探索性問題的一般解答策略

李志學(xué)

【摘要】 在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常會(huì)碰到探索性問題，以“試推測”探求，判斷或“是否”、“能否”等詞的出現(xiàn)，這類問題，常以三種形式出現(xiàn)：（1）由已知條件，尋求相應(yīng)結(jié)論。（2）.給定結(jié)論，反推應(yīng)具備的條件。（3）.存在性問題，本文通過具體的例子說明這類問題的解題策略。

【關(guān)鍵詞】 探索 存在性 函數(shù) 數(shù)列

【中圖分類號(hào)】 G426 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1006-5962（2013）01（a）-0184-02

1 由給定條件尋求相應(yīng)結(jié)論。

（1）..對(duì)于這類問題的解題思路是從所給條件出發(fā)，經(jīng)過分析、觀察、利用特殊→一般→特殊→一般的辯論關(guān)系，進(jìn)行探索、歸納、猜想出結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。

例1.設(shè)數(shù)列﹛an﹜的各項(xiàng)為正數(shù)a1=1，Sn表示其前n項(xiàng)的和，且n∈N時(shí)，Sn+1+Sn與1的等比中項(xiàng)為an+1。

（1）..求S1，S2，S3，S4的值。求①的結(jié)果推測Sn的表達(dá)式，并證明。

解：①由條件可知：Sn+1+Sn=an+12

∴Sn+1+Sn=（Sn+1-Sn）2，，∵S1=1，∴S2+1=（S2-1）2 ∴S2=3，同理S3=6，S4=10，

S1=*1（1+1）=1，S2=*2（2+1）=3，S3=*3（3+1）=6，S4=*4（4+1）=10……推測Sn=n（n+1）

②.證明：ⅰ當(dāng)n=1時(shí)，S1=*1（1+1）=1推理正確，ⅱ假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，推理正確，即

Sk=k（k+1）

當(dāng)n=k+1時(shí)，Sk+1+Sk=（Sk+1-Sk）2得，Sk+1+k（k+1）= [Sk+1-k（k+1）]2

Sk+12-[k（k+1）+1]Sk+1+k2（k+1）2—k（k+1）=0

即[Sk+1—k（k+1）—（k+1）]*[Sk+1-k（k+1）+k]=0∵an>0

，∴Sk+1=k（k+1）+k+1=（k+1）（k+2），當(dāng)即n=k+1時(shí)，推理正確，

由（?。?，（ⅱ）可以斷定Sn=n（n+1）對(duì)于一切n∈N時(shí)，均正確。

（2）分類討論法求解：

是指對(duì)已知條件所得出的結(jié)論有多種可能，每種情況必須通過分類討論才能得到。

例2.等比數(shù)列﹛an﹜，首項(xiàng)為a1>0，公比q>-1，且q≠0，設(shè)數(shù)列﹛bn﹜的通項(xiàng)bn=an+1+an+2，n∈N，數(shù)列﹛an﹜，﹛bn﹜的前n項(xiàng)的和分別為An，Bn，求比較An，Bn的大小。

解：由已知得

An=a1（.①==an+1（1+q）/an（1+q）=q

∴bn也為等比數(shù)列且公比為q，首項(xiàng)b1=a2+a3∴Bn=（a2+a3）（1-qn）/（1-q）（-q<1）

=a1（q+q2）（1-qn）（1-q）=（q+q2）*An②

⑵-⑴得，由作差比較法：

Bn-An=（q+q2）An-An=An（q2+q-1）

∵q>-1∴a1>0， -1< q<1 q>0 An>0

只要對(duì)q2+q-1的值的情況進(jìn)行分類討論

當(dāng)①.q2+q-1=0時(shí)，q=（q=<-1，舍去）此時(shí)Bn=An

②.當(dāng)q2+q-1>0時(shí)，則q>-1，即q>時(shí)，Bn>An

（3）q2+q-1<0時(shí)，則q>-1即q>-1，-1

綜上所述①②，若q≥時(shí)，Bn≥An（3）若-1

2 由給定結(jié)論，反推應(yīng)具備的條件，是由果索因的過程

2.1 利用函數(shù)單調(diào)性求解

例3.已知函數(shù)f（㏒ax）=

問對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，不等于f（n）>n能否恒成立。

解：令t=logax 則at=x

∴f﹙t﹚==（at-a-t）

若使f（n）>n對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n不等式恒成立，則設(shè)g（n）=f（n）-n

因?yàn)間（n+1）-g（n）

=[f（n+1）-（n+1）]—[f（n）-n]=f（n+1）-f（n）—1

=（a-1）（an+）—1=

∵a>0且a≠1 進(jìn)行分類討論

⑴. .當(dāng)0g（n）

⑵. .當(dāng)a>1時(shí)，an>1，an+1>1

∴g（n）在a>0且a≠1時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，

∴g（n）>g（n-1）>g（n-2）…>g（2）=f（2）-2

=（a2-a-2）—2=>0

∴對(duì)一切大于1的自然數(shù)n，不等式恒成立。

2.2 分析法：是從結(jié)論出發(fā)，去尋求結(jié)論成立的充分條件是什么？

例4：是否存在α∈（—，），β∈（0，）使等式sin（3-α）=Cos（/2-β），cos（-α）=-cos（+β）同時(shí)成立？若存在，求出α，β的值，若不存在，則請(qǐng)說明理由。

解析： 本題是探索問題，應(yīng)將α，β滿足的關(guān)系當(dāng)作條件，從而去求α，β，因條件式子繁瑣，應(yīng)先化簡.

再求出α，β的一個(gè)三角函數(shù)式進(jìn)而求角

由條件sinα=sin β（1） cosα=cosβ（2）（1）2+（2）2

得sin2α+3cos2α=2，∴sin2α=1/2 又∵α∈（—，）∴α=/4或α=-

將α=/4代入（2）cosβ=。又∵β∈（0，л）∴β=/6，代入（1）

將α=-/4代入（2）cosβ=。又∵β∈（0，л）∴β=/6，代入（1）不符合，綜上可知，存在α=，β=滿足條件

評(píng)注：（1）本題中求出的α，β的值必須代入（1）式檢驗(yàn)。

（2）求角問題注意求三角函數(shù)值和角的范圍。

（3）采用了方程的思想。

3 存在性問題

這類問題的解題思路是先假設(shè)存在，再根據(jù)存在條件，進(jìn)行邏輯推理，若推出矛盾，則假設(shè)不成立，否則說明假設(shè)正確。

3.1 整體假設(shè)

把不確定的結(jié)論假設(shè)成一個(gè)整體，就是解決開放性問題的有效方法。

例5已知函數(shù)f（x）=A sinωx+Bcosωx（其中A、B、ω是實(shí)常，且ω>0的最小正周期為2，且當(dāng)x=，f（x）取得最大值2

（1）、求f（x）的表達(dá)式

（2）、在閉區(qū)間[，]上是否存在f（x）的對(duì)稱軸？

如果存在，求出對(duì)稱軸方程，若不存在，則請(qǐng)說明理由。

解析：本題主要考查有圖象確定函數(shù)表達(dá)式和探究推理能力。

可假設(shè)對(duì)稱軸存在，然后在求解驗(yàn)證。

（1）f（x）=sin（ωx+φ）（φ為輔助角 ）

由已知=2 ，T =2，∴T=2=則ω=又∵x=，

f（x）取得最大值2，∴2=2Sin（+φ），即：Sin（+φ）=1

由+φ=，得φ= ∴f（x）=2Sin（x+л/6）

（2）由x+=k+ 得x=k+，即為此函數(shù)的f（x）對(duì)稱軸

令k+∈[，]，則k=5

故在[，]上存在f（x）的對(duì)稱軸，其方程為x=

評(píng)注：對(duì)于y=A sin（ωx+φ）的圖象的對(duì)稱軸，可由ωx+φ==kл+，（k∈Z）解得，其對(duì)稱軸有無數(shù)條，有時(shí)需要用檢驗(yàn)的方法來確定一直線是否為對(duì)稱軸，或者在某一范圍內(nèi)找是否有對(duì)稱軸的問題。

3.2 從具體到抽象的認(rèn)識(shí)方法

對(duì)于抽象形式，通過觀察、試驗(yàn)、聯(lián)想等手段尋找到適合條件的具體形式，這種“具體”的形式一旦尋出，即可洞察出解題思路。

例6.設(shè)函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且存在常數(shù)a>0，使f（a）=1，又

f（x—x）=，試問，f（x）是否為周期函數(shù)，若是，求出它的一個(gè)周期，若不是說明理由。

解：由f（x—x）=的結(jié)構(gòu)可以聯(lián)想到tg（α-β）=且y=tgx的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且存在常數(shù)a=>0，使tg=1，

通過以上的分析，聯(lián)想，可以把f（x）看成是一個(gè)具體的函數(shù)形式，即f（x）=tgx而tgx是一個(gè)周期是π的周期函數(shù)

∴π/4=a，∴π=4a，即周期是T=4a，∴f（x）是周期函數(shù)且4a是一個(gè)周期，.

總之：關(guān)于探索性問題的問題是一類比較復(fù)雜有一定難度的問題，涉及知識(shí)面廣，運(yùn)用方法比較靈活的一類題目，解題關(guān)鍵在于分析與選擇不同類型。采用正確的方法解答。