四元數(shù)法改善復雜曲面5軸加工精度研究

于洋，鄧勇生，潘琳

(1.西安石油大學機械工程學院，陜西西安710065; 2.中國航天科技集團公司第四研究院第四十四研究所，陜西西安710025)

自由曲面廣泛地應用于現(xiàn)代工業(yè)設(shè)計中，例如航空、航天、汽車、模具等。5軸數(shù)控加工給復雜自由曲面的加工帶來了更多的靈活性、高效率以及良好的精度表現(xiàn)，可以處理三軸機床無法加工的曲面［1-2］。然而，5軸數(shù)控加工仍有許多問題有待解決和改進，比如刀軸控制就被認為是數(shù)控編程中最困難的問題之一，主要是由于5軸加工中刀具運動的復雜性和復雜自由曲面曲率分布的不規(guī)則所致。在5軸加工中，由于刀具方向的不斷變化，當?shù)毒咻S向過度依賴被加工曲面幾何時，容易產(chǎn)生刀具軸向變化劇烈，從而導致過切、碰撞以及切削誤差過大的情況。因此，要充分發(fā)揮5軸數(shù)控加工的優(yōu)勢，必須解決刀軸過度依賴曲面幾何導致變化劇烈這一瓶頸問題。

近年來，國內(nèi)外學者對此做了許多工作，然而大多數(shù)都集中在處理避免過切干涉的發(fā)生及其修正上［3-6］。對于加工精度的要求，通常都是通過增加刀具接觸點的方式達成，雖然的確能夠提高加工精度，但是會造成NC數(shù)據(jù)過于龐大的問題，很少有通過調(diào)整刀具軸向來達到避免過切、提高精度的文獻。MORISHIGE等［7］應用2-Dimensional C-Space的方法，將傾斜角 (Lead Angle)及偏擺角 (Tilt Angle)映射至C-Space上，求取合理刀具軸向，但對于自由曲面，須將曲面離散成細小平面再做計算，效率很低。文獻［8-9］通過尋找可行性的刀具方向來控制曲面加工誤差，效率較低。文獻 ［10］提出了通過設(shè)置權(quán)重的方式來進行刀具軸向的均勻化分配，但對其中的干涉檢查和處理分析不透，并沒有從理論和方法上進行創(chuàng)新和突破。基于此，作者提出了一種新的刀具軸向設(shè)計算法，該方法根據(jù)曲面的微分幾何特性，通過制定可能發(fā)生過切處的刀具軸向，藉以計算其他位置的軸向，同時進行過切、干涉檢查及處理，提高切削效率，保證曲面的加工精度和加工質(zhì)量。

1 刀具軸向設(shè)計考量及初始位置

1.1 刀具軸向設(shè)計考量

考慮到5軸加工中，設(shè)計不合理的刀軸方向會導致機床震動、切削誤差過大、過切、碰撞以及加工不完整的情況發(fā)生，因此，設(shè)計刀具軸向時必須要滿足以下條件:(1)刀具軸向的設(shè)計必須考慮過切、碰撞的情況;(2)同一條刀具路徑上，兩個刀具接觸點之間的刀具軸向變化量應該盡可能小。因此，作者提出了通過指定可能發(fā)生過切、干涉區(qū)域的刀具軸向，再依據(jù)四元數(shù)插補方法，計算出其余位置刀具軸向的方法。

1.2 刀具初始位置

設(shè)定當前刀具接觸點 (CC點)坐標為C(xC，yC，zC)，過點C的曲面切平面可表示如下:

其中［A，B，C］為切平面的單位法矢，也是刀具軸向的單位方向矢量，可表示如下:

其中:P(u，v)為曲面上任一點的矢量，u、v為變量，則曲面上任意一點可由直角坐標系的分量x(u，v)、y(u，v)、z(u，v)來表示。

在重要區(qū)域的刀具軸向的指定方法上，為了幾何上計算簡便，并且可以進行嚴謹?shù)牡毒吲鲎驳臋z測，作者提出以曲面上CC點處的法線方向作為基準，在刀具前進方向，傾斜某一角度θ來得到刀具初始位置，如圖1所示。

圖1 初始刀具軸向

2 四元數(shù)內(nèi)插法

四元數(shù) (Quaternion)最初的理論是以一對三維空間向量之間的角度關(guān)系定義，近年來則常被應用在電腦圖形學及機器人學上，用來描述運動方式。

一個四元數(shù)q中包含4個元素，定義如下:

其中:qx，qy，qz，qw為實數(shù)，i，j，k則是符合以下規(guī)則的坐標軸:

qw稱為純量部分，而(qx，qy，qz)稱為向量部分。

圖2 四元數(shù)插補法

四元數(shù)算法不僅支持相同的旋轉(zhuǎn)速度，而且在大圓弧上的插補向量連接兩個邊界向量，如圖2所示。給定兩個指定的刀軸方向V1(V1x，V1y，V1z)、V2(V2x，V2y，V2z)，對于從V1(V1x，V1y，V1z)、V2(V2x，V2y，V2z)的四元插補方程V(n)可以表示如下:

其中:參數(shù)n為插V1與V2之間的向量，θ= cos-1(V1·V2)

使用四元數(shù)插補法對圖3中所指定的刀具軸向進行其余刀具軸向插補，插補后的刀具軸向分布如圖4所示，圖5顯示了刀具軸向變化角度的比較圖，可以看出:四元數(shù)插補法可以提供光順的刀軸變化，并且不會產(chǎn)生不需要的刀軸扭曲和跳動。

圖3 指定特定位置刀具軸向

圖4 四元插補法所生成的刀具軸向

圖5 四元數(shù)插補法刀具軸向變化

3 干涉刀位的修正

在完成刀具軸向設(shè)計之后，則需要對每一個刀具軸向來進行刀具干涉?zhèn)蓽y。就空間幾何來看，直接計算檢查點到刀具的垂足距離d并判斷，若其垂足距離d小于刀具半徑D/2，則表示發(fā)生刀具碰撞;反之，若其垂足距離d大于刀具半徑D/2，則無碰撞。

圖6 碰撞示意及參數(shù)定義

假設(shè)刀具軸向的旋轉(zhuǎn)中心為P1(x1，y1，z1)，端點為P2(x2，y2，z2)，而檢查點為PZ(x3，y3，z3)，如圖6所示，可以用參數(shù)a表示成參數(shù)式:

令Δx1=x2-x1、Δy1=y2-y1、Δz1=z2-z1得:

接下來計算檢查點到刀具中心的垂足點P(x(a)，y(a)，z(a))的距離d:

將式(8)代入式(7)得:

令Δx2=x3-x1、Δy2=y3-y1、Δz2=z3-z1，式(9)可如下表達:

又點PZ到刀具中心軸的垂足距離為最短距離，所以:

最后求得的a為:

將所得的a代入式 (7)求檢查點PZ到刀具中心軸的垂足點P，而PZ到刀具中心軸的垂足距離d亦可求得。最后判斷若垂足距離d小于刀具半徑D/2，則發(fā)生刀具碰撞亦檢查點PZ為碰撞點;若垂足距離d大于刀具半徑D/2，則檢查點PZ不是碰撞點。

4 算例分析

為了更好地驗證文中所提出的刀軸設(shè)計算法，作者使用主軸旋轉(zhuǎn)式5軸機床進行切削實驗。實驗將針對兩種不同的刀具軸向設(shè)計方式:傳統(tǒng)法向法與四元數(shù)插補法，對比兩種加工方法的切削誤差，并進行探討。加工條件如表1所示，曲面模型如圖7所示，采用等參數(shù)加工法，機床型號為Mazak5軸立式加工中心500-5X。

表1 加工條件

圖8為使用四元數(shù)插補法所設(shè)計的刀具軸向分布圖，圖9為使用傳統(tǒng)的法向刀具軸向設(shè)計方法所生成的刀具軸向。可以明顯看出:使用傳統(tǒng)方法所設(shè)計的刀軸變化較為劇烈，刀軸角度平均變化量大概在25°左右，最大的變化量達到了58°;使用四元數(shù)插補法設(shè)計的刀軸角度變化不超過4°，很適合用來進行刀具軸向規(guī)劃。

圖7 實驗所使用模型

圖8 四元數(shù)法設(shè)計刀具軸向

圖9 法向法所生成刀具軸向

圖10顯示了采用法向刀軸方法加工輪廓時切削誤差變化圖;圖11顯示了采用四元數(shù)刀軸方法加工輪廓時切削誤差變化圖?？梢钥闯?法線加工方法誤差較大，已經(jīng)超過設(shè)定誤差0.02 mm，加工效果不理想，這是由于刀具軸向變化較為劇烈所引起;而四元數(shù)法對誤差控制較好，均小于設(shè)定誤差emax=0.02 mm，較傳統(tǒng)方法有大幅度的改進。

圖10 法向刀軸切削誤差

圖11 四元數(shù)插補刀軸切削誤差

5 結(jié)論

通過使用四元數(shù)插補算法，解決了5軸自由曲面加工中刀軸變化劇烈的問題，并且根據(jù)刀具半徑與檢查點到刀具的垂足距離判斷刀具是否與曲面發(fā)生干涉，成功地解決了刀軸光順與曲面干涉的檢測與修正這一5軸數(shù)控加工中的瓶頸問題。算法的運用結(jié)果表明:該算法效率高，精度易于控制，可用于葉輪類對刀軸變化敏感且干涉較為嚴重的5軸加工中。

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