實驗探究：勾股定理的證明方法探究

勾股定理又叫畢氏定理，是初等幾何的著名定理之一：在一個直角三角形中，斜邊邊長的平方等于兩條直角邊邊長平方之和. 據(jù)考證，人類對這條定理的認識，少說也超過4000年！古埃及人在4500年前建造金字塔和測量尼羅河泛濫后的土地時，就廣泛地使用勾股定理. 古巴比倫（公元前1800到公元前1600年）的數(shù)學(xué)家也提出許多勾股數(shù)組.

勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿魅力，于是千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，有普通百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國家總統(tǒng). 也許是因為勾股定理既重要又簡單，更容易吸引人，才使它成百次地反復(fù)被人炒作，反復(fù)被人論證. 1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法. 實際上還不止這些，有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法. 這是任何定理無法比擬的. 下文選取部分較為精彩的證明方法，供同學(xué)們參考.

方法1：課本方法：直接在直角三角形三邊上畫正方形，如圖.

利用三個正方形面積之間的關(guān)系，從而得到直角三角形三邊之間的關(guān)系. 基于完全可以接受的樸素觀念，既直觀又簡單，任何人都看得懂.

方法2：在中國古代的數(shù)學(xué)家中，最早對勾股定理進行證明的是三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽. 趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法，給出了勾股定理的詳細證明.

在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到的正方形ABDE是由4個相同的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的. 每個直角三角形的面積為■；中間的小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2. 于是便可得如下的式子：4×■+（b-a）2=c2，化簡后便可得：a2+b2=c2. 趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識. 他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一，代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨特風(fēng)格樹立了一個典范.

方法3：美國第十七任總統(tǒng)J·A·加菲爾德（1831～1888）在學(xué)生時代對初等數(shù)學(xué)就具有強烈的興趣和高超的才能，在1876年（當時他是眾議院議員，5年后當選為美國總統(tǒng)），給出了勾股定理一個漂亮的證明，證明的思路是利用等積思想， 如下圖.

S梯形ABCD=■（a+b）2=■. ①

又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED=■=■. ②

比較以上兩式，便得a2+b2=c2.

這一證明由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明相當簡潔.

從勾股定理還推廣出很多新的定理和應(yīng)用，有興趣的同學(xué)可以嘗試證明. 如：

歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的一個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和.”

從上面這一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等于以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和.”

勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應(yīng)棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等于直角邊上兩個多面體表面積之和.

若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等于兩直角邊上所作兩球表面積之和.

勾股定理是一個基本的幾何定理，它是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一. 總之，在勾股定理探索的道路上，人們一步一步走向了數(shù)學(xué)殿堂.