蛇形機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)分析以及步態(tài)研究

譚啟明，何振勇，陳然

（華南理工大學(xué)廣東廣州510640）

蛇的生存環(huán)境是非常多樣化的：森林、沙漠、山地、石堆、草叢、沼澤甚至湖泊。它獨(dú)特的蜿蜒爬行方式使其在各種生態(tài)條件下都隨遇而安、運(yùn)動(dòng)迅速自如。適合在水下地下管道，凹凸不平的表面，墻壁之間的狹小裂縫，橋梁纜索等特殊環(huán)境下作業(yè)、具有廣泛的應(yīng)用前景。文中提出了一種7關(guān)節(jié)6連桿的蠕動(dòng)仿生蛇形機(jī)器人，其為行波傳遞運(yùn)動(dòng)方式，下面我將對(duì)這種機(jī)器人進(jìn)行研究。

1 蛇形機(jī)器人的模型結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與步態(tài)研究

每個(gè)關(guān)節(jié)長(zhǎng)度為：a，質(zhì)量為：m，初步模擬有7個(gè)關(guān)節(jié)。電機(jī)減速器安裝在其軸線上，桿件的重量相當(dāng)于關(guān)節(jié)來說可以忽略不計(jì)，因此轉(zhuǎn)軸中心作為桿件的質(zhì)心，其在表面上蠕動(dòng)進(jìn)行時(shí)，它的簡(jiǎn)化模型如圖1中的蛇形蠕動(dòng)前行[1]。（圖2只給出了3節(jié)的運(yùn)動(dòng)分析）首先研究的是3動(dòng)桿的運(yùn)動(dòng)步態(tài)，做模擬的運(yùn)動(dòng)圖解如圖1。

首先點(diǎn)P0沿著X軸前進(jìn)，其他點(diǎn)Pi（i≥2）固定不動(dòng)；于此同時(shí)，桿件P0P1與X軸之間的夾角α從0°到達(dá)給定的角度α0。

在初始階段，P0P1和P1P2運(yùn)動(dòng)，它們與X軸之間形成等腰三角形，在該階段結(jié)束時(shí)，三角形的底腳為（圖1中的階段c），除了P1其他點(diǎn)均位于X軸上。

下一階段，P0P1、P1P2和P2P3為動(dòng)桿，點(diǎn)P0和Pi（i≥3）均保持不動(dòng)，夾角α從α0變?yōu)?°，與此同時(shí)P2P3與X軸的夾角β從0°到達(dá)給定的角度α0（圖1中的階段d）；當(dāng)這一階段結(jié)束時(shí)，系統(tǒng)處于狀態(tài)e；P1P2、P2P3與X軸之間成等腰三角形，除了P2外，其他點(diǎn)均位于X軸上。

重復(fù)以上的過程，將會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)一個(gè)階段完成后，除了三角形的頂點(diǎn)外，其他的點(diǎn)均位于X軸上。頂點(diǎn)和三角形將會(huì)逐漸向右移動(dòng)；最后點(diǎn)P5將會(huì)成為三角形的頂點(diǎn)（如圖1中的階段f），夾角α從α0變?yōu)?°，整個(gè)系統(tǒng)恢復(fù)為直線狀態(tài)g（如圖1中的階段g）。在這一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期，整個(gè)系統(tǒng)沿X軸的位移L等于點(diǎn)P0從α0狀態(tài)a到狀態(tài)b的位移。因此有：L=2a（1-cosα0）。

其中，a為桿長(zhǎng)。

下面我們進(jìn)行系統(tǒng)的步態(tài)分析，為以后的仿真測(cè)試做準(zhǔn)備，我們把系統(tǒng)桿件的數(shù)量設(shè)為可擴(kuò)展的N，進(jìn)行一個(gè)普遍的多桿蛇形機(jī)器人的步態(tài)分析[2]。

1.1 蛇形機(jī)器人的步態(tài)與位移分析

從圖2可知，在波形傳遞階段，動(dòng)點(diǎn)為Pi和Pi+1（1≤i≤N-1），其他點(diǎn)靜止不動(dòng)，則我們可以將Pi-1Pi、PiPi+1、Pi+1Pi+2簡(jiǎn)化為如圖2的連桿機(jī)構(gòu)，Pi+1和Pi+2之間的距離d是固定的，d=a+cosα0，那么波峰過渡階段可劃分為如圖2所示的4個(gè)階段，初始位置為圖1中的c階段結(jié)束位置為圖1中的過程e。

圖1 蛇形機(jī)器人三動(dòng)桿的步態(tài)分析Fig.1 Gait analysis of snake-like robot three moving rod

圖2 三桿件的運(yùn)動(dòng)的4個(gè)狀態(tài)Fig.2 Four state of the three rod movement

圖3 3桿件的矢量四邊形Fig.3 Three member of the vector quadrilateral

由圖3所示的封閉矢量四邊形Pi-1PiPi+1Pi+2得：

其在X、Y軸上分解得：

消去α4后得：

解出：

式中N為符號(hào)系數(shù)，ΔPi+1Pi-1Pi三頂點(diǎn)的順序?yàn)槟鏁r(shí)針方向，N=-1；順時(shí)針方向N=1；這是按照右手直角坐標(biāo)系制定的，如為左手坐標(biāo)系，則判別N符號(hào)的規(guī)則上相反。

又由公式（2）可以解得：

通過式（6）、式（7）和式（8）可以將連桿的各個(gè)角度均由β1表示，對(duì)研究其角度關(guān)系提供基礎(chǔ)。

1.2 蛇形機(jī)器人各連桿間的相對(duì)角位移

由圖3設(shè)各已知Pi+1Pi+2相對(duì)Pi+2Pi+3的轉(zhuǎn)角β1，則各連桿的相對(duì)轉(zhuǎn)角都可用β1來表示，由圖3的幾何關(guān)系可以推導(dǎo)出以下的角速度關(guān)系式：

由式9可以得出，各個(gè)轉(zhuǎn)角關(guān)系都可以用β1表示，則按照角度設(shè)計(jì)蛇形機(jī)器人的旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)可以設(shè)置轉(zhuǎn)角β1為變量的函數(shù)[3]。

1.3 蛇形機(jī)器人設(shè)計(jì)

有前文推導(dǎo)可以設(shè)計(jì)蛇形機(jī)器人的旋轉(zhuǎn)函數(shù)，只涉及轉(zhuǎn)角β2與β1，其他連桿由于其為剛性連桿，并且通過旋轉(zhuǎn)鉸鏈相連，則可以連帶轉(zhuǎn)動(dòng)，整個(gè)蛇形機(jī)器人前進(jìn)一步的具體設(shè)計(jì)分為3大部分[4]：

1）過程一：

桿0-1沿著右端點(diǎn)2處旋轉(zhuǎn)副做向X軸正方向的順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)1不固定在地面上，其他點(diǎn)均施加大的摩擦力固定在地面上，旋轉(zhuǎn)到桿1-2與X軸負(fù)方向成60°時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的過程中點(diǎn)0設(shè)置為高副滑動(dòng)，如圖4所示。

圖4 過程一：步態(tài)設(shè)計(jì)圖Fig.4 Process 1:Gait design

在此過程中，只設(shè)計(jì)端點(diǎn)1處的旋轉(zhuǎn)角度的函數(shù)，通過此函數(shù)，可以使蛇形機(jī)器人尾部抬起一定角度。由于研究機(jī)器人的步態(tài)過程，對(duì)其加速度和速度先進(jìn)行忽略處理，只研究端點(diǎn)1的轉(zhuǎn)角度數(shù)與時(shí)間的函數(shù)，建立緩慢變化的階躍函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式可以表示為：

y為端點(diǎn)1角度變化（度），x為時(shí)間（秒）：

在此還要說明的是，在4 s之前，端點(diǎn)2不受函數(shù)控制，為自由鉸鏈，在4 s之后執(zhí)行式12的函數(shù)，轉(zhuǎn)動(dòng)端點(diǎn)2。

之后的運(yùn)動(dòng)，為循環(huán)每個(gè)端點(diǎn)的階躍函數(shù)，定義域一直向后平移，直至蛇形機(jī)器人的波形向最后一節(jié)移動(dòng)。

2）過程二：

到最后連桿4-5沿著左邊端點(diǎn)4向X軸正方向做順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，最后端點(diǎn)6做與地面接觸的高副運(yùn)動(dòng)，如圖5所示。

圖5 過程二：步態(tài)設(shè)計(jì)圖Fig.5 Process 1:Gait design

在過程二中，可以只設(shè)計(jì)端點(diǎn)2處的轉(zhuǎn)角函數(shù)，通過轉(zhuǎn)動(dòng)端點(diǎn)2處的角度，其他剛性桿隨之運(yùn)動(dòng)，在此過程中端點(diǎn)1處由過程一結(jié)束時(shí)的銳角變?yōu)殁g角（轉(zhuǎn)過了180°），所以在端點(diǎn)1處的轉(zhuǎn)角函數(shù)處加上式（11）的后兩式，此處端點(diǎn)2的轉(zhuǎn)角函數(shù)與端點(diǎn)1的轉(zhuǎn)角函數(shù)形狀相同，只是定義域向右平移了轉(zhuǎn)角一運(yùn)動(dòng)的一半過程。

y為端點(diǎn)2角度變化（度），x為時(shí)間（秒）：

在此還要說明的是，在4 s之前，端點(diǎn)2不受函數(shù)控制，為自由鉸鏈，在4 s之后執(zhí)行式（12）的函數(shù)，轉(zhuǎn)動(dòng)端點(diǎn)2。

之后的運(yùn)動(dòng)，為循環(huán)每個(gè)端點(diǎn)的階躍函數(shù)，定義域一直向后平移，直至蛇形機(jī)器人的波形向最后一節(jié)移動(dòng)[5]。

3）過程三：

到最后連桿4-5沿著左邊端點(diǎn)4向X軸正方向做順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，最后端點(diǎn)6做與地面接觸的高副運(yùn)動(dòng)，如圖6所示。

圖6 過程三：步態(tài)設(shè)計(jì)圖Fig.6 Process 1:Gait design

當(dāng)波形運(yùn)動(dòng)到最后一個(gè)端點(diǎn)5時(shí)，端點(diǎn)5的運(yùn)動(dòng)開始時(shí)間為20 s，則此端點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)角度函數(shù)。

y為端點(diǎn)5角度變化（度），x為時(shí)間（秒）：

最后蛇形機(jī)器人的端點(diǎn)全部位于x軸上，蛇形機(jī)器人前進(jìn)一個(gè)步態(tài)[6]。

2 結(jié)束語(yǔ)

文中主要研究了蛇形機(jī)器人的一般模型，在這些模型的基礎(chǔ)上，提出了一種行波式的運(yùn)動(dòng)模型，對(duì)模型的結(jié)構(gòu)建立和步態(tài)進(jìn)行分析及其數(shù)學(xué)計(jì)算，為之后的仿真模型建立了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

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