七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換研究及應(yīng)用

周　適

(中鐵二局集團(tuán)有限公司測量中心， 四川成都　610031)

在工程測量中，7參數(shù)和4參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換是經(jīng)常遇到的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換形式，7參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換應(yīng)用范圍更為廣泛。對7參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型進(jìn)行詳細(xì)論述和分析，并用VC++編制7參數(shù)程序，對工程實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行演算，分析7參數(shù)兩種模型計算結(jié)果和轉(zhuǎn)換參數(shù)。

1　7參數(shù)模型分析

7參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換是三維坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換。7個參數(shù)包括：3個平移參數(shù)ΔX、ΔY、ΔZ，3個旋轉(zhuǎn)參數(shù)ωX、ωY、ωZ，1個縮放參數(shù)k。當(dāng)采用7參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型計算7參數(shù)時，由于有7個未知參數(shù)，因而至少需要3個及以上的同名點(diǎn)才能計算7參數(shù)。常用的7參數(shù)轉(zhuǎn)換模型包括：布爾莎模型和莫洛金斯基模型。兩種模型計算參數(shù)不同，但轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)結(jié)果基本一致，現(xiàn)分別對這2種模型進(jìn)行敘述。

(1)布爾莎模型

布爾莎模型旋轉(zhuǎn)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，轉(zhuǎn)換模型為式1所示。

(1)

式(1)可以等價變換為式(2)

(2)

若有n個(n≥3)需要坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的點(diǎn)坐標(biāo)：PA1(XA1、YA1、ZA1)、PA2(XA2、YA2、ZA2)…PAn(XAn、YAn、ZAn)，其轉(zhuǎn)換中需要用到的同名點(diǎn)坐標(biāo)分別為：PB1(XB1、YB1、ZB1)、PB2(XB2、YB2、ZB2)…PBn(XBn、YBn、ZBn)。則可以列出誤差方程式。

(3)

(4)

(2)莫洛金斯基模型

莫洛金斯基旋轉(zhuǎn)中心可以任意選定，實(shí)際應(yīng)用中可以將旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)表示為PO(X0、Y0、Z0)，可通過式(5)求得

(5)

其中，PA1(XA1、YA1、ZA1)、PA2(XA2、YA2、ZA2)…PAn(XAn、YAn、ZAn)為轉(zhuǎn)換前的三維坐標(biāo)，即PA1、PA2…PAn為與同名點(diǎn)點(diǎn)名對應(yīng)的待轉(zhuǎn)換點(diǎn)的坐標(biāo)，n為轉(zhuǎn)換中需要的同名點(diǎn)個數(shù)。莫洛金斯基旋轉(zhuǎn)模型為式(6)所示。

(6)

(7)

若有n個(n≥3)需要坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的點(diǎn)，則可以列出誤差方程式，如式(8)所示。

(8)

(9)

對上述兩種7參數(shù)轉(zhuǎn)換模型分析，將兩個轉(zhuǎn)換模型的系數(shù)矩陣B進(jìn)行對比，由于莫洛金斯基模型矩陣B中很多元素都減去了旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)，使得矩陣B中元素的數(shù)值大大減小，這在求逆運(yùn)算(BTB)-1時能保證矩陣獲取更高的精度。一般情況下，兩種模型計算的3個平移參數(shù)不同，但縮放和旋轉(zhuǎn)參數(shù)應(yīng)相同，且計算轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)結(jié)果基本一致。由于兩種模型旋轉(zhuǎn)中心不同，布爾莎模型應(yīng)用于全球性或大范圍坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度更高，而莫洛金斯基模型應(yīng)用于區(qū)域性坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度更高。

2　實(shí)際應(yīng)用

7參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換應(yīng)用范圍很廣泛。例如不同橢球之間的空間直角坐標(biāo)可以通過7參數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，RTK放樣時利用求得7參數(shù)將施工坐標(biāo)(高斯平面坐標(biāo)+水準(zhǔn)高)轉(zhuǎn)換為放樣時用的大地坐標(biāo)(BLH)，新舊不同坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)可通過7參數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換等。

現(xiàn)以工程中實(shí)際數(shù)據(jù)為例，對7參數(shù)模型應(yīng)用進(jìn)行敘述說明。

2.1　不同橢球之間的空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

若已知某控制網(wǎng)為工程獨(dú)立坐標(biāo)系，北京1954橢球，給定中央子午線經(jīng)度和投影面大地高，現(xiàn)利用手持GPS導(dǎo)航，需要經(jīng)緯度BL。手持GPS導(dǎo)航是基于WGS-84坐標(biāo)系的經(jīng)緯度進(jìn)行導(dǎo)航，而北京54橢球和WGS-84橢球由于橢球參數(shù)存在差異，坐標(biāo)原點(diǎn)不在同一位置，空間直角坐標(biāo)也不相同，因而可以通過求解7參數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

現(xiàn)場通過手持GPS采集3個以上控制點(diǎn)單點(diǎn)定位的大地坐標(biāo)BLH(一般手持GPS均有此功能)，將其轉(zhuǎn)換為空間直角坐標(biāo)X′Y′Z′，此坐標(biāo)作為轉(zhuǎn)換中用到的同名點(diǎn)坐標(biāo)；將北京54平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為BL，套上投影面大地高后將其轉(zhuǎn)化為XYZ，此坐標(biāo)作為待轉(zhuǎn)換的坐標(biāo)。可通過XYZ向X′Y′Z′坐標(biāo)轉(zhuǎn)換求解7參數(shù)，然后利用求解的7參數(shù)計算XYZ轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)X″Y″Z″，再將7參數(shù)轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)X″Y″Z″轉(zhuǎn)換為大地坐標(biāo)B′L′H′，此時B′L′即是WGS-84坐標(biāo)下的經(jīng)緯度，可以進(jìn)行導(dǎo)航應(yīng)用。筆者利用VC++編制7參數(shù)程序，計算得出的轉(zhuǎn)換后坐標(biāo)完全能滿足手持GPS導(dǎo)航的精度要求。

2.2　RTK放樣時7參數(shù)轉(zhuǎn)換的應(yīng)用

由于RTK放樣時放樣坐標(biāo)不是施工坐標(biāo)(XYh)，而是大地坐標(biāo)(BLH)，因而需要利用7參數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。下面以一個具體算例作說明。

表1為某工程項(xiàng)目施工坐標(biāo)XYh(高斯平面坐標(biāo)XY和正常高h(yuǎn))。

表2為已知同名點(diǎn)的大地坐標(biāo)。

中央子午線經(jīng)度為119°，投影面大地高70 m，WGS-84橢球。

將大地坐標(biāo)BL利用高斯投影正算為平面坐標(biāo)xy，套上大地高H，變成xyH，計算結(jié)果為表3所示。

表1　某工程項(xiàng)目的施工坐標(biāo)XYh　m

表2　某工程項(xiàng)目的大地坐標(biāo)BLH

表3　平面坐標(biāo)xy和大地高H(同名點(diǎn))　m

利用表1的施工坐標(biāo)和表3的4個同名點(diǎn)坐標(biāo)計算7參數(shù)，用布爾莎模型和莫洛金斯基模型分別計算，兩種不同模型計算的7參數(shù)結(jié)果如表4所示。

表4　兩種模型計算的7參數(shù)

利用表4所計算的7參數(shù)，可以求得表1施工坐標(biāo)經(jīng)過7參數(shù)轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)，互相對比，兩個模型計算轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)結(jié)果一致，且殘差也很小，如表5所示。

將表5所示7參數(shù)轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)X′Y′H′中的平面坐標(biāo)X′Y′利用高斯投影反算為BL，套上大地高H′，如表6所示，此結(jié)果可以用于RTK放樣。

表5　7參數(shù)變換后的坐標(biāo)及殘差

表6　轉(zhuǎn)換后可用于RTK放樣的大地坐標(biāo)

上述例子還可以進(jìn)行如下轉(zhuǎn)換(轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)結(jié)果是一致的)：表1中的施工坐標(biāo)XYh中的平面坐標(biāo)XY，先通過高斯投影反算為BL，套上正常高h(yuǎn)形成BLh(如果知道高程異常，可以求出大地高，經(jīng)過測試，7參數(shù)轉(zhuǎn)換過程中高程異常對最后轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)沒有影響，只是7參數(shù)計算結(jié)果不同)，然后轉(zhuǎn)換為空間直角坐標(biāo)XYZ。表2中的同名點(diǎn)大地坐標(biāo)BLH，轉(zhuǎn)換為空間直角坐標(biāo)X′Y′Z′，然后根據(jù)轉(zhuǎn)換前的坐標(biāo)XYZ和同名點(diǎn)坐標(biāo)X′Y′Z′求解7參數(shù)，利用7參數(shù)將XYZ轉(zhuǎn)換為X″Y″Z″，再轉(zhuǎn)成大地坐標(biāo)B′L′H′，此結(jié)果與表6所示的結(jié)果一致。

布爾莎模型和莫洛金斯基這兩種轉(zhuǎn)換模型都是經(jīng)典的7參數(shù)轉(zhuǎn)換模型，但并不是適用于所有三維坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換。只有待轉(zhuǎn)換的坐標(biāo)和同名點(diǎn)坐標(biāo)(轉(zhuǎn)換后)是同一系統(tǒng)時才適用。比如這兩套坐標(biāo)都是空間直角坐標(biāo)XYZ時，或者都是施工平面坐標(biāo)XY加高程h時，方可適用7參數(shù)轉(zhuǎn)換模型進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。若需要轉(zhuǎn)換的坐標(biāo)為空間直角坐標(biāo)XYZ，同名點(diǎn)坐標(biāo)為施工坐標(biāo)XYh時，此時試圖計算兩者之間的7參數(shù)，會發(fā)現(xiàn)計算的7參數(shù)的數(shù)值很大，殘差也很大，計算結(jié)果不可靠。

3　總結(jié)

(1)布爾莎模型和莫洛金斯基模型都是經(jīng)典的7參數(shù)轉(zhuǎn)換模型，莫洛金斯基模型與布爾莎模型相比較，在公式中引入了旋轉(zhuǎn)中心，使得求解精度提高。兩個模型都是嚴(yán)密的平差模型，計算求得的7參數(shù)不同，但利用7參數(shù)計算轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)在一般情況下是一致的。由于兩種模型旋轉(zhuǎn)中心不同，布爾莎模型應(yīng)用于全球性或大范圍坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度更高，而莫洛金斯基模型應(yīng)用于區(qū)域性坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度更高。

(2)兩個7參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型并不適用于所有三維坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換，只有待轉(zhuǎn)換坐標(biāo)和同名點(diǎn)坐標(biāo)是同一系統(tǒng)時才適用。

(3)7參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度取決于轉(zhuǎn)換時同名點(diǎn)坐標(biāo)的精度，同名點(diǎn)至少應(yīng)3個及以上才能計算7參數(shù)。若通過試算發(fā)現(xiàn)精度較差的點(diǎn)，應(yīng)剔除不讓其作為同名點(diǎn)，再重新進(jìn)行7參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，計算的結(jié)果精度會有所提高。

[1]《誤差理論與測量平差基礎(chǔ)》編委會.誤差理論與測量平差基礎(chǔ)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2006

[2]《誤差理論與測量平差基礎(chǔ)》編委會.現(xiàn)代大地控制測量[M].北京：測繪出版社，2003

[3]《全球定位系統(tǒng)(GPS)的原理與數(shù)據(jù)處理》編委會.全球定位系統(tǒng)(GPS)的原理與數(shù)據(jù)處理[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2006