混沌50年

郭凱寧/編譯

混沌50年

郭凱寧/編譯

● 今年是混沌理論提出50周年，《今日物理》邀請著名物理學(xué)家安迪爾森·莫特（Adilson E.Motter）和戴維 K.坎貝爾（DavidK.Canpbell）對混沌理論的出現(xiàn)、發(fā)展以及影響撰文回顧。本刊特編譯該文，以饗讀者。

1963年的時候，一位來自麻省理工學(xué)院的氣象學(xué)者揭示了決定論可預(yù)測性只是一個美麗的幻想。與此同時，一個新的領(lǐng)域也隨之誕生。時至今日，這個領(lǐng)域依然繁榮興旺。

在經(jīng)典物理學(xué)中，人們認(rèn)為如果給一個系統(tǒng)賦予特定的初始狀態(tài)，那么這個系統(tǒng)在未來所有時刻的狀態(tài)都可以通過計算而得出。皮埃爾·西蒙·拉普拉斯（PierreSimonLaplace）有一段著名的話：“如有這么一位智者，他能夠洞悉所有使得大自然生機(jī)勃勃的力量，能夠了解大自然所有元素的狀態(tài)。那么，如果我們給他提供足夠多的數(shù)據(jù)……無論是未來還是過去，所有的一切將會盡數(shù)展現(xiàn)在他眼前，沒有任何的東西會是無法洞悉的。”換句話說，機(jī)械式宇宙觀是正確的。

而事實上真正困難的是：無論使用何種方式，我們永遠(yuǎn)不可能得到真實世界絕對準(zhǔn)確的初始狀態(tài)——指導(dǎo)教授可以要求學(xué)生提供更高精度的實驗數(shù)據(jù)，但是結(jié)果永遠(yuǎn)不會絕對準(zhǔn)確。到了19世紀(jì)，人們在研究中形成了一種默認(rèn)的假設(shè)——近似的初始狀態(tài)意味著近似的最終狀態(tài)。這種假設(shè)幫助人們成功地描述了行星、彗星、恒星的運動方式以及無數(shù)其他系統(tǒng)的動力學(xué)模型。因而物理學(xué)家們沒有理由去作其他的假設(shè)。

然而從19世紀(jì)開始，一系列的研究顯示，直觀的決定論可預(yù)測性在大部分系統(tǒng)中是錯誤的。這一情況在麻省理工氣象學(xué)家愛德華·勞倫茲（Edward Lorenz）（圖1a）1963年的論文發(fā)表后達(dá)到了高潮。初始狀態(tài)中微小的不確定因素會演變成最終系統(tǒng)中巨大的錯誤。即使系統(tǒng)足夠簡單，所有的參數(shù)都是已知的，結(jié)果依然無法預(yù)測。決定論無法阻止混沌，這個結(jié)果足夠令人驚奇。

怪獸展

在我們今天所熟知的混沌理論中，大部分內(nèi)容是在二十世紀(jì)后四分之一的時間里成型。但是學(xué)者們與混沌現(xiàn)象的近距離遭遇戰(zhàn)卻在十九世紀(jì)八十年代早早的就發(fā)生了，而最初的戰(zhàn)斗開始于亨利·龐加萊（HenriPoincaré）對天文力學(xué)中三體問題的研究。龐加萊觀察到，在三體系統(tǒng)中，“初始條件的微小差異會在最終現(xiàn)象中產(chǎn)生巨大的差別……預(yù)測變成了不可能的事?！?/p>

在相空間中，類似龐加萊所研究的三體系統(tǒng)這樣的動力學(xué)系統(tǒng)能夠得到最好的描述?？臻g的維度對應(yīng)的是動態(tài)變量，比如位置和動量，這樣系統(tǒng)就可以使用一組一階常微分方程來描述。主流觀點長時間認(rèn)為，如果放任不管，一個常規(guī)的經(jīng)典系統(tǒng)最終會穩(wěn)定在下面幾個狀態(tài)：一個由相空間中一點所描述的穩(wěn)定狀態(tài)；一個由封閉環(huán)描述的周期狀態(tài)；或者一個準(zhǔn)周期的狀態(tài)，即存在數(shù)量為n>1的不可通約的周期模式，在相位空間中表現(xiàn)為一個n維的環(huán)面。

龐加萊通過計算得出，三體的運行軌跡不在上述任意一種狀態(tài)的范疇之中。相反的，他觀察到“除非使用非常復(fù)雜的方式將其折疊，否則每一條曲線永遠(yuǎn)不會與自身相交，而折疊后的曲線將會近乎無限次的交匯，以至最后能夠占滿所有的空間。形狀復(fù)雜到足夠打擊任何一個人，我甚至不想去作圖”。

而龐加萊拒絕去畫的圖形就是現(xiàn)在早已廣為人知的同宿交錯網(wǎng)，一個混沌幾何分形的典型表現(xiàn)形式。

大多數(shù)人認(rèn)為龐加萊的結(jié)論，雅克·阿達(dá)姆（JacquesHadamard）的獨立發(fā)現(xiàn)，以及當(dāng)時在實驗中看到的各種混沌現(xiàn)象是病態(tài)的、是人為噪聲或是由研究方法上的缺陷造成的，因而這些結(jié)果被拋棄，同時被稱為“怪獸展”。而在將近一個世紀(jì)以后，混沌理論才找到堅實的立足點。

一個偶然發(fā)現(xiàn)

當(dāng)20世紀(jì)勞化茲開始研究氣象學(xué)的時候，他很可能并不了解龐加萊之前的工作。Lorenz擁有數(shù)學(xué)的學(xué)士和碩士學(xué)位，他在二戰(zhàn)時候作為氣象學(xué)家在軍隊服役，后來他來到麻省理工學(xué)院完成氣象學(xué)博士學(xué)位的研究。在1955年的時候，勞化茲留校任教。

在那個時候，大多數(shù)的氣象學(xué)家都在使用線性程序來預(yù)測天氣。這種方法有一個前提：第二天的天氣是今天天氣的一個明確的線性組合。而相反的是，一個由動力氣象學(xué)家組成的新興學(xué)派認(rèn)為，如果能夠模擬低層大氣流動的動力學(xué)方程，天氣預(yù)測就能夠變得更加準(zhǔn)確。勞化茲剛買第一臺電腦（RoyalMcBeeLGP-30，內(nèi)存為4K個32比特字，即16K字節(jié)）的時候，決定將線性程序與動力學(xué)模型作一下對比，這個動力學(xué)模型經(jīng)過簡化之后擁有12個變量。（即使比他桌面上的計算器快1000倍，仍舊要比今天的筆記本電腦慢上100萬倍。）

勞化茲在其中尋找非周期的解，一旦找到，將會使線性程序面臨巨大的挑戰(zhàn)。最后，在模擬太陽能對大氣的加熱作用時，他引入了一個隨經(jīng)緯度變化的熱值，之后發(fā)現(xiàn)了這些解。毫無疑問，線性程序給出了一個遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠完美的答案。

勞化茲發(fā)現(xiàn)，在模型中這些非周期的解只和它們自身有關(guān)系。于是他決定進(jìn)行更加細(xì)致的調(diào)查。隨后他重現(xiàn)了實驗數(shù)據(jù)，然后將表示每一天天氣的輸出變量打印下來。雖然計算機(jī)有較高的計算精度，但為了節(jié)省空間，他只把數(shù)據(jù)保留到小數(shù)點后第三位。下面就是勞化茲自己的原話。

“為了更加細(xì)致的檢驗到底發(fā)成了什么，我決定重復(fù)之前的一些計算。我停止了計算機(jī)，把之前打印出來的一行數(shù)字輸入進(jìn)去，然后讓它再次開始運行。這個時候我出去喝了杯咖啡，一小時后回來的時候，計算機(jī)已經(jīng)模擬了大概兩個月的天氣。然而這次打印出的數(shù)據(jù)與之前的數(shù)據(jù)沒有任何相似的地方。我直接懷疑是真空管損壞或者是計算機(jī)發(fā)生了其他不常見的問題。不過在打電話尋求幫助之前，我決定看一下到底是哪里發(fā)生了錯誤。我發(fā)現(xiàn)在剛開始的時候新數(shù)據(jù)與舊數(shù)據(jù)的值是相同的，不過差別緊接著發(fā)生在了小數(shù)的最后一位或者幾位，之后差別擴(kuò)大到之前的位置，然后是更向前的位置。事實上，差不多每四天的時間差別就會擴(kuò)大一倍，直到第二個月的時候，才會找不出所有與原始數(shù)據(jù)的相似之處。這已經(jīng)足夠告訴我們到底發(fā)生了什么：除了保留的那一部分，我輸入的數(shù)字并不是準(zhǔn)確的原始數(shù)字。四舍五入產(chǎn)生的誤差導(dǎo)致了問題的產(chǎn)生；在系統(tǒng)中，誤差被不斷地放大，直到誤差充斥了最終的解?！?/p>

蝴蝶效應(yīng)

我們已熟知，勞化茲觀察到的就是對初始條件的敏感依賴性——混沌的一個典型屬性。這種現(xiàn)象在相空間中已經(jīng)擁了有清晰的定量特征：任意兩條臨近軌道的距離隨時間呈指數(shù)方式增長。勞化茲親手繪制的敏感依賴性見圖1b，這幅圖展示了使用同一個方程計算出的的兩個不同的時間序列，由于初始狀態(tài)的微小差別，最終呈現(xiàn)的差距隨著時間不斷增大。這種標(biāo)志式的行為使得“隨機(jī)性”成為了混沌動系統(tǒng)的外表。不過正如勞化茲自己所說，這樣的外表是具有欺騙性的：無論現(xiàn)在是在隨機(jī)系統(tǒng)中的哪一時刻，接下來都會發(fā)生任何可能的事情，比如擲骰子;但是在例如勞化茲所描述的混沌系統(tǒng)中，最終的結(jié)果都是完全已知的。（嚴(yán)格來說，擲骰子的結(jié)果也是確定的）

勞化茲意識到，如果大氣的行為與他的模型相似，那么預(yù)測未來的天氣將會是一項不可能的事情。在1972年美國科學(xué)促進(jìn)協(xié)會的一次會議中，討論的題目是“可預(yù)測性：一只蝴蝶在巴西煽動翅膀能夠造成德克薩斯的龍卷風(fēng)嗎？”勞化茲 使用了蝴蝶來比喻微小、看起來無關(guān)緊要的擾動有可能會改變天氣的進(jìn)程。隨后這個比喻開始家喻戶曉，并且敏感依賴性被冠以“蝴蝶效應(yīng)”而變的廣為人知。

計算機(jī)模擬程序中的每時每刻都在引入舍入誤差，并且誤差會被混沌系統(tǒng)放大。你肯定會問勞化茲的解到底能不能提供關(guān)于混沌軌跡的可靠信息。碰巧，它們可以。這是由于一個被稱為陰影的屬性：雖然對于任一給定的初始狀來說數(shù)值軌跡與真實軌跡之間有差別，但是總是會有一個相近的初始狀態(tài)存在，這個狀態(tài)在預(yù)設(shè)時間段中的數(shù)字軌跡與真實軌跡近似相等。就像是從不同初始狀態(tài)開始，最終通過計算得到準(zhǔn)確的軌跡。這使得數(shù)值計算被廣泛地用于混沌系統(tǒng)的研究。舉一個例子，勞化茲使用經(jīng)過舍入的數(shù)據(jù)計算得到的軌跡，實際上仍是他的模型依照原始軌道（或者說準(zhǔn)確軌道）所作出的行為。

1960年東京的一次座談會上，勞化茲首次公布了12變量模型的研究結(jié)果。在那次會議上，他只是簡要的提到了舍入誤差造成會無法預(yù)測的影響；他相信這些內(nèi)容足夠?qū)懗隽硗庖黄撐?。勞化茲沒有成為萬眾矚目的焦點，很顯然，大多數(shù)的同僚還沒有意識到他的發(fā)現(xiàn)會有廣泛的意義。（與此同時，其他先驅(qū)關(guān)于混沌理論的研究也沒有得到關(guān)注，據(jù)上田宗亮描述，他在1961年研究模擬計算機(jī)的時候就觀察到“隨機(jī)遷移現(xiàn)象”，后來這種現(xiàn)象被認(rèn)為是一種混沌現(xiàn)象。）

洛倫茲吸引子

1963年3月，勞化茲以他的偶然發(fā)現(xiàn)為內(nèi)容發(fā)表了標(biāo)題為《確定的非周期流》的論文。在東京的那次會議之后，勞化茲花了大段的時間去尋找對于初始狀態(tài)有敏感依賴性的有可能最簡的模型，最終他找到了一個由非線性常微分方程組成的3變量系統(tǒng)，即后來我們所熟知的勞化茲方程。

就像龐加萊的三體系統(tǒng)，勞化茲方程在相位空間生成的軌跡永遠(yuǎn)不會回歸到它們自身，并且不會延伸到整形維度的表面之外。相反的，典型的軌跡會向一個有界的非整數(shù)維度的分型結(jié)構(gòu)收斂，之后持續(xù)盤旋。

可能由于更多的人開始研究混沌理論，預(yù)示混沌吸引子開始涌現(xiàn)在對于耗散系統(tǒng)的研究中。就像坐在秋千上的孩子需要不斷揮舞著胳膊或擺腿來保持秋千的運動，這些耗散系統(tǒng)也需要不斷地被注入能量以補(bǔ)充自身能量的損耗。在勞化茲 的系統(tǒng)中，能量依靠加熱來供給，耗散則由流體的粘稠度來決定。

混沌吸引子是混沌集中最優(yōu)秀的樣例，一個混沌集中擁有無以計數(shù)的混沌軌跡；在這樣一個集合中，任意一個定點附近的點都會產(chǎn)生一條混沌軌跡。但是不論這兩個點有多么靠近，它們之間都會存在著由無數(shù)周期性軌道產(chǎn)生的點。從數(shù)學(xué)的角度來說，周期性軌道構(gòu)成了混沌集合中一個可數(shù)、零測度、但是非常稠密的點集，就像實數(shù)集合中的有理數(shù)集。并不是只有吸引子上的點才會表現(xiàn)出混沌行為，任意位于吸引子吸引盆中的點都可以生成收斂到吸引子的混沌軌跡。

如果像洛倫茲吸引子那樣的混沌集中有無數(shù)多條的運動軌跡，那么為什么人們不能在現(xiàn)實中看到那些軌道呢？答案在于周期性軌道是不穩(wěn)定的，這也是混沌理論的關(guān)鍵特性。軌道的不穩(wěn)定會造成臨近軌道的發(fā)散，就像是由于在“上”這個狀態(tài)不穩(wěn)定，單擺運動到“上”的位置時軌跡會發(fā)生偏離。不過混沌集中的周期軌道使得軌跡會在每個點都發(fā)散。相比較而言，單擺的軌跡只會在“上”這個位置發(fā)散。由不穩(wěn)定周期軌道組成的框架導(dǎo)致了不規(guī)則的存在，同時也造就了在洛倫茲模型以及其他混沌系統(tǒng)中所中觀察到的混沌動力學(xué)。洛倫茲似乎很早就領(lǐng)悟到了混沌的基本特性，他認(rèn)為，不只是非周期特征中暗示了敏感依賴性的存在，敏感依賴性也是造成非周期性的根本原因。

你可能以為洛倫茲開創(chuàng)性的模型在發(fā)布之后會立即吸引到眾人的目光。但是事實上沒有。直到12年之后，他的這篇論文也只有不到20次的引用。轉(zhuǎn)折來自于一篇題為“周期三蘊含混沌”的論文，作者是李天巖與詹姆斯·約克。其他數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家正是通過了這篇論文才了解到了洛倫茲的工作。雖然看起來比今天的含義更加局限，但是這篇論文還是為這個領(lǐng)域定下了名字。到了二十世紀(jì)80年代后期，不只是相關(guān)的研究突然火熱起來，成千上萬科研文章也證實了混沌的存在?，F(xiàn)在，混沌的概念早已在不是科學(xué)家的普通人之間廣泛地普及開來。

分形，疊合，以及拿破侖蛋糕

混沌吸引子是一般分型。為了理解混沌與分形之間的關(guān)系，我們把軌跡看做是相空間中由靠近混沌引子的點組成的水滴。引子的混沌動力學(xué)特性在一些方向上拉伸了水滴，在另外的方向上縮小了水滴，從而構(gòu)成了一個很纖薄的長絲。不過由于軌跡是有界的，所以長絲最后必須將自己疊合起來。拉伸和疊合無限次的發(fā)生，就像面包師在揉面或者制作拿破侖蛋糕的糕餅一樣，最終生成了一個分形集。在這個集合中，兩個原始水滴中點的間距離在沿著吸引子吸引的方向上變得無窮大。

一個吸引子的幾何形狀與它的動力學(xué)特性存在著數(shù)量上的關(guān)系：（分型的）維度可以被計算求出。比如說可以從向空間中鄰近軌跡的發(fā)散速率，或者從單變量的時間序列求出。實際上，分型的維度代表著當(dāng)系統(tǒng)引入吸引子之后系統(tǒng)自由度的有效數(shù)目。雖然洛倫茲無法使用自己的數(shù)據(jù)求出維度，但是他的吸引子還是存在著一個分型維度，這個數(shù)值大約是2.06。

圖3a展示了一個相空間軌跡中的漸近行為，這段軌跡來自另外的一個混沌吸引子，描述了受到周期性驅(qū)動和阻尼的單擺。通過放大相空間中的一小部分，我們可以看到吸引子的分形本質(zhì)：在放大之后，吸引子在統(tǒng)計學(xué)上表現(xiàn)出了自相似性。有關(guān)分形的研究在二十世紀(jì)70年代的時候已經(jīng)成熟，同時代的混沌學(xué)說也逐漸廣為人知，看起來吸引子混沌屬性與分形屬性間存在有緊密聯(lián)系也不是一個巧合。

即使是擁有非混沌吸引子的耗散系統(tǒng)，我們也能找到混沌的身影。一個例子就是受到周期性驅(qū)動的強(qiáng)阻尼單擺，這種系統(tǒng)的相位空間圖中有兩個周期性吸引子（見圖3b），對應(yīng)的是單擺的順時針與逆時針旋轉(zhuǎn)，像圖中繪制的那樣，每一個吸引子都有清晰的吸引盆，典型的軌跡以數(shù)值為1的概率向其中的一個吸引子匯聚。在吸引盆邊界之間的是一個零測度、混亂分型的集合，也稱作反射極，會對臨近軌跡的進(jìn)化產(chǎn)生短暫的影響。一個類似現(xiàn)象會發(fā)生在無界的軌跡中，就像在混沌散射過程那樣。

漢密爾頓混沌

正如龐加萊所預(yù)示的那樣，保守系統(tǒng)中也有混沌的存在，漢密爾頓曾經(jīng)描述過這樣的系統(tǒng)。在耗散系統(tǒng)中高維度的吸引盆有可能會向低緯度的吸引子匯聚，不同的是，保守系統(tǒng)在相空間中必然會保持體積不變。

為了理解混沌現(xiàn)象是如何出現(xiàn)在一個保守系統(tǒng)中的，我們設(shè)想一個 n自由度的漢米爾的系統(tǒng)——一串沒有阻尼的簡諧振子。如果這個系統(tǒng)有n個獨立的積分，也就是說如果這個系統(tǒng)可以被n個諸如能量和動量這樣的守恒量來描述，那么這個系統(tǒng)是可積分的，因而他也是非混沌的。如果軌跡是有界的，系統(tǒng)的運動將會被分別限制在拓?fù)涞葍r于n維環(huán)面的表面上；圓環(huán)的每一個維度與系統(tǒng)的一個周期模式相關(guān)聯(lián)。在漢密爾頓系統(tǒng)中，周期模式的頻率可以很方便的使用有理數(shù)來表達(dá)，但是一個普通的擾動就可以摧毀諧振環(huán)面。一些相關(guān)的軌道能夠進(jìn)入一個二維的相空間區(qū)域并且變得混沌起來，其他的形成了新的小規(guī)模圓環(huán)族。這些新的保守環(huán)族也會被同樣的機(jī)制所摧毀，并且會一直這樣往復(fù)下去。KAM定理保證了非保守的環(huán)面可以在不斷的擾動中存活下來，不過小部分的環(huán)面隨著擾動而減少，因而變成軌道。最終所造成的結(jié)果是通常在漢密爾頓系統(tǒng)的相空間中會同時存在著規(guī)則的和混沌的區(qū)域，區(qū)域的尺度可以是任意小。

我們可以小行星帶以及土星環(huán)發(fā)現(xiàn)漢密爾頓混沌的美麗身影，這個中空的縫隙帶符合混沌軌跡，是一個無限接近似于圓環(huán)的軌道。

分支和多面性

動力學(xué)系統(tǒng)通常都有有分支存在，當(dāng)系統(tǒng)的一個參數(shù)變化時，整個系統(tǒng)會突然改變。例如液體被從底部開始加熱，當(dāng)溫度梯度一旦超過了某一閾值，液體中的對流會立即開始?；煦缋碚撝幸粋€決定性的時刻來自于二十世紀(jì)70年代，高精度的流體實驗方法以及新穎的數(shù)值與統(tǒng)計物理學(xué)技術(shù)，使得研究人員可以定量地分析混沌是如何貫穿于各種不同分支序列的。

米切爾·費根鮑姆 （MitchellFeigenbaum）在1978年的時候展示了這樣的現(xiàn)象，對于很大一部分?jǐn)?shù)學(xué)和實驗系統(tǒng)來說，在相同的標(biāo)準(zhǔn)化分叉參數(shù)的情況下，會發(fā)生同樣的一個被稱為倍周期混沌的序列分叉。這種普遍的形式隨后被艾爾博特·利比直伯（AlbertLibchaber）和毛雷爾的低溫對流實驗所驗證。這個實驗隨后激起了混沌領(lǐng)域的爆發(fā)，并幫助費根鮑姆和利比查伯獲得了1986年的沃爾夫物理學(xué)獎。從那時開始，理論和實驗都證明了倍周期廣泛地存在于各種系統(tǒng)中，也包括洛倫茲方程本身。

我們知道了些什么？

混沌集本身與其他的物理學(xué)革命不同，對于相對論和量子力學(xué)來說，混沌并不是關(guān)于特定物理現(xiàn)象的理論。

相反的是，混沌是所有科學(xué)范式的轉(zhuǎn)型，混沌可以提供很多用于分析各個領(lǐng)域奇特行為的概念和方法。這些特點并不關(guān)心初始條件如何得到最終現(xiàn)象的，因而深受歡迎：早期的混沌發(fā)生在不同的學(xué)科——天體力學(xué)，數(shù)學(xué)以及工程。這些領(lǐng)域的研究人員對其他人的發(fā)現(xiàn)一無所知。同樣，混沌打破了直接分析的方法。只有當(dāng)交互式計算使得實驗數(shù)學(xué)成為現(xiàn)實的時候，人們才能追趕上龐加萊等先驅(qū)的步伐。

基本的混沌理論已經(jīng)被包含進(jìn)了物理以及應(yīng)用數(shù)字的課程中。不過從應(yīng)用物理和工程到生理學(xué)、計算機(jī)科學(xué)以及金融學(xué)，都對混沌的具體表現(xiàn)有著強(qiáng)烈的興趣。舉例來說，最近的一個研究再次檢驗了一個長期存在的爭論，最終的結(jié)果表明人類的心跳由于和呼吸存在耦合，也表現(xiàn)出了混沌現(xiàn)象。還有當(dāng)恒星系統(tǒng)中有第二個行星出現(xiàn)的時候，系統(tǒng)也會變得混沌起來。

盡管存在對于初始條件的敏感依賴性，耦合的混沌系統(tǒng)可以同步運行在一個共享的混沌軌跡中。這種現(xiàn)象常見于網(wǎng)狀系統(tǒng)，而相關(guān)的研究也已經(jīng)展開。對計算機(jī)科學(xué)中的P與NP問題的研究已經(jīng)開始。特別是在動力學(xué)系統(tǒng)表現(xiàn)形式下的限制優(yōu)化問題中，當(dāng)優(yōu)化的強(qiáng)度增大的時候，混沌現(xiàn)象只會存在很短的時間?？赡軟]有其他領(lǐng)域會像流體力學(xué)一樣能從混沌中受益如此之多。甚至在受到周期性速度場支配的流體，微觀上流體元的運動常常表現(xiàn)出混沌現(xiàn)象。一個經(jīng)典的例子是冷流體越過障礙時候的瞬間混沌行為。這種行為已經(jīng)被計劃用來解釋競爭關(guān)系的浮游生物是如何在特定的孤島環(huán)境中共存的。在一個混合均勻的環(huán)境中，除了少數(shù)的物種，絕大多數(shù)的物種會滅絕。不過在一個島的尾流中，各種生物可以寄居在不同的分形狀流結(jié)構(gòu)中，這些結(jié)構(gòu)擁有很高的面積體積比，可以發(fā)生纏繞而不是混合（見圖 5b）。同樣的，拉伸、折疊以及呈指數(shù)分離的臨近點這些混沌的標(biāo)志都在拉格朗日相關(guān)結(jié)構(gòu)中被發(fā)現(xiàn)。這些內(nèi)容將會被用于很多領(lǐng)域，諸如預(yù)測污染物在大氣和海洋的傳輸?shù)鹊取?/p>

盡管低維度的混沌并不被直接說成是湍流，流體中仍舊發(fā)現(xiàn)了高雷諾數(shù)值的時空混沌。洛倫茲在一開始的時候就建立起了混沌與湍流之間的關(guān)系，他在1963年論文標(biāo)題的第一選擇其實是 “決定性的湍流”，最后只是因為編輯的慫恿而放棄。

混沌鐘很多的基礎(chǔ)問題還未完全解決。這些問題覆蓋了從混沌在量子以及相對論系統(tǒng)中的意義到在相位空間中混沌與粗粒度的聯(lián)系，以及統(tǒng)計力上的意義等等。還有的基礎(chǔ)工作關(guān)注的是模型的建造，例如在天文學(xué)時間尺度上觀察到的地球磁場磁極的不規(guī)則翻轉(zhuǎn)，現(xiàn)在已經(jīng)擁有了確定的混沌方程，與半個世紀(jì)之前的三等式模型已經(jīng)大為不同。

洛倫茲吸引子已經(jīng)被看作是漸進(jìn)動力學(xué)的代表。洛倫茲無論在廣度還是深度上都做出了標(biāo)志性的貢獻(xiàn)。正如他在1991年獲得的京都獎對他評價的那樣“他的‘確定性混沌’獲得了巨大的科學(xué)成就，這個法則深刻地影像了大量的技術(shù)科學(xué)，并且戲劇性地改變了人類自牛頓以來的自然觀?！?/p>

[資料來源：physicstoday][責(zé)任編輯：粒 灰]