一類二階非線性時標動態(tài)方程新的Kamenev型振動準則*

邱仰聰，王其如

(1.順德職業(yè)技術學院人文社科學院，廣東 佛山 528333；2.中山大學數(shù)學與計算科學學院，廣東 廣州 510275)

1988年，在導師Bernd Aulbach的指導下，德國數(shù)學家Stefan Hilger在他的博士論文中首次提出測度鏈的概念，從而創(chuàng)立了測度鏈上的微分方程理論，引起了國際數(shù)學界的普遍關注。后來，Bohner和Peterson系統(tǒng)分析了測度鏈上動態(tài)方程的重要一類：時標動態(tài)方程(Dynamic Equations on Time Scales)，見文[1-2]。在最近這些年里，國際上有許多數(shù)學家投入到對時標動態(tài)方程的解的振動性研究中，并得到了一系列有意義的研究成果[1-8]。

1 概 述

本文將研究時標T上的二階非線性時標動態(tài)方程

(p(t)ψ(x(t))xΔ(t))Δ+f(t,x(σ(t)))=0

(1)

并假設以下條件總成立：

(C1)p∈CrdT,(0,∞)；

(C2)ψ∈C,(0,η]，這里η為某個正常數(shù)；

(C3)f∈C(T×,)，且存在一個函數(shù)q∈Crd(T,)且q(t)不最終恒等為0，使得uf(t,u)≥q(t)u2。

方程(1)的一個解x稱為在t*∈T有一個廣義零點，如果x(t*)x(σ(t*))≤0；稱x(t)在T是非振動的，如果存在t0∈T使得?t>t0有x(t)x(σ(t))>0。否則，就稱x(t)為振動的。如果方程(1)的所有解都是振動的，就稱方程(1)是振動的；否則，就稱方程(1)是非振動的。

2012-2013年，Qiu等[3-4]中利用了H(t,s)型函數(shù)和廣義Riccati變換技巧，分別給出方程(1)的區(qū)間和Kamenev型振動準則。在文[5]中，Del Medico和Kong考慮了二階非線性時標動態(tài)方程

(p(t)xΔ(t))Δ+q(t)x(σ(t))=0

提出使用H(t,s,t0)型函數(shù)，給出了一種新的Kamenev型振動準則。受Del Medico等[5]的啟發(fā)，本文利用H(t,s,t0)型函數(shù)和廣義Riccati變換技巧，建立方程(1)新的Kamenev型振動準則，并給出例子對相關的定理進行說明。

為了簡化記號，使本文更加簡潔，在本文里記(a,b)∩T=(a,b)T，其中a,b∈，至于[a,b]T，[a,b)T和(a,b]T等也采用類似的記法。限于文章篇幅，相關的時標理論的預備知識請參考文獻[1-2]。

2 基本引理

下面，先給出以下引理：

引理1 假設x(t)是方程(1)的一個解，滿足當t∈[t0,∞)T，t0∈+時x(t)>0。定義

(2)

μ(t)u(t)-μ(t)B(t)+ηA(t)p(t)>0

(3)

且

(4)

證明首先，

μu-μB+ηAp≥μu-μB+Apψ(x)=

且

因此(3)式成立。然后對(2)式求導再用方程

(1)，則有

因此(4)式成立。證畢。

3 主要結(jié)果

令D0={s∈T:s≥0}，D={(t,s,t0)∈T3:t≥s≥t0≥0}。對任意函數(shù)f(t,s,t0): T3→，記和分別為f相對于t和s的偏導數(shù)。對于E?，記Lloc(E)為所有在E的任意緊子集可積的函數(shù)組成的空間。定義

ηA(s)p(s)±μ(s)B(s)>0,s∈D0};

H(t,t,t0)=H(t,t0,t0)=0,H(t,s,t0)>0,

t>s>t0≥0}。

(ηA(ρ(t))p(ρ(t))-μ(ρ(t))B(ρ(t)))]>0

(5)

其中Φ與前面的定義一致，以及

則方程(1)振動。

證明假設方程(1)非振動。不失一般性，假設存在t0∈[0,∞)T，使得當t∈[t0,∞)T時x(t)>0。令u(t)按(2)定義，則由引理1，(3)式和(4)式成立。

在(4)式兩邊乘上Hσ，并將t換成s，再對s從t0到t積分，其中t∈T且t≥σ(t0)，得到

注意到H(t,t,t0)=H(t,t0,t0)=0，于是有

Φ(ρ(t))(t-ρ(t))=0

(6)

實際上，如果ρ(t)=t，(6)式成立；否則σ(ρ(t))=t，使得H(t,σ(ρ(t)),t0)=H(t,t,t0)=0，因此由分部積分公式有

(7)

注意到

(8)

再者，對t≥σ(t0)，s∈[σ(t0),ρ(t))T，且u(s)≤0，

(9)

對t≥σ(t0)，s∈[σ(t0),ρ(t))T，且u(s)>0，

(10)

由(9)式、(10)式，有

(11)

由(6)式，類似地有

(12)

(13)

最后，由(7)式、(8)式和(11)式-(13)式，得到

(ηA(ρ(t))p(ρ(t))-μ(ρ(t))B(ρ(t)))≤0

從而與(5)式矛盾，故結(jié)論成立。證畢。

當(A,B)=(1,0)時，定理1可以簡化為以下推論。

其中

則方程(1)振動。

更進一步地，若ψ(y)=y，f(t,u)=q(t)u，定理1將簡化為文獻[5]的定理2.1。

4 例 子

例1 考慮方程

(14)

故根據(jù)定理1，方程(14)振動。

故根據(jù)推論1，方程(14)振動。

參考文獻：

[1] BOHNER M, PETERSON A. Dynamic equations on time scales[M]. Boston：Birkh?user, 2001.

[2] BOHNER M, PETERSON A. Advances in dynamic equations on time scales [M]. Birkh?user, Boston, 2003.

[3] QIU Y C, WANG Q R. Interval oscillation criteria of second-order nonlinear dynamic equations on time scales [J]. Discrete Dyn Nat Soc, 2012, Article ID 952932:16.

[4] QIU Y C, WANG Q R. Kamenev-type oscillation criteria of second-order nonlinear dynamic equations on time scales [J]. Discrete Dyn Nat Soc, 2013, Article ID 315158:12.

[5] DEL MEDICO A, KONG Q K. New Kamenev-type oscillation criteria for second-order differential equations on a measure chain [J]. Comput Math Appl, 2005, 50:1211-1230.

[6] DEL MEDICO A, KONG Q K. Kamenev-type and interval oscillation criteria for second-order linear differential equations on a measure chain [J]. J Math Anal Appl, 2004, 294: 621-643.

[7] HUANG H, WANG Q R. Oscillation of second-order nonlinear dynamic equations on time scales [J]. Dynam Systems Appl, 2008, 17(3/4): 551-570.

[8] WANG Q R. Oscillation criteria for nonlinear second order damped differential equations [J].Acta Math Hunger, 2004, 102:117-139.