聚焦典例 放飛思維
2013-04-12 00:00:00吳智勇
初中生世界·八年級 2013年10期
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開例、習(xí)題，而課本中許多例、習(xí)題都具有典型性、示范性和探索性，所蘊含的內(nèi)容相當(dāng)豐富，對它們進行適當(dāng)?shù)淖兓?、引申與發(fā)散，將能得到有價值的新問題、新結(jié)論.現(xiàn)以課本“全等三角形”一章復(fù)習(xí)參考題第5題為例略加改編.
如圖1，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分別為E、D.圖中哪條線段與AD相等？并說明理由.
【分析】我們結(jié)合圖形從題目的結(jié)論出發(fā)，認真觀察，可以猜想線段CE與AD相等.進而尋找兩條線段所在載體——三角形，證明△ADC≌△CEB.
解：CE=AD.
因為BE⊥CE ，AD⊥CE，
所以∠ADC=∠BEC=90°，
即∠DAC+∠ACD=90°，
又因為∠ACB=90°，
即∠ACD+∠BCE=90°，
所以∠DAC=∠ECB.
又因為AC=BC，
所以 △ADC≌△CEB（AAS）.
所以CE=AD.
【點評】此題目屬于全等問題里第二層次，從復(fù)雜圖形中找出一對全等三角形.我們可以從題目的條件出發(fā)，也可從題目的結(jié)論出發(fā).特別要關(guān)注圖中雙重身份的線段或角.圖中AC與BC既是等腰直角三角形中兩直角邊，又是全等三角形中一對對應(yīng)邊.這個圖形也是一個經(jīng)典圖形.
發(fā)散一：已知如圖（1），△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B、C在AE的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E.
求證：（1）BD=DE+CE；
（2）若直線AE繞A點旋轉(zhuǎn)到（2）位置時，BD
（3）若直線AE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖（3）位置時，BD>CE，其余條件不變，問BD與DE、CE的關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果，不需證明.
（4）歸納（1）、（2）、（3），請用簡潔語言表述BD、DE、CE的關(guān)系.
【分析】此組題目圖形在變化，但基本條件未變，變化中有不變.∠BAC=90°，AB=AC沒變，BD⊥AE，CE⊥AE不變.這就為我們證明三角形全等創(chuàng)造條件.由全等三角形得到對應(yīng)線段相等，進而說明題目中結(jié)論.
證明：（1）因為BD⊥AE，CE⊥AE，
所以∠ADB=∠AEC=90°，
又因為∠BAC=90°，
即∠BAD+∠CAE=90°，
又∠DAB+∠ABD=90°，
所以∠ABD=∠CAE，
又因為AB=AC，
所以 △ABD≌△CAE（AAS），
所以BD=AE，AD=CE，
所以BD=DE+CE.
（2）（3）都可以說明△ABD≌△CAE，得到對應(yīng)線段相等，從而說明結(jié)論.
【點評】三角形全等是證明線段相等、角相等最基本、最常用的方法，這不僅因為全等三角形有很多重要的角相等、線段相等的特征，還在于全等三角形能把已知的線段相等、角相等與未知的結(jié)論聯(lián)系起來. 條件中沒有現(xiàn)成的全等三角形時，會通過構(gòu)造全等三角形再用判別方法.有些幾何問題中，往往不能直接證明一對三角形全等，一般需要作輔助線來構(gòu)造全等三角形.
常見的構(gòu)造三角形全等的方法有如下三種：①涉及三角形的中線問題時，常采用延長中線一倍的方法，構(gòu)造出一對全等三角形；②涉及角平分線問題時，經(jīng)過角平分線上一點向兩邊作垂線，可以得到一對全等三角形；③證明兩條線段的和等于第三條線段時，用“截長補短”法可以構(gòu)造一對全等三角形.
發(fā)散二：如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，CE⊥BD的延長線于E，∠1=∠2，試說明：BD=2CE.
【分析】此題也是由原題圖形基礎(chǔ)上改編而來，通過延長BA與CE構(gòu)造三角形全等可得，見圖3.
證明：因為CE⊥BD，，
所以∠BEC=90°，
所以∠BAC=∠BEC，
又∠BDA=∠CDE，
所以∠1=∠DCE，
因為∠BAC=∠CAG=90°，AB=AC，
所以△ABD≌△ACG（ASA），
所以BD=CG.
又可證△BEG≌△BEC（ASA），
所以CG=2CE，
所以BD=2CE.
發(fā)散三： 已知：如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC的中點，CE⊥AD于E，交AB于F，連接DF.
求證：∠ADC=∠BDF.
【簡析】我們有了前面經(jīng)驗的積累，可以嘗試從說明三角形全等出發(fā)尋求答案.依托已有條件作BG⊥CB與CF的延長線交于點G，垂足為B，構(gòu)造出△ACD≌△CBG 得到CD=BG，∠ABC=∠ABG=45°.由D為BC中點，得到BD=BG.可得△BDF≌△BGF，∠ADC=∠CGB=∠BDF（具體解題過程，同學(xué)們自行完成）.
