帶p－Laplacian算子四階四點邊值問題的迭代解

茹凱，韋煜明，倪黎

(廣西師范大學 數學科學學院，廣西 桂林 541004)

0 引言

高階微分方程邊值問題在物理、化學和生物等領域中有著極為豐富的源泉，研究它的解的存在性具有重要的理論意義和實踐意義。近年來，高階微分方程特別是四階微分方程的邊值問題受到了許多學者的關注，取得了一些成果。文獻［1］考慮具有p－Laplacian算子的四階四點邊值問題的迭代解，文獻［2］利用Avery－Henderson不動點定理研究具有p－Laplace算子的四階三點邊值問題，給出了存在至少兩個正解的充分條件。文獻［3］考慮下列具有p－Laplace算子的四階三點邊值問題

文獻［4］利用上下解方法研究了下列四階四點邊值問題

受上述文獻啟發(fā)，本文討論了不同于上述方程的一類具有p－Laplace算子的四階四點邊值問題

1 預備知識

定義1:設α，β∈W分別稱為邊值問題(3)的下解和上解，若

引理1［4］:若 a(t)∈ C［0，1］，0 ≤ aη ＜ 1，則下列二階三點邊值問題

引理2［4］:若 a(t)∈ C［0，1］，0 ≤ bξ＜ 1，則下列二階三點邊值問題

引理3:設a，b，ξ，η 是非負常數，且0 ＜ ξ，η ＜ 1，0 ＜ a，b ＜ 1，1－bξ＞ 0，如果x(t)∈W滿足

證明:設 w(t)= φp(x″(t))，則

w(t)可表示為

z(t)可表示為

引理3證畢。

定理1［7］:設D是半序Banach空間X的子集，F(xiàn)∶D→X是單增的，如果存在x0，y0∈D使得x0≤y0，＜x0，y0＞?D，并且x0，y0分別是方程x－F(x)=0的下解和上解，則當下面的條件之一成立時，方程x－F(x)=0在序區(qū)間 ＜x0，y0＞上有極小解x*和極大解y*，使得x*≤y*.

(1)K正規(guī)且F緊連續(xù);

(2)K正則且F連續(xù);

(3)X自反，K正規(guī)且F連續(xù)或者弱連續(xù)。

條件(H):

1)ξ，η，a，b，p 是非負常數，且 0 ＜ ξ，η ＜ 1，0 ＜ a，b ＜ 1，p ＞ 1;

2)邊值問題(1)存在上下解 β(t)和 α(t)，滿足 α(t)≤ β(t)，α″(t)≥ β″(t)，t∈［0，1］;

3)對 α(t)≤ x1≤ x2≤ β(t)，β″(t)≤ y≤ α″(t)，t∈［0，1］，有 f(t，x1，y)≤ f(t，x2，y);

4)對 β″(t)≤ y1≤ y2≤ α″(t)，α(t)≤ x≤ β(t)，t∈［0，1］，有 f(t，x，y1)≥ f(t，x，y2).

2 主要結果

定義算子T:Ω → C2［0，1］，其中 G［a，η］，G［b，ξ］分別由(6)式和(7)式給定。易證 T 是全連續(xù)算子。記α0(t)= α(t)，β0(t)= β(t)，由αn(t)= (Tαn－1)(t)，βn(t)= (Tβn－1)(t)定義序列{αn}和{βn}.

定理2:若條件(H)成立，則由(8)式定義的序列{αn}和{βn}均收斂于(3)的解。

對有α(t)≤x(t)≤β(t)，β″(t)≤x″(t)≤α″(t)，且|x'(t)|≤N.令ω(t)=(Tx)(t)，由T 的定義知，ω，φp(ω″)∈ C2［0，1］. 另一方面，由下解 α(t)的定義及條件(H)，得

令 y= φp(ω″(t))－ φp(α″(t))，則 y在［0，1］上二次可微，且 y″≥0，y(0)≤0，y(1)≤ by(ξ). 因此，由引理3，我們有 y(t)≤0，對 t∈［0，1］. 即 φp(ω″(t))≤ φp(α″(t))，對t∈［0，1］. 又由于 φp為單調增函數，故 ω″(t)≤α″(t)，對t∈［0，1］.即(ω(t)－ α(t))″≤0，對t∈［0，1］.綜合引理3及(9)式，有ω(t)≥α(t)，對 t∈［0，1］.利用類似的方法，可以證明ω(t)≤β(t)，ω″(t)≥β″(t)，對t∈［0，1］.于是α(t)≤ω(t)≤β(t)，β″(t)≤ ω″(t)≤ α″(t)，t∈［0，1］. 顯然 ω″(t)≤ max(‖α″‖0，‖β″‖0)，且存在 t0∈［0，1］使

因此

在 C2［0，1］中定義錐 K={x∈C2［0，1］∶x(t)≥0，x″(t)≤0}。由K可定義序關系“≤”∶x≤y當且僅當y－x∈K.

易知K是正規(guī)錐。

第二步:證{an}是K中單調增加序列，且有上界。先證α0≤α1，由(4)式及(8)式得

由引理3 知 α1(t)≥ α0(t)，α″1(t)≤ α″0(t)，t∈［0，1］，即 α0≤ α1. 設 αn－1≤ αn，由于

由引理3 知 αn+1(t)≥an(t)，α″n+1(t)≤ α″n(t)，t∈［0，1］，即 αn≤ αn+1.因此{αn}是K 中單調增加序列，由于，所以 αn≤ β.

同理可證{βn}是K中單調減少序列，由于 βn∈ Ω，所以 βn≥ α.

定理得證。

［1］龐慧慧，田敏，葛謂高.帶p－Laplacce算子的四階四點邊值問題迭代解的存在性［J］.數學的實踐與認識，2008，38(3):130－134.

［2］封漢潁，葛謂高.具p－Laplace算子的四價三點邊值問題的兩個正解［J］.數學的實踐與認識，2007，37(24):140－146.

［3］張立新，崔海英，玄祖興.具p－Laplacian算子的四階三點邊值問題的迭代解［J］.北京聯(lián)合大學學報，2009，23(4):64－67.

［4］D Ma，X Yang.Upper and lower solution method for four－ order four－ point boundary value problems［J］.Comput.Appl.Math，2009(223):543－551.

［5］Q Zhang，S Chen，J Lü.Upper and lower solution method for fourth－order four－ point boundary value problems［J］.Comput.Appl.Math，2006(196):387－393.

［6］葛謂高.非線性常微分方程邊值問題［M］.北京:科學出版社，2007.

［7］鐘承奎.非線性泛函分析引論［M］.蘭州:蘭州大學出版社，1998.