Stewart單三角平臺的機(jī)構(gòu)參數(shù)標(biāo)定

柴保明，王遠(yuǎn)東，琚斌峰，郭新宇，華龍

(河北工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河北邯鄲056038)

精度是評價機(jī)器人性能的一項(xiàng)重要指標(biāo)，也是目前機(jī)器人研究領(lǐng)域尚未妥善解決的問題之一。提高并聯(lián)機(jī)器人的精度具體有兩種實(shí)現(xiàn)手段:一是直接提高機(jī)械零件的加工精度、安裝精度和表面質(zhì)量;二是采用參數(shù)標(biāo)定來識別并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)模型中的關(guān)鍵參數(shù)。第一種方法成本巨大且缺乏可操作性;而第二種方法只需要對部分構(gòu)件按照普通精度要求進(jìn)行機(jī)加工，在安裝結(jié)束后通過運(yùn)動學(xué)模型進(jìn)行更精準(zhǔn)的描述，與第一種方法方法相比，參數(shù)標(biāo)定以其低成本和高效性的特點(diǎn)成為工程界所普遍采用的方法，并成為研究熱點(diǎn)。

在國內(nèi)外，SOONS［1］提出了一種基于最小二乘法的標(biāo)定算法。MASORY等［2］提出并研究了Stewart并聯(lián)機(jī)器人的簡化模型，研究其運(yùn)動學(xué)精度問題，最后給出了標(biāo)定的些許基礎(chǔ)結(jié)論。KHALIL等［3］在WAMPLER等研究的基礎(chǔ)上，提出了僅約束機(jī)構(gòu)支鏈而不往支鏈上安裝附加傳感器的一種標(biāo)定方法。高猛［4］研究了分步標(biāo)定法和誤差建模法。

由于以上列舉的方法存在一些不適合于Stewart單三角平臺并聯(lián)機(jī)構(gòu)精度標(biāo)定的缺點(diǎn)，如:標(biāo)定成本高，求解過程復(fù)雜等，故作者在研究多個有關(guān)機(jī)器人文獻(xiàn)資料的基礎(chǔ)上提出了一種新的方法——基于廣義力平衡原理的精度標(biāo)定。

1 誤差分析與其對Jacobian矩陣的影響

文獻(xiàn)［5］提出了Stewart單三角并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其簡化誤差模型如圖1所示。裝配工藝的改善、現(xiàn)代機(jī)加工方法的改進(jìn)，傳感器在現(xiàn)代工業(yè)中的大量應(yīng)用，都使得簡化模型成為影響著整個并聯(lián)機(jī)器人位姿誤差的主要因素，運(yùn)動學(xué)模型的每一參數(shù)都會影響機(jī)構(gòu)終端的位姿。在模型中常常忽略支鏈移動副和支鏈兩端鉸鏈帶來的制造誤差，故誤差即它們的安裝誤差 (見圖2)之和，這些誤差共33個誤差量。

由于Stewart單三角平臺的Jacobian矩陣與操作空間運(yùn)動存在著某種線性映射關(guān)系，Jacobian矩陣與機(jī)構(gòu)的6個支鏈以及末端執(zhí)行器 (動平臺)的運(yùn)動速度無關(guān)，而僅取決于該機(jī)構(gòu)的6個支鏈以及末端執(zhí)行器 (動平臺)位形，所以從整個機(jī)構(gòu)來分析，Jacobian矩陣誤差囊括了所有的機(jī)構(gòu)誤差信息。

圖1 Stewart單三角機(jī)構(gòu)

圖2 Stewart單三角機(jī)構(gòu)支鏈的7項(xiàng)誤差

2 機(jī)構(gòu)標(biāo)定原理

基于文獻(xiàn)中影響系數(shù)與Jacobian矩陣的對偶關(guān)系［5］，故存在

式中:li是該機(jī)構(gòu)中第i支支鏈的桿長，i=1，2，3，4，5，6;bi為機(jī)構(gòu)上平臺鉸鏈點(diǎn)的空間坐標(biāo);ai為機(jī)構(gòu)下平臺鉸鏈點(diǎn)的空間坐標(biāo)。

由公式(2)可知，GFf的參數(shù)中含有各鉸鏈點(diǎn)的坐標(biāo)。假設(shè):

(1)以上平臺球鉸所在的平面為基準(zhǔn)坐標(biāo)面，則空間坐標(biāo)aix等于0，坐標(biāo)差Δaix也等于0;

(2)通過測量直接標(biāo)定出在機(jī)構(gòu)中實(shí)際的鉸鏈間距離Δli。

誤差模型簡化后剩余了30個機(jī)構(gòu)運(yùn)動參數(shù)，它們可以通過實(shí)驗(yàn)標(biāo)定出的一階靜力影響系數(shù)GFf來求解:

聯(lián)立式(2)和式(3)可求得30個無關(guān)方程組的解析式如下:

計(jì)算以上各個參數(shù) aix、aiy、bix、biy、biz，即為剩余參數(shù)的標(biāo)定值。很顯然:標(biāo)定的關(guān)鍵在于標(biāo)定一階靜力影響系數(shù)矩陣。

根據(jù)文獻(xiàn)［4］中的螺旋理論，對于Stewart單三角平臺機(jī)構(gòu)，在其位姿固定時，欲求解其機(jī)構(gòu)的螺旋方程必須考慮上平臺的平衡。因?yàn)橹ф?個移動副的螺旋之和與機(jī)構(gòu)末端輸出的廣義6維力相平衡，故可以得到其相應(yīng)的螺旋方程:

式中:fi為第i支桿受到的軸向力;

Si為第i支桿軸線的單位線矢;

R為機(jī)構(gòu)末端輸出力的主矢量;

M則為機(jī)構(gòu)動平臺對固定坐標(biāo)原點(diǎn)的主矩陣。存在矩陣平衡方程:

4 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)及其結(jié)果分析

標(biāo)定實(shí)驗(yàn)設(shè)備如圖3所示，該實(shí)驗(yàn)設(shè)備是由廣義力加載測量儀器以及6-DOF電液伺服平臺組成。

實(shí)驗(yàn)中，初始選取廣義力加載精度為0.08級，支鏈單缸上安裝的力傳感器精度置為0.1級，把光柵尺的測量精度置為0.05 mm。整個實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)通過編程語言的開發(fā)環(huán)境LabVIEW的測量模塊作采樣和記錄，并調(diào)用數(shù)學(xué)軟件Matlab內(nèi)多元函數(shù)模塊中的最小二乘法擬合子程序來對動平臺進(jìn)行現(xiàn)場標(biāo)定。

圖3 標(biāo)定加載實(shí)驗(yàn)設(shè)備

4.1 廣義力加載的選取

由于實(shí)驗(yàn)設(shè)備傳感器的某些通道在實(shí)驗(yàn)結(jié)果輸出測量值時會存在隨機(jī)誤差，考慮到誤差的干涉，該實(shí)驗(yàn)設(shè)定的標(biāo)定加載矢量數(shù)目大于6。而對于不存在必然關(guān)系的標(biāo)定加載矢量，它們的選取會影響靜力影響系數(shù)的值。故應(yīng)取平臺的外加載力向量矩陣為次正交矩陣，從而為機(jī)構(gòu)獲得更高更準(zhǔn)的標(biāo)定精度。

因?yàn)闄C(jī)構(gòu)中各個鉸鏈之間存在必然的靜摩擦，摩擦就會干涉到鉸鏈上單杠的受力，所以為了減小測量誤差，應(yīng)使鉸鏈副光滑且應(yīng)施加一定的預(yù)載荷，從而抵消最大靜摩擦力的影響;另外，可以利用在實(shí)驗(yàn)過程中測出的兩組單缸力來抵消靜摩擦力。

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

預(yù)置平臺的初始參數(shù):機(jī)構(gòu)上平臺鉸鏈點(diǎn)的可達(dá)半徑 R1=0.45 m，每兩個相鄰鉸鏈的夾角 θ1= 28.5°;機(jī)構(gòu)下平臺鉸鏈點(diǎn)的可達(dá)半徑R0=0.6 m，每兩個相鄰鉸鏈的夾角θ0=28.5°;兩平臺垂直方向上相距H=1.6 m。最終得到標(biāo)定結(jié)果如下:

將以上數(shù)據(jù)代入式 (4)即可得到表1。

表1 平臺理論參數(shù)與標(biāo)定值的誤差分析

續(xù)表1

5 結(jié)論

(1)標(biāo)定模型能夠反映Stewart單三角并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)精度的誤差源，從而可以消除某些測量誤差。

(2)通過實(shí)驗(yàn)標(biāo)定出平臺參數(shù)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了該標(biāo)定方法可以有效地提高平臺的定位精度。

(3)由于基座球鉸存在同面性，故實(shí)驗(yàn)應(yīng)盡量保證基座球鉸的安裝性良好，從而可以增強(qiáng)該方法的適用性。

(4)實(shí)驗(yàn)表明基于廣義平衡原理Stewart單三角平臺機(jī)構(gòu)的標(biāo)定方法完全適合于并聯(lián)機(jī)構(gòu)參數(shù)的標(biāo)定。這結(jié)論對同類并聯(lián)機(jī)構(gòu)的相關(guān)研究和工程實(shí)踐具有重要意義。

【1】SOONS J A.On the Geometric and Thermal Error of a Hexapod Machine Tool［C］//Proc.of CIRP，1999:151-169.

【2】MASORY O，WANG J，ZHUANG H.On the Accuracyof a Stewart Platform.Part II.Kinematic Calibration andcompensation［C］//Proceedings of the 1993 IEEE International Conference on Robotics and Automation，Applied Automatic Control Principles and ApplicationsDivision，May 2-6，1993，Atlanta，GA，USA.Piscataway，NJ:IEEE，1993: 725-731.

【3】KHALIL W，BESNARD S.Self Calibration of Stewart-Gough Parallel Robots Without Extrasensors［J］.IEEE Trans.on Robotics and Automation，1999，15(6):1118-1121.

【4】高猛.少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)標(biāo)定［D］.北京:清華大學(xué)，2005.

【5】陳雄標(biāo)，袁哲梭.機(jī)器人用六維腕力傳感器標(biāo)定研究［J］.機(jī)器人，1997，19(1):7-11.

【6】劉大煒，王立平，關(guān)立文.一個特殊3自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的精度分析及標(biāo)定［J］.機(jī)械工程學(xué)報，2010，46(9):46-52.

【7】黃真.空間機(jī)構(gòu)學(xué)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1991.

【8】代小林，叢大成，韓俊偉，等.基于光學(xué)坐標(biāo)測量機(jī)的STEWART機(jī)構(gòu)標(biāo)定研究［J］.機(jī)床與液壓，2007，35 (8):45-46.