對(duì)洛侖茲變換傳遞性的探究

李微碩

（北京理工大學(xué) 材料學(xué)院，中國(guó) 北京 102488）

時(shí)間和空間的認(rèn)識(shí)需要表和尺這類在某一條件下絕對(duì)化的度量工具，因此其兩者本身是客觀的.但是要進(jìn)行測(cè)量，僅僅依照被測(cè)物體本身是無法體現(xiàn)其物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，因而需要參考系作為被測(cè)物體的一面“鏡子”.在測(cè)量過程中，參考系也恰恰提供了某種特定條件的度量工具在這種環(huán)境下相對(duì)性.由于不存在絕對(duì)的時(shí)間空間，因而不同參考系下對(duì)同一事件四維坐標(biāo)的表示不同但又相關(guān)，因而有了洛侖茲變換.洛倫茲變換是愛因斯坦狹義相對(duì)論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).值得研究的是，在存在三個(gè)慣性參考系下，是否可以通過已知兩組慣性系間接推出第三組慣性系之間四維坐標(biāo)的變換關(guān)系，即洛侖茲變換是否具有傳遞性.

1 建立假設(shè)模型

首先，考慮這樣一種環(huán)境：在一個(gè)無限大的空間里僅存在一個(gè)質(zhì)點(diǎn).在這樣的環(huán)境中，質(zhì)點(diǎn)既可以說是運(yùn)動(dòng)的也可以說是靜止的，運(yùn)動(dòng)是其絕對(duì)存在，然而在無限大的環(huán)境中這種運(yùn)動(dòng)也可以看作是相對(duì)靜止.總而言之，在沒有參考系的前提下其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是絕對(duì)未知的.因而我們可以把參考系（通常指慣性系）理解為物質(zhì)某一種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)函數(shù)表出的基礎(chǔ)，對(duì)于不同參考系必然存在不同的表出，由于參考系之間有著確定的關(guān)系，因而對(duì)于同一事件在不同參考系下的表出有著一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系，即洛侖茲變換.

基于洛侖茲變換，建立如下假設(shè)模型：有S系、S′系和S″系，其各自x軸重合，y軸和z軸分別平行，已知S′系相對(duì)S系和S′系相對(duì)于S″分別沿x軸正向速度為u.

2 用矩陣形式探究其傳遞性

雖然在后續(xù)的資料查閱中了解到洛侖茲變換的一般矩陣表達(dá)形式[1]如下：

但由于僅討論慣性系僅在x方向上有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，故將時(shí)空坐標(biāo)轉(zhuǎn)換按照預(yù)先設(shè)定寫成：

其中 X=[v1，v2，v3，t]T，X′=[v1′，v2′，v3′，t′]T，且有以 u 為參數(shù)的矩陣：

易證明A(u)A(-u)=I，則兩者互為逆矩陣，符合相對(duì)性原理.

對(duì)于之前的假設(shè)模型易得到：X′=A(u)X， X″=A(u)X′，因而有 X′=A(u)A(u)X，說明當(dāng)有 P-1A(u)P=?(u)，由 A(u)n=P?nP-1可進(jìn)行 n 次交換.

由此表明,從矩陣變換的角度洛侖茲變換具有傳遞性.

然而，在此也不難發(fā)現(xiàn)A(2u)與A(u)A(u)不相等，由于矩陣A僅有一個(gè)可變參數(shù)u，可以推出S′系對(duì)S系相對(duì)速度實(shí)際不為2u，因此需要通過相對(duì)論速度的角度進(jìn)行探究.

3 從相對(duì)論速度角度討論其傳遞性

通過S系到S′系和S′系到S′系的洛侖茲轉(zhuǎn)換來推導(dǎo)S系到S′系的洛侖茲變換：

另外可知：

由此推出關(guān)于S系到S′系的洛侖茲變換，洛侖茲變換的傳遞性得證.不難發(fā)現(xiàn)，S′系相對(duì)于S系的速度為μ小于2u，正好否定了在相對(duì)時(shí)空觀下伽利略變換的可行性.

4 結(jié)論

通過研究，有兩個(gè)結(jié)論必須明確：一是，物理體系的狀態(tài)據(jù)以變化的定律，同描述這些狀態(tài)變化時(shí)的坐標(biāo)系究竟是用兩個(gè)在互相勻速運(yùn)動(dòng)著的坐標(biāo)系中的哪一個(gè)并無關(guān)系.[2]二是，通過洛侖茲變換的矩陣形式和相對(duì)速度的角度，均證明洛侖茲變換具有傳遞性.當(dāng)然，從群論出發(fā)的閉合定理[3]也證實(shí)了兩個(gè)參照系轉(zhuǎn)換疊加得到另外一個(gè)轉(zhuǎn)換.

類比于光的波粒二象性在不同情況下有不同的體現(xiàn)，洛侖茲變換在傳遞過程中也有類似的情況.例如，S系與S′系過程中可以看作包涵有限或者無限個(gè)基于某一參數(shù)u的洛侖茲變換的疊加，若u足夠小，S系與S′系之間的轉(zhuǎn)換就趨于微分化多重甚至復(fù)雜化，而u越大直至等于S系與S′系的相對(duì)速度則兩系之間的轉(zhuǎn)換就變得整體但跨度大，而在實(shí)際生活信息傳遞應(yīng)用中可以基于洛侖茲變換的傳遞性綜合考慮上述結(jié)論的兩個(gè)方面.

［1］關(guān)洪.再談洛倫茲變換的推導(dǎo)[J].大學(xué)物理,2007(11):14-15.

［2］Zur Elektrodynamik bewegter Körper.Annalen der Physik,1905-6-30,17:891-921[Z].

［3］Е.М.栗弗席茲.場(chǎng)論[M].北京:人民教育出版社,1958:14-15.