代數(shù)幾何碼的廣義漢明重量綜述

胡萬寶　吳小蘭　李倩

【摘 要】廣義漢明重量刻畫線性碼性能的一個(gè)重要參數(shù)，而代數(shù)幾何碼來自于代數(shù)曲線，擁有較豐富的糾錯(cuò)能力強(qiáng)的好碼。一些學(xué)者通過不同方法計(jì)算出代數(shù)幾何碼的廣義漢明重量，本文就其研究現(xiàn)狀及發(fā)展作一綜述。

【關(guān)鍵詞】廣義漢明重量；代數(shù)幾何碼；線性碼；代數(shù)函數(shù)域

1.引言

差錯(cuò)控制碼廣泛應(yīng)用于不同信道的信息傳輸，為增加信道可信性設(shè)計(jì)。碼字的漢明（Hamming）重量是指這個(gè)字中的非零的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，這在線性碼中決定碼的糾錯(cuò)能力。廣義漢明重量的概念由第Wei [1] 在1991年引入，一個(gè)線性碼的r-級(jí)廣義漢明重量就是指其最小的r維子碼支集. 之后不久， Feng， Tzeng， and Wei [2]研究BCH碼及其它某些循環(huán)碼的廣義漢明重量. 在文章[3， 4]中， 第二和第三級(jí)幾何Goppa 碼（代數(shù)幾何碼）的廣義漢明重量由Munuera C. 和Ramirez D 部分得出，后來胡[7]將這些結(jié)果推廣到更高次數(shù)上.在系列文章[8-12]中， Homma M. 和 Kim S.J. 決定了Hermitian 曲線上的兩點(diǎn)碼的第二級(jí)漢明重量.

本文從代數(shù)曲線（代數(shù)函數(shù)域）出發(fā)，介紹代數(shù)幾何碼，再綜述研究代數(shù)幾何碼的廣義漢明重量的一些方法和結(jié)果，在此基礎(chǔ)上推出了循環(huán)碼的廣義漢明重量的新結(jié)果，這里的碼長n=pm-1，p是素?cái)?shù)。

有限域上的代數(shù)函數(shù)域是我們研究的最有用的工具，參看[5]，文章中的采用和[5]一致的記號(hào)。

2.一些線性碼的基本概念和熟知結(jié)果

先定義廣義漢明重量.

， ，

兩點(diǎn)代數(shù)幾何碼即為：.

文章[3，4，7，8，9，10，11] 等都利用Hermitian曲線上構(gòu)造代數(shù)幾何碼，并刻畫其廣義漢明重量. 由于篇幅所限，本文不再贅述.

實(shí)際上，除了Hermitian曲線外，還有更多的豐富的曲線能構(gòu)造更好的代數(shù)幾何碼，如（超）橢圓曲線等、有理函數(shù)域的初等 Abelian擴(kuò)張等都有良好的性質(zhì)和豐富的內(nèi)容， 可以作為未來研究碼的廣義漢明重量的發(fā)展方向.

參考文獻(xiàn)：

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[8]Homma M.， Kim S.J.， “Toward the determination of the minimum distance of two-point codes on a Hermitian curve”， Des. Codes Cryptogr. vol. 37， pp. 111-132， 2005.

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[11]Homma M.， Kim S.J.， “The complete determination of the minimum distance of two-point codes on a Hermitian curve”， Des. Codes Cryptogr. Vol.40， pp.5-24， 2006.

[12]Masaaki Homma， Seon Jeong Kim， “The second generalized Hamming weight for two-point codes on a Hermitian curve”， Des. Codes Cryptogr. Vol. 50， pp.1-40， 2009.

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[14]Henning Stichtenoth and Conny VoB， Generalized Hamming Weights of Trace Codes， Transactions on Information Theory， vol. 40， no. 2， pp554—558，1994.