特殊工件精密磨削加工方案的一種規(guī)劃算法

黎森

(軍事經濟學院襄陽士官學?；A部，湖北襄陽441118)

在工程上，加工大批量具有復雜母線旋轉體的特殊工件時，最后的精密成形工藝采用磨削加工［1］，此時，加工質量的高低以及加工時間的長短，是非常重要的。進行精密磨削加工的主要設備有精密數控磨削機床、各種研磨機等［2］，作者以某三軸聯(lián)動精密數控磨床為例，研究如何確定一個合理的加工方案，使得在加工時間盡可能短的前提下，加工質量盡可能的高。

該磨床的結構是:工件工作箱固裝在上臺面上，它通過專用夾具裝夾工件，使工件繞工件工作箱主軸以較慢的轉速旋轉，同時隨上中下3個工作臺的復合運動改變待加工工件與砂輪的相對位置。3個工作臺的運動必須相互配合，使工件與砂輪相切磨削，加工出滿足要求的旋轉體，如圖1所示［3］。

圖1 磨床結構示意圖

該磨床的主要技術參數是:各組步進電機的步進角度均為1°，步進電機控制脈沖的最高工作頻率不大于100脈沖/s，各組變速器的傳動比為10∶1，絲桿的螺距為12 mm，中臺轉軸到上工作臺的控制絲杠-螺母副中心線的距離R=300 mm，工件工作箱的夾具基準面到中臺轉軸的距離b=250 mm，如圖2所示。同時，為保證表面的加工質量，要求: (1)分別指相鄰兩時間段中前后時段的脈沖頻率，一般取δ≤0.10);(2)工件每轉動100轉，工件與砂輪的磨削點在工件工作箱的旋轉軸方向上的移動量不超過4 mm;(3)工件工作箱主軸轉動速度為250300 r/min［1］。

圖2 上臺相對中臺的轉動關系示意

1 坐標系的建立及磨削點的運動軌跡

為了尋找磨削點的運動規(guī)律，以夾具基準面中心為坐標原點，工件轉動軸為x軸，在水平面建立如圖1和圖2所示的平面直角坐標系，設需要的工件外表面母線方程為y=f(x)(0≤x≤a)。

在該坐標系下，無論3個工作臺如何運動，母線方程始終是保持不變的，變化的是砂輪的位置以及磨削點的坐標。由于砂輪的厚度遠小于工件母線的長度，因此可以近似地認為各個瞬時砂輪與工件的磨削點是在砂輪的同一個位置上。在這種假設下，磨削點坐標的變化僅僅由3個工作臺的平動與轉動來決定。

3個工作臺的平動與轉動實際上是同時進行的。假定脈沖個數可正可負，規(guī)定向3組步進電機各輸入+1個控制脈沖時，控制下、中、上臺運動的螺母分別向左、上、上方平動，從而使下、中臺分別向左、上方平動，上臺逆時針轉動;各輸入-1個控制脈沖時，使下、中臺分別向右、下方平動，上臺順時針轉動。在第i個很短的時間段內，設控制下、中、上臺的步進電機分別發(fā)出n1i、n2i和n3i的脈沖，此時上臺會轉動Δβi的角度 (Δβi＞0時為逆時針轉動，Δβi＜0時為順時針轉動)，使得中臺到上臺的角為βi。這時|n1i|、|n2i|和|n3i|會很小，由它們造成的3個絲桿的移動距離以及|Δβi|會更加小，因此可以近似地認為上臺的轉動和下、中臺的平動是分開進行的，先轉動后平動，其中上臺是以點 (b，0)為中心進行轉動的。

顯然，βi=令β0=0，則Δβi=βi-βi-1。

設(xi-1，yi-1)和(xi，yi)分別是第i個時間段始、末時磨削點的坐標，根據坐標軸旋轉與平移公式［4］，容易得出:

開始加工前，將砂輪的初始位置固定于待加工工件計劃母線的最左側，也即，x0=0，y0=f(x0)。這樣，就可以計算出磨削點的運動軌跡。

2 基于規(guī)劃算法的加工方案模型

為了便于加工方案的實施以及模型的建立，不妨設所有時間段內工件在x軸方向上的移動距離均為Δx，設法求解每個時間段內的加工方案。設第i個時間段的時間長度為ti，在該段內工件工作箱主軸轉動速度為 ri，則根據要求可得:250 r/min≤ri≤300 r/min。為了使得加工時間盡可能的短，可以讓前面第一個不等式的等號成立，并且讓所有的ri=300 r/min，這時，所有的最小 ti=5Δx。為使得加工盡可能地精細，可將每個時間段內加工方案的目標設置為局部誤差最小，這也就巧妙地將一個較為復雜的整體規(guī)劃問題轉化為若干個相對較易解決的子問題，是一個動態(tài)規(guī)劃模型。

以下介紹每一個子問題的求解過程。為保證加工精度，設定一個可以接受的局部誤差范圍ε，即在第i個時間段內，|yi-f(xi)|≤ε。ε的選取必須合適，如選得太大，加工質量不夠精細，選得太小，則話可能沒有可行解。此時，第1個子問題的規(guī)劃模型如下:

當i≥2時，第i個子問題必須加上相對于上一時間段脈沖頻率變化范圍的約束，其規(guī)劃模型如下:

可以通過觀察得出，每個子問題模型又是一個非線性整數規(guī)劃模型，并且當i≥2時都需要調用上一個子問題模型計算得到的結果，子問題的數量取決于Δx的選取，如Δx太大，就不能近似認為上臺的轉動和下、中臺的平動是分開進行的，從而使實際工件與計劃工件之間的誤差增大，太小則會導致子問題數量太多，計算任務太重。當求解某個子問題模型出現(xiàn)無可行解的情況時，可以根據求解情況在不太影響加工質量的前提下嘗試適當放寬一些約束條件，例如，適當擴大δ或ε的取值范圍，重新進行求解，計算出新規(guī)劃的最優(yōu)解后再進行下一子問題模型的求解?？闪睿瑒t子問題的個數為n個，第i個時間段結束時磨削點的橫坐標，每個時間段的時間長度，最優(yōu)加工總時間t=5a。

3 模型算法

模型算法的步驟如下:

步驟1:選取合適的n、ε和δ(δ≤0.1)，取xi=

步驟2:令i=1，求解規(guī)劃 (1)，輸出n11、n21、n31、β1和y1;

步驟3:令i=i+1，判斷i是否大于n，否則繼續(xù)下一步，是則結束計算;

步驟 4:調用 n1，i-1、n2，i-1、n3，i-1、βi-1和 yi-1，求解非線性整數規(guī)劃(2)。若規(guī)劃 (2)有解，繼續(xù)下一步，否則根據求解情況嘗試適當放寬δ或ε的取值范圍重新進行求解，直到有解才能繼續(xù)下一步;

步驟5:輸出n1i、n2i、n3i、βi和yi，返回步驟3。

4 誤差分析

除開操控失誤等人為因素，影響工件磨削質量，產生加工誤差的因素主要有以下三類:第一類是實際生產過程中一切不可抗拒因素造成的誤差，例如磨床的運動精度誤差，砂輪的尺寸誤差，磨床、砂輪及工件的熱變形和彈性變形誤差，還有編程中的計算誤差等［5］，這類誤差另有模型可以輔助減少，例如，文獻［6］研究的就是熱變形和彈性變形誤差的補償;第二類是近似計算造成的誤差，主要包含兩方面，分別是忽略砂輪厚度而近似地認為磨削點始終位于砂輪的同一位置以及近似地認為在較短的時間段內3個工作臺的平動與轉動是分開進行的，這類誤差非常小，可以忽略，如果確實要減小此類誤差，可以換用其他更復雜、計算量更大的模型，例如，文獻 ［7］和［8］分別研究的是磨削點在砂輪上的均勻移動問題以及更精確的磨削點運動軌跡問題;第三類誤差就是由模型通過仿真計算得到的仿真工件與計劃工件之間的誤差，下面介紹該誤差的計算過程。

首先分析母線誤差。由于ti很小，并且在第i個時間段內，n1i、n2i和n3i是均勻分布在其間的，因此可以近似地認為，得到的仿真母線從(xi-1，yi-1)到(xi，yi)都是線段，將所有的(xi，yi)(i=0，1，2，…，n)依次連接，就能夠得到仿真母線。過(xi-1，yi-1)和(xi，yi)兩點的直線方程為yi-1，設g(x)為定義在［0，a］上的一個分段函數，對于每一個區(qū)間段［xi-1，xi］(i=1，2，…，n)，都有由 此，仿真母線與計劃母線之間的最大誤差 emax等于函數g(x)在其定義域上的最大值，平均誤差 e平=

下面分析體積誤差，其應等于仿真母線與計劃母線之間圍成的區(qū)域繞x軸旋轉一周得到的旋轉體體積，即體積誤差:

5 算例分析

表1 加工方案

圖3 各工作臺累計脈沖數關于時間的圖像

圖4 仿真母線與計劃母線之間的誤差分布

圖5 0≤x≤20時，仿真母線與計劃母線的圖像

6 結束語

對采用某三軸聯(lián)動精密數控磨床磨削加工具有復雜母線旋轉體的特殊工件進行了研究。在分析了磨削點幾何運動軌跡的基礎上，建立了一個加工質量較高、加工時間最少的動態(tài)規(guī)劃模型，該模型中每個子問題又是一個非線性整數規(guī)劃模型，給出了求解算法并進行了算例分析。該算法不僅便于計算，而且得出的加工方案非常便于實際操作，在最少的時間內生產出的工件與計劃工件之間的誤差也非常的小，因此，具有高實用性、高精度和高效率的特點。所提供的模型及算法還可適用于其他類型的很多磨床或機床以及加工其它類型的很多精密旋轉體工件，具有一定的推廣性。

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【6】王繼鋒.磨削熱分析及其誤差補償系統(tǒng)的研究［D］.太原:太原理工大學，2003.

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