基于Riesz變換的圖像邊緣檢測

趙宏偉，陳 霄，龍曼麗，裴士輝

(1.吉林大學計算機科學與技術學院，長春130012;2.吉林大學公共外語教育學院，長春130012)

圖像邊緣提取是圖像處理的關鍵技術，該技術在生物識別，圖像理解，視覺注意等領域都起到重要作用，Shivakumara等［1］利用邊緣在視頻中實現(xiàn)文字識別。Youssef等［2］利用邊緣檢測方法對醫(yī)學影響中的血管特征進行提取與識別。目前，常用的圖像特征提取方法有Roberts算子、Prewitt算子、Sobel算子、Laplacian算子和Canny算子。這些算法都是基于圖像中像素幅度(灰度)的梯度變化進行特征提取，雖然運算簡便，但是特征提取效果不夠理想。信號分析中Gabor函數(shù)可很好地模擬人眼視覺中簡單細胞感受野的特性，利用多方向多尺度的Gabor小波使圖像底層特征提取效果得到改善，但Gabor小波方法同樣是根據(jù)圖像中幅度的梯度變化而進行的特征提取。

Oppenheim等［3］研究的圖像不僅存在幅度信息，還包括相位信息，通過實驗證明:相位信息可以更好地表示圖像的特征。Morrone等［4］使用相位一致性提取的圖像特征得到很好的效果，與傳統(tǒng)方法根據(jù)圖像幅度的梯度變化進行特征提取相比，由于基于相位一致特征提取方法根據(jù)圖像中相位變化信息進行圖像特征提取，所以，可避免受到照度不均勻的影響。但通常情況下研究者都是在Hilbert變換空間下進行相位一致的計算，運算速度慢。本文針對這一問題，將相位一致性計算引入到Riesz變換空間中，Riesz變換具有各向同性的特點，而且Riesz變換運算相對簡便。通過仿真實驗證實了該方法不僅使相位一致運算速度得到改善，而且繼承了傳統(tǒng)方法在圖像特征提取過程中的優(yōu)越性。

1 相位一致計算

相位一致性是指圖像的各個位置上各個頻率成分的相位相似度的一種度量方式，它是一個無量綱的量，理論上其值不受光照及亮度的變化的影響［5］。計算圖像的相位一致性，一定涉及到局部能量特征模型的概念。Morrone等［4］研究發(fā)現(xiàn)局部能量模型適用于計算機視覺中的特征提取，因為這種新概念的模型不是基于圖像中局部幅度梯度的改變進行特征檢測，而是假設在經(jīng)過Fourier變換的圖像中，所有的相位最大值點(PC)被感知到，他們還給出了計算公式。信號F(x)，其Fourier級數(shù)展開為:

其中，An是第n個余弦分量的幅度值，ω為一個常數(shù)，通常ω=2π，φn0代表第n個余弦分量的相位偏移量，φn(x)表示在x處Fourier變換分量的相位。相應的，相位一致函數(shù)定義為:

其中，I(x)代表實部分量，H(x)代表虛部分量，H (x)是由原信號F(x)做Hilbert變換的結果。這意味著求解相位一致的公式還有其他形式:

由式(4)可以看出，局部能量和相位成正比，在幅度值一定的情況下，局部能量E(x)到達峰值時相位一致PC(x)也到達峰值。由于相位一致性PC(x)是局部能量和幅度值累加的比值，是根據(jù)幅度變化的快慢對特征進行提取，而不是通過簡單的幅度梯度變化大小分析特征，所以受圖像亮度和對比度的影響較小。

2 基于Riesz變換下的邊緣檢測算法

2.1 構建以Log-Gabor為尺度因子的Riesz變換

Micheal等［7］于2001年使用Riesz變換進行信號分析。Riesz變換和Hilbert變換有很多相同的性質(zhì)，因此，我們將相位一致概念引入到Riesz變換空間中。

Riesz變換的核(注:u信號分析頻域，x圖像域):

該核函數(shù)作用在頻域中，如果要使用式(6)作用于圖像，需要一個卷積模板，即:

其中，f(x)為原信號，經(jīng)過Riesz變換，用fM(x)表示:

在Riesz變換空間中增加一個尺度變量，用一維Log－Gabor變換作為尺度變量，Log－Gabor變換相對覆蓋頻率較大，而且與人類視覺系統(tǒng)相近，改良后的Riesz核為:

在圖像域中，通過三元變量表示構建Riesz變換空間:

其中，Gx是在圖像域上的一維Log－Gabor變換。h1和h2是H(u)與卷積模板h(x)的乘積。所以，圖像中Monogenic Signal的局部幅度值A(x)，局部相位P(x)和局部方向θ(x)可以表示為:

2.2 Riesz變換空間下的相位一致性邊緣檢測方法

傳統(tǒng)Hilbert變換下的相位一致性算法是以二維Log－Gabor變換以及二維Log－Gabor變換實部與虛部作為構造信號處理空間，并計算局部能量。而本文在Riesz變換空間下獲得局部能量表示是實現(xiàn)計算相位一致性的關鍵。Hilbert變換空間上和Riesz變換空間上具有相同的譜［8］。Micheal Felsberg和Gerald Sommer在最初設計Monogenic Signal時是用Riesz變換替代Hilbert變換。Riesz變換和Hilbert變換是均為正交濾波器，Riesz變換產(chǎn)生的濾波器構成一個球形正交過濾器(Spherical Quadrature Filters，SQF)(見圖1)。

圖1中Monogenic Signal是以Riesz變換為核，一維Log－Gabor小波為Riesz變換空間的尺度函數(shù)，Riesz變換下，由p(x)，q1(x)和q2(x)構成尺度空間，其中θ為局部方向，p(x)為局部相位。

圖1 Riesz變換空間關于p(x)，q1(x)和q2(x)Fig.1 The function image about p(x)q1(x)and q2(x) ofmonogenic signal

在一個圓球形的正交濾波器中計算Riesz變換空間下尋找圖像頻率的相似性(相位一致性)是不可能的。只有通過設置Riesz變換的尺度因子(不同波長參數(shù)的尺度函數(shù)Log－Gabor變換)，獲得兩個(或者兩個以上)圓球形的正交濾波器，才能計算圖像的相位一致性。假設第一個維度上的相位為P1，第二個維度上的相位為P2，則有:

f代表某一局部能量，將相位一致定義公式通過空間向量表示，計算公式為:

算法實現(xiàn)流程如下:首先將圖像f(x)經(jīng)過Fourier變換得到FFT f(x);然后為求得Riesz變換要對FFT f(x)的行和列分別經(jīng)過一維Log－Gabor變換;與Riesz變換卷積后，Riesz變換的實部和虛部構成Riesz變換空間的q1(x)和q2(x)，一維Log－Gabor與FFT f(x)的實部作為變換空間的p(x)，得到計算相位一致的第一組向量f1;通過改變一維Log－Gabor變換的波長，再次得到用于計算相位一致的第二組向量f2，程序?qū)崿F(xiàn)流程如圖2所示。至少要獲得兩組向量，才能計算出相位一致，也可以獲得多組向量fn，多次計算相位一致結果，然后對每次結果進行圖像融合，獲得更好的底層特征提取效果，但這樣也同時增加了計算運行的時間?？赏ㄟ^q1(x)和q2(x)方向上幅度值的比值計算局部方向θ，用非極大值抑制(Non－maxima suppression)提取圖像特征邊緣。

圖2 本文方法流程圖Fig.2 The flow chart of the proposed method

3 仿真實驗

3.1 算法內(nèi)存消耗與運算速度對比

使用經(jīng)典Lena圖像作為測試像，圖像分辨為512×512的8 bit灰度圖像，在Windows XP系統(tǒng)平臺下的 Matlab7.0進行實驗。運用 Resource Monitor內(nèi)存監(jiān)控軟件對Matlab仿真實驗時內(nèi)存初始消耗值以及運行時的峰值進行監(jiān)控，記錄相同波長帶寬不同方向尺度(nscale)下Hilbert變換和Riesz變換對實驗圖片進行邊緣提取方法的內(nèi)存消耗。圖3為基于Riesz變換的邊緣特征提取算法與6方向和4方向的傳統(tǒng)Hilbert變換邊緣特征提取算法內(nèi)存消耗的比較。很顯然，本文方法相對傳統(tǒng)方法內(nèi)存消耗較小。

圖3 本文方法與傳統(tǒng)方法內(nèi)存消耗比較Fig.3 Memory-consum ing com parison of two algorithms

本文提出的算法相對傳統(tǒng)Hilbert變換的邊緣提取算法不必考慮多方向問題，運算過程中沒有正弦和余弦函數(shù)的循環(huán)運算，運算速度得到很大改善。通過實驗測試了兩種算法運算速度，實驗樣本為5幅不同分辨率的灰度圖像，實驗平臺的 CPU和內(nèi)存分別為賽揚 466 Byte和 128 MByte，平臺系統(tǒng)為Windows XP下的Matlab7.0，其實驗結果如表1所示。

表1 兩算法速度對比Table 1 Time-consum ing com parison of two algorithms

3.2 圖像特征提取效果對比

圖4為本文方法與Canny，Log－Gabor小波進行邊緣提取的對比實驗結果，圖4(a)為實驗測試原圖，由于受光照不均勻的影響，視覺上感覺分割圖像的兩條直線由上到下，逐漸變寬，但實際上，兩條線由上到下寬度均勻，只是左面的線亮度逐漸變暗，右面的線則亮度逐漸變淺。圖4(b)圖為使用本文特征提取方法，能清晰反應兩條分割線寬度不變。圖4(c)中，采用6方向3尺度的二維Log－Gabor小波進行特征提取，沿著圖像中左邊的深色分割線向下，白色特征分割線逐漸不清晰，到圖像下部分很難辨認白色和黑色哪個是圖像邊緣特征。圖4(d)和(e)為采用不同參數(shù)Canny邊緣提取方法，由對比測試看出，特征紋理原本為垂直方向，但經(jīng)過Canny算法后都變得傾斜，并隨著參數(shù)的變化，圖像特征邊緣位置也隨之變化。實驗結果說明，基于幅度差異提取邊緣的Canny算法和二維Log－Gabor變換，在幅度變化接近的圖像中邊緣提取表現(xiàn)不及本文方法，基于Riesz變換空間下相位一致特征提取方法受局部亮度梯度改變的影響很小，適于在光線照射不均的條件下對物體特征進行提取。

圖4 本文方法與Canny、二維Log-Gabor變化對比實驗結果Fig.4 Experimental result of the proposed method compared w ith 2D Log-Gabor transformation and Canny edge detecting

圖5(a)為原圖，圖5(b)和(c)為經(jīng)過本文方法進行邊緣提取后的效果，分別為尺度n=4和尺度n=6，圖5(d)是分別經(jīng)過Hilbert變換后相位一致邊緣的提取方法，圖5(e)為方向O=6、尺度n=3的Log－Gabor小波處理后的圖像效果，圖5(f)和(g)為Canny算子處理后的效果，參數(shù)分別為σ=2和σ=5?？梢钥闯觯鄬og－Gabor，本文方法對邊緣的提取更為準確，相對Canny算子，雖然在σ=2時，邊緣提取效果相對不錯，但在σ=5時效果就失真了。而經(jīng)過實驗，本文方法在相對尺度較低，不同波長和帶寬，對受不均勻光照影響的邊緣均有良好的檢測效果，受照度影響相對較小。與Canny算子比較，本文方法對光照變化具有較好的魯棒性。傳統(tǒng)的Hilbert變換下相位一致計算方法對光照影響較小，邊緣提取效果較好，但相對計算復雜度較高。

圖5 本文方法與其他邊緣提取方法對比圖片F(xiàn)ig.5 Experimental result of method proposed compared w ith others edged detecting methods

4 結束語

圖像特征提取的應用越來越廣泛，人們需要一種運算簡便且性能優(yōu)秀的底層特征提取方法。Gabor小波以及Canny等方法運算速度快，但有時效果不能滿足需求。傳統(tǒng)Hilbert變換下的相位一致性計算方法雖然效果令人滿意，但運算速度不盡人意。本文使用Riesz變換替代Hilbert變換，使用Log－Gabor變換作為Riesz變換的尺度因子，通過尺度因子變化構造計算相位一致性的空間，實現(xiàn)了對圖像的局部能量和局部幅度分析，提出了基于Riesz變換的相位一致性邊緣提取方法，并通過仿真實驗驗證:該方法運算速度雖然相對Canny算子和Gabor變換運算復雜，但優(yōu)于傳統(tǒng)相位一致性算法，而且在光照不均勻環(huán)境下，相對Gabor變換和Canny算子特征提取效果較為完整，并繼承了傳統(tǒng)相位一致特征提取方法受光線變化影響較小的特點。

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