分布參數(shù)柔性梁的建模與振動(dòng)邊界控制*

鄔依林，劉 嶼

(1．廣東第二師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)系，廣東 廣州 510303;2．華南理工大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與工程學(xué)院，廣東 廣州 510640)

柔性梁式結(jié)構(gòu)具有質(zhì)量輕和能耗低等獨(dú)特優(yōu)勢(shì)在現(xiàn)代工程等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1]。但因其是一類具有強(qiáng)耦合、非線性和時(shí)變特性的典型無(wú)窮維分布參數(shù)系統(tǒng)，對(duì)其控制設(shè)計(jì)具有很大的難度，常見(jiàn)控制方法設(shè)計(jì)都是基于其降階模型[2]，然而高頻未建模模態(tài)將影響其性能，產(chǎn)生控制溢出等問(wèn)題[3-4]，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。

屬于主動(dòng)控制范疇的邊界控制方法，因其無(wú)需分布控制器和避免了溢出現(xiàn)象，近年在柔性梁式結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制方面得到廣泛的應(yīng)用，并取得了豐富的研究成果，其中包括邊界控制與其他一些先進(jìn)控制技術(shù)的結(jié)合。文獻(xiàn)[5-6]對(duì)近年邊界控制的發(fā)展以及邊界控制在分布參數(shù)系統(tǒng)中的應(yīng)用進(jìn)行了綜述。文獻(xiàn)[7-8]基于柔性結(jié)構(gòu)無(wú)窮維PDEs模型，設(shè)計(jì)自適應(yīng)魯棒控制器對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)及穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[9]研究了基于Lyapunov的柔性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)振動(dòng)鎮(zhèn)定問(wèn)題。文獻(xiàn)[10]將Backstepping技術(shù)和邊界控制方法相結(jié)合，研究了參數(shù)可變系統(tǒng)的跟蹤控制問(wèn)題，而文獻(xiàn)[11]采用Backstepping設(shè)計(jì)了邊界控制器和觀測(cè)器對(duì)弦線結(jié)構(gòu)進(jìn)行控制，并驗(yàn)證了系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性和解的唯一性。文獻(xiàn)[12]設(shè)計(jì)了魯棒自適應(yīng)邊界控制方法，對(duì)軸向移動(dòng)結(jié)構(gòu)振動(dòng)進(jìn)行控制。然而主動(dòng)控制的難點(diǎn)在于實(shí)時(shí)性，而復(fù)雜的控制算法通常是其實(shí)時(shí)性的最大障礙，并且現(xiàn)有研究幾乎都僅限于一維振動(dòng)控制，同時(shí)也忽略了執(zhí)行器的阻尼或響應(yīng)等不確定因素而存在的未知擾動(dòng)，以及張力變化的影響。

本文基于柔性梁無(wú)限維PDEs模型，應(yīng)用邊界控制技術(shù)和Lyapunov直接法，分別設(shè)計(jì)了簡(jiǎn)單有效的縱向和橫向PD邊界二維控制器，用于對(duì)具有未知擾動(dòng)和變張力柔性梁的振動(dòng)控制。設(shè)計(jì)的PD控制算法克服了控制溢出問(wèn)題，同時(shí)該算法簡(jiǎn)單有效且獨(dú)立于系統(tǒng)參數(shù)，因此具有較好的實(shí)時(shí)性和魯棒性。其后對(duì)梁系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了數(shù)學(xué)證明，最后給出了控制器有效性的仿真驗(yàn)證結(jié)果。

1 柔性梁的建模

如圖1所示為一個(gè)典型的具有邊界未知擾動(dòng)和分布未知擾動(dòng)柔性梁示意圖，橫向控制UX(L,t)和縱向控制UY(L,t)作用于梁的右邊界，柔性梁左邊界位于坐標(biāo)OXY的原點(diǎn)，w(x,t)和v(x,t)分別為在t時(shí)刻柔性梁位置x處的縱向和橫向偏移量，dY(t)和dX(t)分別為縱向和橫向邊界未知擾動(dòng)，f(x,t)為作用在柔性梁上的分布未知擾動(dòng)。本文考慮柔性梁式結(jié)構(gòu)在分布式擾動(dòng)下的小變形振動(dòng)，可將其視為Euler-Bernoulli梁模型，采用Hamilton原理對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行建模。

圖1 典型的分布參數(shù)柔性梁系統(tǒng)Fig.1 A typical distributed-parameter flexible beam system

柔性梁系統(tǒng)的動(dòng)能Ek(t)可以表示為

(1)

其中L和ml分別為梁的長(zhǎng)度和單位長(zhǎng)度的均勻質(zhì)量。

由柔性梁彎曲和軸向變形導(dǎo)致的勢(shì)能Ep(t)為

(2)

其中，T(x，t)、EA和EI分別為梁的張力、軸向剛度和彎曲剛度。梁張力T(x，t)，即T可以表示為[12]

T=T0+λ(w′)2

(3)

其中，T0和λ為正常數(shù)。

邊界未知擾動(dòng)dX(t)和dY(t)以及分布未知擾動(dòng)f(x,t)對(duì)梁所做的功δWf(t)為

δWf(t)=dY(t)δw(L,t)+dX(t)δv(L,t)+

(4)

其中，w(L,t)和v(L,t)分別為在t時(shí)刻梁位置L處的縱向和橫向偏移量。

阻尼對(duì)柔性梁所做的虛功δWd(t)可表示為

(5)

其中，c1，c2> 0分別為縱向和橫向梁結(jié)構(gòu)的分布阻尼參數(shù)。橫向控制UX(L,t)和縱向控制UY(L,t)對(duì)梁做的功δWc(t)為

δWc(t)=UY(L,t)δw(L,t)+UX(L,t)δv(L,t)

(6)

則作用于柔性梁系統(tǒng)的總功δW(t)為

δW(t)=δWf(t)+δWd(t)+δWc(t)

(7)

基于Euler-Bernoulli梁假設(shè)和小偏移性質(zhì)，

Hamilton原理允許以變分形式對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)[13]，可得：

(8)

其中，δ為變分操作符，t1和t2為兩個(gè)時(shí)刻，t1

(9)

其中?(x,t)∈(0,L)×[0,+∞)。柔性梁的邊界條件為

(10)

其中?(t)∈[0,+∞)。系統(tǒng)相應(yīng)的初始條件為

(11)

假設(shè)1 對(duì)于邊界未知擾動(dòng)dX(t)和dY(t)，設(shè)存在常數(shù)a1,a2∈R+，則有|dX(t)|≤a1，|dY(t)|≤a2，?(t)∈[0,+∞)。dX(t)和dY(t)均為有限能量函數(shù)因而有界，所以此假設(shè)是合理的。

假設(shè)2 對(duì)于分布未知擾動(dòng)f(x,t)，設(shè)存在常數(shù)a3∈R+，則有|f(x,t)|≤a3，?(x,t)∈[0,L]×[0,+∞)。f(x,t)為有限能量函數(shù)因而有界，所以此假設(shè)是合理的。

2 控制設(shè)計(jì)

為了減小柔性梁因輸入激勵(lì)引起的振動(dòng)，本文將設(shè)計(jì)二維PD邊界控制器，通過(guò)控制器的控制作用，使梁的振動(dòng)偏移量w(x,t)和v(x,t)最小化。

2.1 預(yù)備知識(shí)

為了便于邊界控制器設(shè)計(jì)和柔性梁穩(wěn)定性分析，本小節(jié)將列出一些引理和性質(zhì)。

引理1 令φ1(t)，φ2(t)∈R，其中x∈[0,L]，t∈[0,+∞)，則有如下不等式成立[14]：

(12)

引理2 令φ(x,t)∈R為定義在和t∈[0,+∞)上的函數(shù)，且滿足如下邊界條件[15]：

φ(0,t)=0,?t∈[0,+∞)

(13)

則有如下不等式成立：

(14)

2.2 邊界控制

為使由式(9)-(10)所描述柔性梁系統(tǒng)穩(wěn)定，本文設(shè)計(jì)二維PD邊界控制律為：

(15)

設(shè)Lyapunov候選函數(shù)為

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)

(16)

其中能量項(xiàng)V1(t)，交叉項(xiàng)V2(t)和附加項(xiàng)V3(t)分別為

(17)

其中，β1，β2，k1，k2，k3和k4均為正數(shù)。

引理3 對(duì)于給定的Lyapunov候選函數(shù)式(16)具有如下上下界：

0≤?1[V1(t)+V3(t)]≤V(t)≤

?2[V1(t)+V3(t)]

(18)

其中，?1和?2均為正權(quán)重系數(shù)。

證明應(yīng)用不等式(12)和式(14)，由式(17)得：

(19)

不等式(19)可改寫(xiě)為

-βV1(t)≤V2(t)≤βV1(t)

(20)

適當(dāng)?shù)倪x擇β3和β4，可以得到如下等式：

β3=1-β>0,β4=1+β>1

(21)

將式(21)應(yīng)用于不等式(20)可進(jìn)一步得到：

0<β3V1(t)≤V2(t)+V1(t)≤β4V1(t)

(22)

基于Lyapunov函數(shù)式(16)，再結(jié)合式(22)，可得：

0≤?1[V1(t)+V3(t)]≤v(t)≤

?2[V1(t)+V3(t)]

(23)

其中，?1=min[β3,0.5(k3+k1β1),0.5(k4+k2β2)]>0，?2=max[β4,0.5(k3+k1β1),0.5(k4+k2β2)]>0。證畢。

引理4 在PD邊界控制器式(15)作用下，給定的Lyapunov候選函數(shù)式(16)對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)具有上界。

?V(t)+ε

(24)

其中，?和ε均為正權(quán)重系數(shù)。

證明對(duì)式(16)求時(shí)間導(dǎo)數(shù)，有

(25)

(26)

根據(jù)式(17)中第一項(xiàng)，有

(27)

將控制方程式(9)代入V11中，可得：

(28)

應(yīng)用分部積分和邊界條件式(10)，V12，V13和V14可分別表示為

(29)

應(yīng)用邊界條件式(10)，并聯(lián)合式(28)-(29)和不等式(12)-(14)，可得：

(30)

(31)

根據(jù)式(17)中第二項(xiàng)，有

(32)

將控制方程式(9)代入V21中，并應(yīng)用分部積分、邊界條件式(10)和不等式(12)-(14)，可得：

V21≤β1w(L,t)UY(L,t)+β1w(L,t)dY(t)+

(33)

其中，δ2，δ3> 0。應(yīng)用上式(33)同樣的方法，可得

(34)

其中δ4> 0。聯(lián)合式(33)-(34)和式(32)第三項(xiàng)，可得

β1w(L,t)dY(t)+β2v(L,t)dX(t)

(35)

對(duì)式(17)中第三項(xiàng)求時(shí)間導(dǎo)數(shù)，可得：

(36)

將邊界控制器式(15)、式(30)、式(35)-(36)代入式(25)，有

(37)

其中，可以通過(guò)選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)值k1，k2，k3，k4，β1，β2，δ1，δ2，δ3和δ4滿足如下條件：

τ7=(β1T0-β1c1δ2L2-β1δ3L2)>0,

結(jié)合式(23)和式(37)，可得出式(24)的證明結(jié)果

?V(t)+ε

(38)

根據(jù)上述引理，可推導(dǎo)出下列閉環(huán)柔性梁系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理。

定理1 式(9)-(10)所描述的柔性梁系統(tǒng)，在邊界控制器式(15)作用下，有如下關(guān)系式成立：

① 一致有界：閉環(huán)柔性梁的狀態(tài)量w(x,t)和v(x,t)一致包含于緊集Ω1中：

Ω1∶={w(x,t),v(x,t)∈R‖w(x,t)|≤χ1,

|v(x,t)|≤χ2,?(x,t)∈[0,L]×[0,+∞]}

(39)

② 指數(shù)穩(wěn)定：在無(wú)邊界和分布未知擾動(dòng)情況下，閉環(huán)柔性梁狀態(tài)量w(x,t)和v(x,t)一致包含于緊集Ω2中：

Ω2∶={w(x,t),v(x,t)∈R‖w(x,t)|≤χ3,

|v(x,t)|≤χ4,?(x,t)∈[0,L]×[0,+∞]}

(40)

證明將不等式(38)左右同時(shí)乘以e?t，可得

?V(t)e?t+εe?t?

(41)

對(duì)不等式(41)積分，可得

(42)

其中，上式(42)表明V(t)是有界的。

由式(17)第一項(xiàng)，并結(jié)合式(14)和式(23)，可得

(43)

根據(jù)不等式(42)-(43)，可得出如下結(jié)論：

(44)

其中?(x,t)∈[0,L]×[0,+∞)。

當(dāng)邊界未知擾動(dòng)和分布未知擾動(dòng)均不存在情況下，即式(38)中ε= 0，由式(44)，可得：

(45)

其中?(x,t)∈[0,L]×[0,+∞)。證畢。

3 仿真研究

本文以具有未知擾動(dòng)和變張力柔性梁為對(duì)象，對(duì)其振動(dòng)進(jìn)行二維振動(dòng)控制仿真研究，驗(yàn)證所設(shè)計(jì)PD控制律式(15)的有效性，柔性梁初始狀態(tài)為靜止。式(46)給出了縱向和橫向邊界未知擾動(dòng)dY(t)和dX(t)，式(47)給出了作用在柔性梁上的分布未知擾動(dòng)f，即f(x,t)。表1為柔性梁系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)。

dY(t)=dX(t)=1+0.1sin(0.1t)+0.3sin(0.3t)+0.5sin(0.5t)

(46)

f=[3+sin(πxt)+sin(2πxt)+sin(3πxt)]x

(47)

表1 柔性梁系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)Table 1 Parameters of the flexible beam

本文給出了柔性梁振動(dòng)控制的四種驗(yàn)證結(jié)果：

① 無(wú)控制輸入情況下柔性梁的振動(dòng)偏移w(x,t)和v(x,t)仿真研究結(jié)果，見(jiàn)圖2;

② 僅有橫向控制輸入情況下柔性梁的振動(dòng)偏移w(x,t)和v(x,t)仿真研究結(jié)果，見(jiàn)圖3;

③僅有縱向控制輸入情況下柔性梁的振動(dòng)偏移w(x,t)和v(x,t)仿真研究結(jié)果，見(jiàn)圖4;

④ 同時(shí)具有橫向和縱向控制輸入情況下柔性梁的振動(dòng)偏移w(x,t)和v(x,t)仿真研究結(jié)果，見(jiàn)圖5。

圖2 無(wú)控制作用時(shí)梁的偏移量Fig.2 Displacements of beam without control

圖3 僅有橫向控制作用梁的偏移量Fig.3 Displacements of beam with transverse control

圖4 僅有縱向控制作用梁的偏移量Fig.4 Displacements of beam with longitudinal control

圖5 縱向和橫向控制作用梁的偏移量Fig.5 Displacements of beam with both transverse and longitudinal control

注5 為保證仿真精度，仿真中的時(shí)間和距離步長(zhǎng)都很小，直接導(dǎo)致仿真結(jié)果數(shù)據(jù)非常大，計(jì)算機(jī)無(wú)法顯示所有數(shù)據(jù)。因而，三維圖2-圖5是取其中每隔一秒的數(shù)據(jù)繪制的。

圖6和圖7分別給出了柔性梁中部(x=5 m)和右邊界(x=10 m)處的振動(dòng)偏移量變化情況對(duì)比結(jié)果。圖8則給出了縱向控制UY(t)和橫向控制UX(t)的變化情況。由仿真結(jié)果圖2-圖8可得如下結(jié)論：

① 由仿真結(jié)果圖2-圖7可知，當(dāng)將本文設(shè)計(jì)的二維PD邊界控制器式(15)應(yīng)用于柔性梁的振動(dòng)控制時(shí)，在上述四種情況下梁的振動(dòng)都有十分顯著的減弱，偏移量w(x,t)和v(x,t)都有數(shù)百倍至數(shù)千倍的減少，表明本文設(shè)計(jì)的二維PD控制算法對(duì)抑制柔性梁的縱向和橫向振動(dòng)都十分有效。

② 由仿真結(jié)果圖6和圖7可知，雖然在柔性梁中部(x=5 m)并未布置控制器，但柔性梁中部的振動(dòng)也有十分顯著的減弱(控制后偏移量非常接近于零)，體現(xiàn)了邊界控制方法在柔性梁振動(dòng)控制方面的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。在柔性梁右邊界(x=10 m)處，加入控制后，梁振動(dòng)偏移已幾乎為零，也驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制算法的有效性。

圖6 有無(wú)控制作用時(shí)梁在x=5 m處偏移量Fig.6 Displacement of beam at x=5 m with or without control

圖7 有無(wú)控制作用時(shí)梁在x=10 m處偏移量Fig.7 Displacement of beam at x=10 m with or without control

③ 由圖8可知，系統(tǒng)縱向控制輸入范圍為-12～36 N，橫向控制輸入范圍為-250～250 N，而正的縱向控制輸入表明縱向控制作用力與作用力f(x,t)反向。

圖8 縱向和橫向控制輸入Fig.8 Control input UY(L,t) and UX(L,t)

4 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了具有未知擾動(dòng)和變張力柔性梁的二維振動(dòng)控制問(wèn)題。基于柔性梁原始無(wú)窮維分布參數(shù)PDEs模型，結(jié)合邊界控制技術(shù)和Lyapunov直接法，設(shè)計(jì)了縱向和橫向二維控制器用以抑制柔性梁的振動(dòng)，避免了基于截?cái)嗄Ｐ投鴮?dǎo)致的穩(wěn)定性等問(wèn)題，應(yīng)用設(shè)計(jì)的控制方法，柔性梁的振動(dòng)得到很好的抑制，且系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性和一致有界性得以保證。本文設(shè)計(jì)的控制器在本質(zhì)上具有PD控制器特性，因而控制實(shí)施簡(jiǎn)單有效且獨(dú)立于柔性梁系統(tǒng)參數(shù)，因此具有較好的實(shí)時(shí)性和魯棒性。最后對(duì)所設(shè)計(jì)控制方法的有效性進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

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