投資組合。在指數(shù)效用，冪效用，對數(shù)效用下通過求解相應(yīng)的HJB方程，得到了最優(yōu)投資策略和值函數(shù)的顯示解。類似的研究還有文[3-5]等。

我們發(fā)現(xiàn)已有文獻(xiàn)對資產(chǎn)-負(fù)債管理問題的研究，只從投資者的角度出發(fā)，獲得最優(yōu)投資組合，而完全沒有考慮市場對投資者的影響。我們知道，在實際中，投資者肯定會受到市場不確定性因素的影響，因此從投資者和市場兩個角度同時考慮才更符合實際。這就是隨機(jī)微分博弈問題。

隨機(jī)微分博弈屬于博弈論的范疇。博弈論雖然古已有之，但文[6]的發(fā)表才標(biāo)志著隨機(jī)微分博弈時代的真正到來。隨機(jī)微分博弈，假設(shè)市場是博弈的“虛擬”對手，通過投資者和市場之間的雙重博弈得到最優(yōu)的投資組合。它如今已成為數(shù)理金融學(xué)、管理學(xué)科的研究熱點。如文[7]在跳-擴(kuò)散金融市場中，利用隨機(jī)微分博弈論研究了風(fēng)險最小化的投資組合策略問題。文[8]也利用隨機(jī)微分博弈論研究了Markov調(diào)制模型下的期權(quán)估值問題。文[9]研究了兩個具有相關(guān)但不同投資機(jī)會的投資者之間基于隨機(jī)微分博弈的最優(yōu)投資問題。我們在隨機(jī)微分博弈下研究了資產(chǎn)負(fù)債管理問題。投資者與市場之間的博弈，我們假設(shè)投資者是博弈的主導(dǎo)者。即目標(biāo)是，在市場最壞的情況下，投資者選擇一個最優(yōu)的策略最大化終值財富的期望效用。因為在投資時，我們考慮到了市場出現(xiàn)的最壞情況。通過采用線性二次控制的理論，在指數(shù)效用和冪效用下得到了最優(yōu)的投資策略、最優(yōu)市場策略和值函數(shù)的顯示解。

1 模型和隨機(jī)微分博弈問題

1.1 模型

dLt=Lt[udt+vρdW(t)],L0=l0>0

設(shè)π是投資到風(fēng)險資產(chǎn)上的資金，這里π=(π1,π2,…,πn)?？紤]投資和負(fù)債后，財富過程X(t,π)滿足下面的隨機(jī)微分方程

dX(t,π)=[rX(t,π)+π(t)B-u]dt+

[πDT-vρ]dW(t)

(1)

其中B=(r1-r0,r2-r0,…,rn-r0)T，D=(σij)n×n。

設(shè){Ft}是由布朗運動W(t)生成的右連續(xù)，完備的自然流，對應(yīng)的完備概率空間為Ω,Ft,P，P為一概率測度。

定義1 一個策略π(·)稱為可行的，如果π(·)關(guān)于流{Ft}是可料的，且對于每個t≥0過程π(·)滿足下面的條件：

(ii) 隨機(jī)微分方程(1)對于{π(t),t≥0}有唯一的強解。

所有可行的策略記為∏。

設(shè){θ(t)=[θ1(t),θ2(t),…,θn(t)]t≥0}是定義在(Ω,Ft,P)上實值的滿足下列條件的隨機(jī)過程

(i) {θ(t)=[θ1(t),θ2(t),…,θn(t)]t≥0}是Ft-循序可測的；

(ii) 對幾乎所有的(t,ω)∈[0,+∞)×Ω，θi(t):=θi(t,ω)<1，i=1,2,…,n；

對滿足上述條件的全體θ(t)記為Θ。

對每個{θ(t)=[θ1(t),θ2(t),…,θn(t)]t≥0} ∈Θ定義{zθi(t)t≥0}如下

i= 1,2,…,n;

dzθi(t)=-zθi(t)θidWi,i=1,2,…,n

記 dZθ(t)=-Zθ(t)θdW(t)

(2)

1.2 隨機(jī)微分博弈問題

設(shè)u為一效用函數(shù)，u′>0,u″<0，即u是嚴(yán)格遞增的凸函數(shù)。對每個投資策略π(·)，定義投資者的終值財富在Pθ下的期望效用為

其中Eθ是在概率測度Pθ下的期望。

投資者與市場之間的博弈，假設(shè)投資者是博弈的主導(dǎo)者。即目標(biāo)是，在市場最壞的情況下，投資者選擇一個最優(yōu)的策略π(·)最大化終值財富的期望效用。即

(3)

其中π*,θ*為最優(yōu)策略。該問題是投資者與市場之間的零和微分博弈問題，解決該問題就要找到最優(yōu)的策略π*,θ*和相應(yīng)的值函數(shù)Vt,x。

2 最優(yōu)策略與值函數(shù)

2.1 指數(shù)效用函數(shù)

引理1g(t)滿足下面的常微分方程

g′(t)+g(t)mer(T-t)u-vBTD-1ρT=0，

g(T)=1

(4)

則

(5)

證明解常微分方程(4)即可得到(5)。求解過程略。

定理1 隨機(jī)微分博弈問題(3)的最優(yōu)投資策略為

(6)

市場的最優(yōu)策略為

θ*=BTD-1

(7)

值函數(shù)滿足下式

(8)

g(t)滿足(5)式。

[π(t)DTDπT(t)-2πvDTρT+v2ρρT]+

g(t)er(T-t)[rX(t,π)+πB-u]-

g(t)er(T-t)[πDT-vρ]θ(t)T}dt+

g(t)Zθ(t)er(T-t)e-mX(t,π)er(T-t)(πDT-vρ)dW(t)=

Zθ(t)e-mX(t,π)er(T-t)·

[θ(t)-θ*(t)]T}dt+

g(t)Zθ(t)er(T-t)e-mX(t,π)er(T-t)(πDT-vρ)dW(t)

其中π*，θ*分別滿足(6) 、(7) 式，從t到T積分，在Zθ(t)=z,X(t,π)=x的條件下在概率測度P取條件期望，應(yīng)用Beyes準(zhǔn)則，得到

[π(s)-π*(s)]}ds

因為g(t)>0,Zθ(t)>0，所以問題得證。

推論1 當(dāng)不考慮負(fù)債，u=v=ρ=0，隨機(jī)微分博弈問題(3)的最優(yōu)投資策略為

π*=0

(9)

市場的最優(yōu)策略為

θ*=BTD-1

(10)

注1 從定理1和推理1得知，最優(yōu)投資策略只和負(fù)債有關(guān)。當(dāng)沒有負(fù)債時，在市場出現(xiàn)最壞的情況，投資者會把全部的資金來購買無風(fēng)險資產(chǎn)，不會冒最大的風(fēng)險在股票上投資。這是符合人們的心理的。

注2 市場的最優(yōu)策略為常數(shù)，和負(fù)債沒有關(guān)系。說明，負(fù)債只對投資者有影響，而對市場沒有影響，這符合實際。因為，負(fù)債由投資者承擔(dān)和市場沒有關(guān)系。

2.2 冪效用函數(shù)

引理2f(t),h(t)分別滿足下面的常微分方程

f′(t)+rpf(t)=0,f(T)=1

(11)

h′(t)-rph(t)+(u-vBTD-1ρT)p=0,

g(T)=0

(12)

則f(t) = epr(T-t)

(13)

(14)

證明解常微分方程(11)、(12)式即可得到(13)、(14)式。求解過程略。

定理2 隨機(jī)微分博弈問題(3)的最優(yōu)投資策略為

π*=vρ(DT)-1

(15)

市場的最優(yōu)策略為

θ*=BTD-1

(16)

值函數(shù)滿足下式

(17)

f(t),h(t)分別滿足(13)、(14)式。

f(t)(-p[X(t,π)-h(t)]p-1h′(t)+

p[X(t,π)-h(t)]p-1(rX(t,π)+πB-u)+

[π(t)DTDπT(t)-2πvDTρT+v2ρρT]-

p[X(t,π)-h(t)]p-1[πDT-vρ]θ(t)T)}dt-

f(t)[X(t,π)-h(t)]pZθ(t)πDT-vρdW(t)=

[π(t)-π*(t)](DTD)[π(t)-π*(t)]T+

Zθ(t)θ(t)dW(t)+f(t)[X(t,π)-h(t)]p·

Zθ(t)πDT-vρdW(t)

其中π*，θ*分別滿足(15)、(16)式，從t到T積分，在Zθ(t)=z,X(t,π)=x的條件下在概率測度P取條件期望，應(yīng)用Beyes準(zhǔn)則，得到

[θ(s)-θ*(s)]T[θ(t)-θ*(s)]+

[π(s)-π*(s)](DTD)[π(s)-π*(s)]T}

因為g(t)>0,Zθ(t)>0，所以問題得證。

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