胡塞爾論形式公理系統(tǒng)的完全性

李義民

（九江學(xué)院思政部，江西九江 332005）

胡塞爾論形式公理系統(tǒng)的完全性

李義民

（九江學(xué)院思政部，江西九江 332005）

在放棄了《算術(shù)哲學(xué)》中的心理學(xué)方案后，胡塞爾在哥廷根的兩個講座中提出了一個新方案解決數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題。該方案通過形式公理系統(tǒng)證明了想象數(shù)的有效性和實數(shù)系統(tǒng)形式上的一致性。其中，胡塞爾論述了一種“確定的簇”來說明算術(shù)系統(tǒng)的完全性，并對希爾伯特的完全性公理進(jìn)行了批判。

算術(shù)哲學(xué)；胡塞爾；簇；完全性；公理化

在現(xiàn)象學(xué)方法論探索中，胡塞爾所關(guān)切的核心主題是數(shù)學(xué)與邏輯，這種研究被胡塞爾稱為“哲學(xué)-數(shù)學(xué)的（philosophico-mathematical）研究”。二戰(zhàn)之后，胡塞爾研究已經(jīng)迅速成長為一門專學(xué)，美中不足的是，對復(fù)雜艱深的現(xiàn)象學(xué)方法論的興趣使研究者們常常遺漏了胡塞爾所瞄準(zhǔn)的科學(xué)問題。當(dāng)代學(xué)者們發(fā)現(xiàn)，胡塞爾在1901年之前的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究也具有重要價值。

1901年冬，胡塞爾受邀在哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)會做了兩個重要講座，相關(guān)文獻(xiàn)被稱為《兩個講座》（Doppelvortrag，下文用簡稱DV代替）。①《兩個講座》最早作為附件收錄在胡塞爾全集第12卷《算術(shù)哲學(xué)》中。K·舒曼和E·舒曼在盧汶檔案館重新編訂《兩個講座》時發(fā)現(xiàn)了更多的手稿，相關(guān)內(nèi)容發(fā)表于2001年《胡塞爾研究》（17，pp87-123）。2003年英譯本《算術(shù)哲學(xué)》收錄并整合了這兩部分內(nèi)容。本文將探討胡塞爾在這兩個講座中提出的簇（Mannigfaltigkeit）②胡塞爾在三種意義上使用了Mannigfaltigkeit這個詞，一是字面意義“多”，二是數(shù)學(xué)中的“流形”或“簇”，三是他的哲學(xué)規(guī)定，即由若干公理所確定的形式性對象，這些對象構(gòu)成一個集合。這個詞的英語翻譯相對簡單，但也存在困難。英語中有set、multiplicity、manifold等譯法，不過，該問題的主要研究者現(xiàn)在都譯為manifold。這個詞的恰當(dāng)漢譯較難，在《邏輯研究》中倪梁康先生的翻譯是流形、雜多，李幼蒸先生在《觀念I(lǐng)》和《形式邏輯和先驗邏輯》中譯為復(fù)多體、多樣性。鑒于兩位前輩的翻譯互不一致以及該詞在胡塞爾哲學(xué)中的重要性，這里試作探究，以就教方家。在使用字面意義時，胡塞爾語境中的Mannigfaltigkeit顯然是多而不雜的，所以取“多樣性”更合適。涉及數(shù)學(xué)意義時用流形、簇已是通譯（晏成書先生翻譯羅素《數(shù)理哲學(xué)導(dǎo)論》中的manifold用的就是簇），但流形字面上沒有表達(dá)胡塞爾的哲學(xué)意義，即特定的對象域，復(fù)多體也不適合這個含義。Mannigfaltigkeit在字面上或有“重”、“復(fù)”之意，但“復(fù)多（體）”在漢語中是不好理解的。用簇似乎更契合胡塞爾的“對象域”，也兼顧了數(shù)學(xué)意義，缺點(diǎn)是沒有直接表達(dá)“多”。所以，可以提議用簇和多樣性來翻譯胡塞爾文本中的Mannigfaltigkeit。簇論（Mannigfaltigkeitslehre）是胡塞爾從1890年代初開始到1920年代末長期思考的問題，在《危機(jī)》中也有論及。盡管在《觀念I(lǐng)》和《形式邏輯和先驗邏輯》等作品中，胡塞爾對簇論有更多論述和更清晰的表述，但他的主要思想在《兩個講座》中已經(jīng)形成，此后沒有重大改變。在1900年的《邏輯研究》第一卷中胡塞爾用“純粹的簇論”批判邏輯心理主義。通過簇論，胡塞爾論述了一種萊布尼茨意義上的普遍數(shù)學(xué)，證明了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題，相應(yīng)地也揭示了一種超越形式邏輯的純邏輯；或者說，簇論提供了一種形式本體論和世界一般（word-in-general）的形式結(jié)構(gòu)。在《形式邏輯和先驗邏輯》中，胡塞爾進(jìn)一步希望通過簇論揭示邏輯的終極意義。的完全性問題。關(guān)于胡塞爾的數(shù)學(xué)哲學(xué)研究，國外大致有兩種方法。一種是“內(nèi)在的（internal）”，即根據(jù)胡塞爾本人的思想和“語言”來閱讀胡塞爾；另一種是“分析的（analytical）”，就是用分析哲學(xué)的眼光和語言來解釋和建構(gòu)胡塞爾的本意。本文擬采用分析的方法。

1.“基礎(chǔ)概念”與胡塞爾早期的哲學(xué)立場?！盎A(chǔ)”一詞可以非常簡潔地刻劃胡塞爾終生工作的基本特征。胡塞爾哲學(xué)總是試圖不斷地追問問題背后的根據(jù)，或意義背后更一般的意義根源。這種帶有方法論性質(zhì)的反思方式無疑出自布倫塔諾，但并非與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究毫無關(guān)聯(lián)，即究竟是什么東西構(gòu)成了數(shù)學(xué)的可靠基礎(chǔ)？所以在《算術(shù)哲學(xué)》（Philosophie der Arithmetik，下文用PA代替）中胡塞爾明確指出，他的算術(shù)哲學(xué)不僅僅是“計算的形而上學(xué)（Metaphysik des Kalküls）”。在PA中，胡塞爾對“基礎(chǔ)的（Elementar或Fundamental）”與“基本的（Grund-，英譯為basic）”在使用上作了區(qū)分。這種區(qū)分在德語、英語和漢語中似乎都不是實質(zhì)性的，而在胡塞爾的PA文本中則是原則性的。區(qū)分之后，“基礎(chǔ)概念（Elementarbegriffe或Fundamentalbegriffe）”一詞就體現(xiàn)了胡塞爾與眾多基礎(chǔ)研究者，尤其是與弗雷格的根本分歧。

胡塞爾的時代是“嚴(yán)格化”之風(fēng)勁吹的時代。這種嚴(yán)格化要求，數(shù)學(xué)必須首先對基本概念作明確規(guī)定，然后從概念到其他概念、從概念到命題、從命題到另一個命題和從理論到另一個理論，都不允許存在邏輯空隙，更不允許存在矛盾。1780年代，Dedekind和Peano建立的算術(shù)理論中，有1（或0）、后繼、數(shù)這三個概念沒有被定義。弗雷格認(rèn)為這是不嚴(yán)格的，他在稍早的《算術(shù)基礎(chǔ)》中則定義了所有的概念。但胡塞爾認(rèn)為：“（人們）過于熱衷于被設(shè)定的嚴(yán)格性，試圖也定義一些，因為它們的基礎(chǔ)性質(zhì)既不可能也不需要定義的概念。”[1](p96)在胡塞爾看來，只有復(fù)合概念可以通過分析而被定義為其基本要素。

對弗雷格而言，算術(shù)命題不是先天綜合判斷，算術(shù)是純分析的。弗雷格之所以如此自信是因為他利用了萊布尼茨的“相同置換”定義。這個定義是：“能用一事物代替另一事物而不改變真，這樣的事物是相同的。”[2](p76)在《算術(shù)基礎(chǔ)》中，為了定義數(shù)，弗雷格認(rèn)為萊布尼茨的“相同（identity）”可以改換成“相等（equality）”；然后弗雷格舉了一個比較直觀的例子，即如何可以用直線a的平行線b的方向去定義直線a的方向。根據(jù)“相等置換”弗雷格有：

a∥b?（a的方向=b的方向）?a的方向是“與a平行”這個概念的外延。

類似就有：適合概念F的數(shù)是“與概念F等數(shù)的”這個概念的外延。[2](pp76-80)

此外，弗雷格還通過等價概念給出了等數(shù)概念的定義。經(jīng)過一番論證，弗雷格的結(jié)論表明，基數(shù)是所有等價類的類。

在PA中，胡塞爾認(rèn)為弗雷格用“相等”代替萊布尼茨的“相同”是不合適的，相等置換不能保真。同時，“相同置換”是沒有根據(jù)的。如果追問“在某些或所有真判斷中一個內(nèi)容置換另一個內(nèi)容的基礎(chǔ)是什么”，唯一適當(dāng)?shù)幕卮鹗撬鼈兊膬?nèi)容相同。“每個相同的性質(zhì)可以確立真值相同的判斷，但真值相同的判斷并不確立相同的性質(zhì)”。[1](p97)弗雷格之后的語言哲學(xué)研究表明，“相同置換”并不是普遍的，這與胡塞爾的批評不謀而合。

其實，胡塞爾與弗雷格并非完全沒有共同語言，他們都反對數(shù)是事物的物理屬性，都認(rèn)為數(shù)的客觀性在于它是觀念性的東西。對弗雷格而言，數(shù)是觀念世界中的“對象”，數(shù)學(xué)的真與心理體驗無關(guān)。胡塞爾不贊同把數(shù)理解為純邏輯概念，認(rèn)為這完全背離了數(shù)的直覺意義，即事物的數(shù)（Anzahl，基數(shù)）是一個“多少（How many）”的概念。胡塞爾接受了布倫塔諾關(guān)于物理現(xiàn)象與心理現(xiàn)象的嚴(yán)格區(qū)分，如果數(shù)不是可被表象的物理現(xiàn)象，那么就只能在心理學(xué)中分析其客觀性的根據(jù)。

胡塞爾認(rèn)為算術(shù)的基礎(chǔ)概念是不能被規(guī)定的，這其實是宣告純數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)證明是行不通的。胡塞爾的道路是，在描述心理學(xué)中反思基礎(chǔ)概念的性質(zhì)和符號方法的一般邏輯意義，在此基礎(chǔ)上為數(shù)學(xué)奠基。

2.《算術(shù)哲學(xué)》中的難題。不過，就“以算術(shù)為數(shù)學(xué)奠基”而言，1890年前的胡塞爾與其他基礎(chǔ)研究者是完全一致的。具體而言，當(dāng)時學(xué)者要做的工作是建立嚴(yán)格的算術(shù)理論來論述一個一致的實數(shù)系統(tǒng)。這種研究都具有“還原論”性質(zhì)，胡塞爾的不同僅在于他是在心理學(xué)中進(jìn)行這種還原。但是在PA中，胡塞爾遇到了一個無法克服的問題。1890年，胡塞爾在給施通普夫的信中說：“在考慮教職論文中仍然指導(dǎo)我的觀點(diǎn)——基數(shù)概念構(gòu)成一般算術(shù)的基礎(chǔ)——很快被證明是錯的（對基數(shù)的分析已經(jīng)使我清楚了這一點(diǎn)）。無論用什么巧妙的方法，無論什么非本真的表象，都不能從基數(shù)概念中得出負(fù)數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)和各種復(fù)數(shù)。對序數(shù)概念、量的概念等同樣如此?！保℉ua XXI，p245）

“不能從基數(shù)概念中得出負(fù)數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)和各種復(fù)數(shù)”，其實就是不能把實數(shù)還原為基數(shù)。我們知道，在PA中，基數(shù)是一種出自集合聯(lián)合（Kollektive Verbingdung）的形式概念或范疇。基數(shù)既非物理事實（它在經(jīng)驗領(lǐng)域無對應(yīng)物），也非心理事實（從而是主觀表象），而是一種綜合行為把任何可能的、若干個對象單元統(tǒng)一而成的純形式的“多”。胡塞爾認(rèn)為他在PA中對基數(shù)概念的處理是成功的，但按照這種心理學(xué)的概念分析，他無法構(gòu)造出如-1、%、√2等這樣的數(shù)。這些數(shù)在意識中沒有預(yù)先被給予的對象，是反直觀的，所以沒有真實（reale）意義。在DV中，胡塞爾把基數(shù)之外的分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、無理數(shù)等統(tǒng)稱為想象數(shù)（das?imagin?re）。

在數(shù)學(xué)史上，人們始終無法理解想象數(shù)是什么。想象數(shù)問題是當(dāng)時基礎(chǔ)研究者的共同難題，它包括想象數(shù)的本體論性質(zhì)和它們在算術(shù)計算中的合法性兩個方面。這個問題對邏輯主義而言，利用邏輯-數(shù)學(xué)的定義相對不難，但其背后的哲學(xué)根據(jù)卻大有問題。例如，胡塞爾在DV中批判了戴德金的還原論。戴德金認(rèn)為，數(shù)的建構(gòu)是一個自由創(chuàng)造的過程，前提是在自然數(shù)的穩(wěn)步擴(kuò)充中，新數(shù)通過創(chuàng)新的定義引入，新數(shù)的計算法則盡可能服從舊的法則并在整個數(shù)域中不引起矛盾。胡塞爾認(rèn)為，自然數(shù)域是封閉的，它的對象是由其概念而被嚴(yán)格給定的，不能通過定義而任意擴(kuò)充。胡塞爾認(rèn)識到，如基數(shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)等，它們的意義相互矛盾，是不可“通約”的，把實數(shù)還原到自然數(shù)是不可能的。

我們知道，自然數(shù)有一種奇特的“繁殖能力”。在自然數(shù)域內(nèi)，自然數(shù)的加法、乘法等運(yùn)算可以無限進(jìn)行并有確定的結(jié)果，但相應(yīng)的逆運(yùn)算卻是有限的。如a-b=c，如果a＜b，則c在自然數(shù)域之外。如果要使各種逆運(yùn)算是完全的，就必須造出新數(shù)，所以想象數(shù)都出自算術(shù)的逆運(yùn)算。然而，想象數(shù)雖然出自自然數(shù)，但卻不能通過自然數(shù)而獲得清晰的說明，比如歸約為自然數(shù)。自然數(shù)的這種神秘性質(zhì)使數(shù)學(xué)家們深感震驚和困惑。

盡管否定了各種基礎(chǔ)主義方案，但胡塞爾沒有放棄基礎(chǔ)主義的信念。胡塞爾還是相信想象數(shù)與自然數(shù)有某種實質(zhì)性關(guān)聯(lián)。如果這種關(guān)聯(lián)不是意義上的，從而可以否定戴德金的創(chuàng)新定義方案和自己的現(xiàn)象學(xué)方案，那么另一可能的關(guān)聯(lián)就是算術(shù)運(yùn)算本身。，是開方運(yùn)算把x和-a關(guān)聯(lián)起來。胡塞爾意識到，運(yùn)算形式作為形式之物是普遍的，算術(shù)是一種特殊的邏輯學(xué)。這樣胡塞爾就找到了一個新的探索方向，但探索的過程是異常艱辛的。直到1901年受希爾伯特公理化方法的影響，胡塞爾才提出了一個新方案：在形式公理系統(tǒng)中論證想象數(shù)的合法性，從而保證它們既不屬于自然數(shù)但又可以是自然數(shù)的各種逆運(yùn)算的確定結(jié)果。這樣，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題就在于論證，在什么條件下，運(yùn)用想象數(shù)的運(yùn)算是有效的。這就是DV中討論的核心問題。

3.簇論。算術(shù)運(yùn)算的邏輯性質(zhì)使得胡塞爾求助于形式演繹系統(tǒng)，這被認(rèn)為是靠近了弗雷格的邏輯主義：數(shù)學(xué)的可靠性在于邏輯。但二者的共識幾乎僅此而已。胡塞爾始終不認(rèn)同弗雷格對基數(shù)（從而可能的對想象數(shù)）的邏輯定義，認(rèn)為想象數(shù)是不存在的、無意義（指稱）的。他說：“讓我們考慮整數(shù)，正數(shù)和負(fù)數(shù)的公理系統(tǒng)。當(dāng)然有一個意義。因為平方是被定義的，–a和=也是。但在整數(shù)中不存所以我不能提出這個問題：一個確定的量x滿足x2=a。這是哪個量？”[3](p438-439)

弗雷格對這種觀點(diǎn)作了激烈的批判，在他看來，對象對科學(xué)而言是本質(zhì)性的東西，人們無法想象某種科學(xué)在研究不存在之物，如數(shù)學(xué)研究的是沒有指稱的。[4](p123)顯然，弗雷格只是斷定了的存在，他并不能回答究竟是什么，因為他的邏輯主義是失敗的。胡塞爾認(rèn)為，想象數(shù)問題出自算術(shù)的形式化，是數(shù)學(xué)從數(shù)量科學(xué)到抽象形式理論轉(zhuǎn)換的產(chǎn)物，人們不理解想象數(shù)是因為人們對算術(shù)運(yùn)算作為形式演算這種方式缺乏理解。

通過形式演繹系統(tǒng)反思想象數(shù)，這使胡塞爾發(fā)現(xiàn)了萊布尼茨所設(shè)想的普遍數(shù)學(xué)的重要價值。胡塞爾認(rèn)為普遍數(shù)學(xué)是最高層次的數(shù)學(xué)，一種理論學(xué)（Theorienlehre），獨(dú)立于所有具體的知識領(lǐng)域。

實現(xiàn)這種科學(xué)的方法是一般化，就是“用形式的表述代替對象的有確定內(nèi)容的表述”。例如，人們在代數(shù)中用a、b等字母代替自然數(shù)就是這種方法。不僅算術(shù)、幾何，而且其他各種知識領(lǐng)域都可以這樣處理。這樣，一個具體理論的知識內(nèi)容全部被抽取，只剩下與原命題相對應(yīng)的形式命題。每個具體命題都對應(yīng)一個形式命題，每個形式命題也有相應(yīng)的具體命題，一個具體理論相應(yīng)地就轉(zhuǎn)化為形式的命題系統(tǒng)。其中，一些數(shù)量有限、相互獨(dú)立且不矛盾的命題是基本命題（即公理），其他的命題則是公理的邏輯后承。在這種形式理論中，它的對象域由公理通過演繹而限定在特定范圍內(nèi)，也就是說不是任意的?！拔覀兎Q這樣被規(guī)定的對象域為一個確定的、僅在形式上被規(guī)定的簇?！贝刂械膶ο笫歉鞣N形式性的對象、關(guān)系等觀念物，如命題形式、命題關(guān)系等。所以，一個形式理論可以把握一類來自不同經(jīng)驗領(lǐng)域的科學(xué)理論，因為它們有相同的形式理論，而被形式化的理論就是這類理論的一個特例。相應(yīng)地，胡塞爾可以明確規(guī)定“純粹邏輯”概念，它與亞里士多德的命題邏輯的區(qū)別在于，純粹邏輯不再處理經(jīng)驗的實體。

如果對某種形式理論再進(jìn)行抽象，就構(gòu)成普遍數(shù)學(xué)。這是一門關(guān)于演繹理論的科學(xué)，也就是關(guān)于各種簇的理論（Mannigfaltigkeitslehre）。在這個階段，可以把各種形式理論進(jìn)行系統(tǒng)的分類，并把一個形式理論與一類不同形式的理論系統(tǒng)地關(guān)聯(lián)起來，從中可以引出一些重要結(jié)論。例如，公理化的歐式幾何是一個三維歐式簇，是一類系統(tǒng)相關(guān)的不同曲率簇的一個特例。這里胡塞爾要探討的是不同理論的結(jié)構(gòu)關(guān)系，也就是理論的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。通過這種結(jié)構(gòu)，可以構(gòu)造出其他可能的演繹系統(tǒng)。比如，胡塞爾認(rèn)為，在純形式領(lǐng)域可以用不同方式改變形式系統(tǒng)。如取代3維歐式幾何簇，可以選擇4維甚至n維，建立n維的所有幾何簇，它們?nèi)匀豢煞Q為是歐式幾何，因為除了維度外，公理形式?jīng)]有任何本質(zhì)上的改變。這樣人們就找到了可以建構(gòu)無限多個可能學(xué)科的形式的方法。[5](p170)由此Centrone認(rèn)為，胡塞爾先于希爾伯特認(rèn)識到：人們應(yīng)當(dāng)把證明本身視為一種數(shù)學(xué)建構(gòu)和一個數(shù)學(xué)研究的對象。[6](p157)

所以，與當(dāng)時弗雷格和希爾伯特的演繹系統(tǒng)不同，胡塞爾的簇論還研究為演繹系統(tǒng)奠基的形式結(jié)構(gòu)。具體而言，就是研究不同簇中的概念、命題和論證形式之間的對應(yīng)關(guān)系。雙方更進(jìn)一步的差別是，簇論不僅僅是數(shù)學(xué)方法論性質(zhì)的，而且具有本體論性質(zhì)。在《邏輯研究》第一卷《純粹邏輯學(xué)導(dǎo)引》中，胡塞爾就是根據(jù)這種研究觀念性對象和觀念性事態(tài)的簇論，提出了“形式本體論”的概念，即簇的形式結(jié)構(gòu)是各種科學(xué)的先天結(jié)構(gòu)。在此意義上，各種知識領(lǐng)域之所以統(tǒng)稱為科學(xué)，就在于它們擁有同樣的結(jié)構(gòu)形式。

與此相應(yīng)，胡塞爾論述了一種普遍算術(shù)（arithmetica universalis）理論。以自然數(shù)為例，基本概念如“自然數(shù)”等由公理規(guī)定，而個別的自然數(shù)由“自然數(shù)”概念嚴(yán)格界定。如果把自然數(shù)系統(tǒng)公理化，那么在該系統(tǒng)中，不僅有其特有的公理、運(yùn)算形式和運(yùn)算法則，而且也有與整數(shù)、無理數(shù)等所共同的公理、運(yùn)算法則和共同的算法（algorithm），這些共同的部分構(gòu)成普遍算術(shù)。Hartimo認(rèn)為，胡塞爾沒有清晰說明各種不同算術(shù)具體的結(jié)構(gòu)關(guān)系，[7](p296)在此意義上，胡塞爾的普遍算術(shù)理論是不成熟的。所以可以發(fā)現(xiàn)，在談?wù)撈毡閿?shù)學(xué)時，胡塞爾總是舉幾何學(xué)的例子。

通過簇論，胡塞爾就為證明數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題搭好了腳手架。從普遍算術(shù)的觀點(diǎn)看，即便各種不同的數(shù)在意義上不可“通約”，但它們有共同的演繹形式。也就是說，從自然數(shù)到實數(shù)等，它們有統(tǒng)一的形式結(jié)構(gòu)和法則，從而保證全部算術(shù)是相容的。只要想象數(shù)可被定義并在形式系統(tǒng)中保持一致，它們就不僅在數(shù)學(xué)中是有用的，而且可以作為純形式之物而獲得某種存在性。這與胡塞爾在PA中認(rèn)為基數(shù)是純形式的，具有一致性。

4.新方案。在《形式邏輯和先驗邏輯》中，胡塞爾對自己的新方案作了清晰的總結(jié)：“我最初用確定的簇這個概念是為了一個不同的目的，即為了澄清使用想象數(shù)的概念運(yùn)算過程的邏輯意義……我的問題是：在什么條件下，在形式上被規(guī)定的演繹系統(tǒng)（一個形式上被規(guī)定的簇）中，可以使用由系統(tǒng)所定義的想象數(shù)概念進(jìn)行自由的運(yùn)算？在什么時候，這種關(guān)于運(yùn)算的演繹所產(chǎn)生的沒有想象數(shù)的命題實際上是正確的，也就是說，是規(guī)定它的公理形式的正確后承？擴(kuò)充一個簇（一個被完好規(guī)定的演繹系統(tǒng)）到一個新的簇，把舊的簇包含其內(nèi)作為一個部分，這在多大程度上是可能的？答案是：如果系統(tǒng)是確定的，那么運(yùn)用想象數(shù)概念進(jìn)行運(yùn)算就永遠(yuǎn)不導(dǎo)致矛盾?！保℉ua XVII，§31.p85）

新方案的要害是“確定的（definit）①胡塞爾在DV、《觀念I(lǐng)》、《形式邏輯和先驗邏輯》等著作中都是用“確定的definit”、“確定性Definitheit”，而不是希爾伯特用的“完全的vollstandig”、“完全性Vollstandigkeit”。簇”，即一個完全的公理系統(tǒng)。胡塞爾對它的規(guī)定是：“如果基于一個公理系統(tǒng)的每個可理解的命題，根據(jù)公理可被理解為或真或假，那么界定一個域的這個公理系統(tǒng)可稱為是確定的?；蛘哒f，如果只有兩種情況是可能的，或者命題出自公理，或者與它們矛盾?！边@就表明，根據(jù)公理和矛盾律，在簇中沒有任何不確定的東西，而且任何句子的真與假都由公理決定。按現(xiàn)代邏輯的說法就是，在公理系統(tǒng)A中，出自A的任何一個命題，或者是A的一個后承，或者與A矛盾，即它的否定在A的后承中。我們知道，這是演繹完全性的標(biāo)準(zhǔn)含義。簡單地說，胡塞爾的新方案是：如果擴(kuò)充公理系統(tǒng)A0得到新公理系統(tǒng)A1，A1是一致的且A0是確定的，那么A1的任何一個完全用A0的語言表達(dá)的后承，即沒有想象數(shù)的命題，是真的。

我們知道，在算術(shù)中從任何一個初始系統(tǒng)A0到A1的擴(kuò)充都是增加了某種想象數(shù)，如從自然數(shù)到整數(shù)增加了0和負(fù)整數(shù)，從自然數(shù)到有理數(shù)則還增加了分?jǐn)?shù)，等等。這種擴(kuò)充對公理集A0而言就是增加了數(shù)量有限的若干公理A+，從而保證算術(shù)中某種逆運(yùn)算可以完全進(jìn)行。胡塞爾認(rèn)為：“A1=A0+A+且A0?A1，而兩個系統(tǒng)的邏輯后承F有：FA1=FA+A+且FA0?FA1”[1](p439-440)

增加了公理就意味著在推理過程中增加新的前提，這必然影響邏輯結(jié)論。胡塞爾的要求是，A1的任一后承p，如果完全是用A0的語言表達(dá)，則p也要能從A0推導(dǎo)出來。這是可以成立的。因為A1是一致的且p在A1中成立，即p必定不與A1的任何后承矛盾，又因為FA0?FA1且A0是完全的，所以p在A0中必然成立。

總之，胡塞爾的結(jié)論是：一條運(yùn)用想象數(shù)的道路是可允許的，（1）如果想象數(shù)能夠在一個一致的、被擴(kuò)充的演繹系統(tǒng)中被定義；（2）如果初始域被形式化后有這個性質(zhì)，其下的每個命題的性質(zhì)根據(jù)該域的公理或真或假。[3](p428)這樣，胡塞爾就證明了想象數(shù)在形式上的合法性，也就是整個實數(shù)系統(tǒng)的一致性和可靠性。

上述證明要面對的一個問題是，憑什么可以斷定一個初始演繹系統(tǒng)A0是確定的？這也是希爾伯特當(dāng)時提出的問題。如果A0不是確定的，上述論證就完全失敗了。對此問題，胡塞爾非常自信地反問道，“每個僅包含正整數(shù)的命題根據(jù)正整數(shù)的公理或真或假，難道我沒有證明自己可以這么說嗎？”（Hua XII,p445）胡塞爾的看法是，如果只考慮加法運(yùn)算和相等、不等兩種關(guān)系，自然數(shù)公理系統(tǒng)的完全性是可能的。因為，對于a+b，必有?a?b?c（a+b=c）為真，在不等于c時恒假。不僅如此，胡塞爾還認(rèn)為算術(shù)的完全性是自明的，因為自然數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)等等，如果被公理系統(tǒng)所規(guī)定，都可以根據(jù)公理證明，每個出自公理所確立的概念所構(gòu)成的命題或真或假。

值得注意的是，胡塞爾的結(jié)論與哥德爾基于Peano公理所證明的不完全性定理是互為抵觸的，所以國外的一些學(xué)者試圖對這個矛盾進(jìn)行反思。據(jù)王浩先生介紹，哥德爾晚年對胡塞爾的公理化思想很感興趣，但遺憾的是沒有見到哥德爾的相關(guān)論述。[5](p161)

5.兩種完全性。關(guān)于演繹系統(tǒng)的完全性，胡塞爾沒有照搬希爾伯特并與希爾伯特有重要區(qū)別。希爾伯特認(rèn)為，如果任意給定的一些公理及其全部后承是一致的，那么它們是真的，并且公理所定義的東西存在。但弗雷格認(rèn)為，是數(shù)學(xué)理論的真決定它的一致性，而不是相反。顯然，很多邏輯上一致的命題實際上是錯的。[1](p445-451)胡塞爾傾向于弗雷格的立場，即數(shù)學(xué)真理的真是不容質(zhì)疑的，數(shù)學(xué)中真的東西不可能相互矛盾，真決定一致性。對簇而言，公理是真的，所以與希爾伯特不同，不需要證明公理系統(tǒng)的一致性。只要公理系統(tǒng)是完全的，出自公理的后承就是真的。在《觀念I(lǐng)》中胡塞爾仍然強(qiáng)調(diào)：“這個（確定的）簇的特征是，在給定的例子中，導(dǎo)自有關(guān)領(lǐng)域之本質(zhì)的有限的概念和命題，以純分析的必然性的方式完全地和無歧義地規(guī)定了該領(lǐng)域中所有可能構(gòu)造物的全體，這樣，出于本質(zhì)的必然性，該領(lǐng)域中沒有任何東西是不確定的……就一個數(shù)學(xué)的確定的簇而言，‘真的’與‘公理的形式邏輯后承’是等價的，‘假的’與‘公理的形式邏輯的反后承’等價?！保℉ua III,§72.pp135-136）

這樣，胡塞爾的形式演繹是從真到真的保真過程，從初始系統(tǒng)A0到新系統(tǒng)A1的擴(kuò)充也是保真的。相反，希爾伯特的立場則頗顯奇怪，從一致性中怎么冒出了“真”？

為建立實數(shù)的公理系統(tǒng)，希爾伯特在1899年的講座“論數(shù)的概念”中第一次提出“完全性公理”。希爾伯特認(rèn)為，“增加任何東西的集合到實數(shù)系統(tǒng)，使得在合并的集合中先前的公理被滿足，這是不可能的；簡單地說，也就是實數(shù)的對象系統(tǒng)不能以先前的公理保持有效的方式被擴(kuò)充?！盵8](p183)針對這種看法，胡塞爾區(qū)分了“相對確定性”和“絕對確定性”?！耙粋€公理系統(tǒng)是相對確定的，如果它的存在域不接受更多的公理，但在擴(kuò)充的域中，同樣的公理和新公理有效?！盵4](p426)

胡塞爾認(rèn)為，每個確定的數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)在其域內(nèi)是不能擴(kuò)充的，但在其域外可以有一致的擴(kuò)充。例如，在自然數(shù)域內(nèi)自然數(shù)不可擴(kuò)充，但如果把自然數(shù)定義為整數(shù)，則在自然數(shù)外可以有一致的擴(kuò)充；相應(yīng)地，它的公理系統(tǒng)也是如此。所以，實數(shù)系統(tǒng)可以有一致的擴(kuò)充并保持其原有公理的有效性。在此意義上，“絕對確定性明顯地意味著相對確定性”。相應(yīng)地，“完全性永遠(yuǎn)不是一個公理”，而是“一個確定的公理系統(tǒng)或簇的定理”。因為任何公理系統(tǒng)由于其純分析性質(zhì)，本質(zhì)上都是絕對確定的（完全的），所以，可以用“一個類似于完全性公理的封閉公理”，使研究對象固定在某個特定對象域?！叭绻總€根據(jù)公理系統(tǒng)而有意義的命題局限于公理系統(tǒng)的域中被規(guī)定，這個公理系統(tǒng)是相對確定的。如果每個根據(jù)公理系統(tǒng)而有意義的命題是普遍被規(guī)定的，這個公理系統(tǒng)是絕對確定的。所以，絕對確定的=完全的，在希爾伯特的意義上。”[1](p440)胡塞爾認(rèn)為，希爾伯特的這種完全性是本質(zhì)的完全性，一種“不真實的（unechte）完全性”。在胡塞爾看來，本質(zhì)的完全性，它的意義是隱而不彰的，所以他對此論述不多。顯然，對胡塞爾而言，數(shù)學(xué)是一個可以前后一致地發(fā)展的開放系統(tǒng)，希爾伯特的完全性概念是很難理解的。

在胡塞爾的時代，各種元邏輯的概念還沒有形成，所以胡塞爾所規(guī)定的概念與現(xiàn)代邏輯既相通又不同。一個簇在系統(tǒng)內(nèi)的確定性與系統(tǒng)外的可擴(kuò)充性，使確定性與完全性這兩個概念的關(guān)系相當(dāng)復(fù)雜。大致說來，胡塞爾的確定性概念主要是指現(xiàn)代邏輯的句法完全性，而希爾伯特的完全性，現(xiàn)代邏輯認(rèn)為是指范疇性（categoricity）。①“范疇性”是現(xiàn)代英美邏輯的一個常用概念，該概念由美國學(xué)者Veblen于1903年首先使用。Veblen認(rèn)為，在一個公理系統(tǒng)中，如果任何可能命題的有效性完全由若干公理決定，并且增加任何公理都被認(rèn)為是多余的，這種系統(tǒng)就是“范疇的（categorical）”。具體而言，范疇性概念刻畫了公理系統(tǒng)內(nèi)所有模型（models）的同構(gòu)性質(zhì)。所以，胡塞爾的確定性與希爾伯特的完全性是不同的。有趣的是，胡塞爾認(rèn)為自己所說的確定性就是希爾伯特的完全性，希爾伯特也是如此。兩人都沒有發(fā)現(xiàn)這兩個概念的差別。對此，Majer感嘆道，在數(shù)學(xué)邏輯的初創(chuàng)期，即使是希爾伯特這樣的數(shù)學(xué)天才，要清晰把握這些元邏輯的概念是何其艱難！[9](p52)

最后，我們簡單談?wù)労麪栐跀?shù)學(xué)哲學(xué)方面所取得的成就，以引起國內(nèi)學(xué)界的關(guān)注和重視。在19世紀(jì)末，胡塞爾不僅獨(dú)創(chuàng)了一種數(shù)學(xué)哲學(xué)，而且還通過論文、講座和與當(dāng)時一流學(xué)者的通信為現(xiàn)代邏輯的發(fā)展提供了思想資源，并對今天的數(shù)學(xué)哲學(xué)研究仍然具有重要的啟示意義。遺憾的是，胡塞爾的數(shù)學(xué)哲學(xué)在西方學(xué)界曾長期被遺忘，直到上個世紀(jì)90年代，主要在英美學(xué)界興起了對胡塞爾數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究，目前已經(jīng)初具規(guī)模。不少學(xué)者給予胡塞爾很高的評價，如Majer認(rèn)為，胡塞爾現(xiàn)象學(xué)方法的算術(shù)基礎(chǔ)研究可以成為基礎(chǔ)研究三大流派外的一種流派。Centrone等人認(rèn)為，胡塞爾的數(shù)學(xué)哲學(xué)“在深度和原創(chuàng)性上與同時代的康托爾、戴德金、弗雷格、羅素和希爾伯特處于同一水平”。

[1]Husserl,E.Philosophie der Arithmetik,Lothar Eley(Ed.) [M].The Hague:Martinus Nijhoff,1973.

[2]Frege,G.Die Grundlagen der Arithmetik.Eine logischmathematische Unter-suchung über den Begriff der Zahl. K?bner,Breslau,1884.

[3]Husserl,E.(2003)Philosophy of arithmetic,psychological and logical investigations with supplementary texts from 1887–1901.Willard.D(ed).Kluwer,Dordrecht,2003.

[4]Frege,G.Posthumous Writings.ed.H.Hermes,F.Kambartel and F.Kaulbach,trans.P.Long and R.White.Oxford: Basil Blackwell,1979.

[5]Hill,C.and Haddock,G.Husserl or Frege?Meaning，Objectivity,andMathematics.ChicagoandLaSalla：Open Court,2000.

[6]Centrone,S.Logic and Philosophy of Mathematics in the Early Husserl.Dordrecht:Springer,2010.

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[8]Hilbert,D.überdenZahlbegriff.Jahresberichtder Deutschen Mathematiker-Vereinigung8,1900.

[9]Majer,U.Husserl and Hilbert on Completeness:A Neglected Chapter in Early Twentieth Century Foundations of Mathematics,Synthese,Vol.110,1997.

責(zé)任編輯高思新

B516.52；B815

A

1003-8477（2013）12-0114-05

李義民（1970—），男，江西九江學(xué)院思政部講師，上海華東師范大學(xué)哲學(xué)系2011級博士生。