分形理論在瀝青混凝土疲勞開裂過程中的應(yīng)用

孫長軍，崔衛(wèi)平，陳 雷，秦麗娟

（1.唐山曹妃甸發(fā)展投資集團有限公司，唐山 063210；2.武漢理工大學(xué)硅酸鹽建筑材料國家重點實驗室，武漢 430070）

瀝青混凝土是一個具有復(fù)雜幾何特征的由多種級配集料組成的復(fù)合材料體系，其內(nèi)部微觀粘結(jié)裂縫的分布不僅總體具有分形特征，而且具有自相似性，可用分形幾何學(xué)來加以描述和分析。瀝青混凝土疲勞開裂過程是其內(nèi)部微觀裂縫不斷生長并擴展的過程。該文通過建立分形維數(shù)與疲勞開裂過程的關(guān)系，用分形理論來探究疲勞開裂過程中瀝青混凝土裂縫的生長與擴展過程，為瀝青混凝土的開裂過程研究提供一種新的方法和思路。

1 分形理論概述

分形（fractal）是由美國哈佛大學(xué)的教授Mandelbrot于1975年首次提出來的。分形幾何是一門以非規(guī)則幾何形狀為研究對象的幾何學(xué)。混凝土作為典型的多孔介質(zhì)，其內(nèi)部圖形是如此的不規(guī)則，以致它的整體與局部都不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述，因此可用分形集合來討論和分析。

分形幾何圖形最基本的特征就是自相似性和它的標(biāo)度不變形。表征這兩種分形性質(zhì)的定量參數(shù)為分形維數(shù)（Fractal Dimension），它是用來描述一個復(fù)雜系統(tǒng)的復(fù)雜、不規(guī)則程度的參數(shù)。分形集的維數(shù)有多種多樣的定義，常見的有豪斯道夫（Hausdorff）維數(shù)、相似維數(shù)DS（similarity Dimension）、分配維數(shù)Dd（Divider Dimension）、盒維數(shù)（又稱Bouligand維）等。

因盒維數(shù)是由相同形狀集覆蓋確定的，計算比較容易，其應(yīng)用較為廣泛。以分形曲線為例介紹盒維數(shù)的概念。把曲線放在一個邊長為ε1的網(wǎng)格內(nèi)，如圖1（a）。數(shù)出和曲線相交的網(wǎng)格（即盒子）數(shù)Ni（ε1）＝13。如把碼尺縮小一倍，ε2＝ε1/2，即把網(wǎng)格變?。ㄒ粋€盒子成為4個盒子），如圖1（b）。

這時和曲線相交的盒子數(shù)N2＝29。繼續(xù)這個過程，網(wǎng)格不斷變小，對一組ε1，ε2，ε3，…，εi，可測出一組N1，N2，N3，…，Ni。令r＝εi（r和εi均是相對值），N＝Ni，根據(jù)分形維數(shù)定義

可得

式中，A為比例常數(shù)。

對上式取對數(shù)并作圖，則logNi和logεi的雙對數(shù)坐標(biāo)上就會出現(xiàn)一條直線，用最小二乘法來擬合logNi～logεi，求出斜率即為對應(yīng)的分形維數(shù)值D，稱之為盒維數(shù)。在直線上取兩點（Ni，εi）和（Ni＋1，εi＋1），則盒維數(shù)為

2 實驗方法

按照《公路工程瀝青及瀝青混合料試驗規(guī)程》JTG E20—2011要求成型馬歇爾試件。試驗在UTM－25動態(tài)材料試驗系統(tǒng)中進行，在25℃下將試件保溫4h。試驗加載模式為應(yīng)力控制模式，加載頻率2Hz，加載波形為正弦波，荷載大小采用試件破壞荷載的0.4倍。按照上述參數(shù)控制對試件進行疲勞加載，同時在加載過程中記錄試件縱向變形量S。

在疲勞加載過程中，用數(shù)碼相機提取不同加載階段下試件的表形貌圖，如圖2（a）～2（d）所示。圖2（a）和圖2（d）分別對應(yīng)于疲勞加載破壞的開始階段和疲勞開裂破壞階段。

在獲得疲勞加載破壞不同階段試件表面裂縫形貌圖后，還需要對圖片進行軟件處理。剪除圖像中無用部分，挑選成像質(zhì)量較好并無干擾的區(qū)域作為計算區(qū)域，并盡量全部覆蓋裂縫，然后轉(zhuǎn)換為灰度圖像。然后對圖像進行增益降噪處理，增益除噪的目的是使裂縫與其他圖像信息最大程度地分離。處理后得到比較清晰的裂縫圖像，以最終破壞形貌圖2（d）為例，處理前后如圖3所示。

3 結(jié)果與分析

3.1 裂縫的分形特征

以時間最終破壞時裂縫形貌為例，對處理后的圖3（b）進行盒維數(shù)覆蓋，計算分形維數(shù)D。用不同大小網(wǎng)格覆蓋得到的結(jié)果如表1和圖4所示。然后對log（1/ε）與log（N（ε））的雙對數(shù)關(guān)系進行線性回歸分析，回歸得到的直線斜率即為分形維數(shù)D。

表1 盒覆蓋處理結(jié)果

由圖4可知，相關(guān)系數(shù)為0.994 1，log（N（ε））與log（1/ε）呈現(xiàn)良好的線性相關(guān)性，說明開裂裂縫有明顯的統(tǒng)計相似性，裂縫具有明確的統(tǒng)計意義上的分形特征。從回歸結(jié)果可知該裂縫對應(yīng)分度維數(shù)（圖4中直線的斜率）為1.388。

3.2 開裂過程的分形特征

試件經(jīng)過近6 000s出現(xiàn)徹底破壞，計算不同階段提取圖像的分形維數(shù)，得到在加載不同階段的縱向變形位移S與分形維數(shù)D的關(guān)系，如圖5所示。

由圖5可知，試件疲勞開裂裂縫的分形維數(shù)隨著裂縫的生長與擴展而增大，且在破壞不同階段增大的趨勢也不同。隨著加載的進行，試件疲勞開裂主要分為三個階段，短期內(nèi)迅速變形，此時分形維數(shù)主要表征試件表面原有細(xì)觀裂縫；平穩(wěn)破壞階段，變形位移平穩(wěn)增加，裂縫逐漸生長擴展，表現(xiàn)出分形維數(shù)逐漸增加；當(dāng)試件疲勞破壞明顯開裂時，縱向形變量S短時間迅速上升，分形維數(shù)繼續(xù)增大到破壞時的1.388且上升趨勢也相應(yīng)增加。

4 結(jié) 語

瀝青混凝土開裂裂縫有明顯的統(tǒng)計相似性，裂縫具有明確的統(tǒng)計意義上的分形特征；在疲勞加載開裂過程中，瀝青混凝土具有分形演變特征；隨著瀝青混凝土裂縫的生長與擴展，分形維數(shù)和縱向形變位移變化相一致，共為3個階段，分別是短時間內(nèi)迅速增加、較長時間平穩(wěn)增加、短時間迅速增大。

［1］ 謝和平，薛秀謙.分形應(yīng)用中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與方法［M］.北京：科學(xué)出版社，1997.

［2］ 中華人民共和國.公路工程瀝青及瀝青混合料試驗規(guī)程（JTJ E20—2011）［S］.北京：人民交通出版社，2011.

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［4］ Changjun Sun，Shaopeng Wu，Ning Tang etc.Fractal Features of Cracking of Self－monitoring Asphalt Concrete.2011International Conference on Mechatronic Science，Electric Engineering and Computer，2011：475－477.

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