基于有限擴散凝聚模型的邊緣擴散效應(yīng)研究

徐陳超，祝宇紅，葉全林

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州310036）

0 引 言

有限擴散凝聚DLA模型［1］由Witten和Sander在1981年提出，用于解釋生活中所觀察到的煙塵微粒的分形聚集現(xiàn)象．隨后該模型被廣泛用于研究各類分形凝聚體，并在實際應(yīng)用中得到了很大的改進(jìn)與發(fā)展．Niemeyer等［2］在DLA模型中通過引入電勢能讓粒子結(jié)合具有一定概率，從而提出了電介質(zhì)擊穿（DBM）模型；Nittmann等［3］在DLA模型中引入法向及切向的隨機因子，模擬旋轉(zhuǎn)流動下DLA團(tuán)簇生長形態(tài)的變化，建立了噪音衰減（NR）模型；Mogi等［4］由無電極沉積實驗提出了磁流體動力學(xué)效應(yīng)（MHD）．近幾年，F(xiàn)ernández－Toledano等［5］在DLA模型的基礎(chǔ)上引入湯川勢，研究了粒子間凝聚的結(jié)合能和作用范圍；Balakirev等［6］研究了在磁性薄膜上的多種子的DLA模型，得到了在磁場中各向異性的DLA凝聚體．張凱等［7］通過改變粒子釋放半徑的大小來減少DLA模型模擬時間；李小剛等［8］研究了DLA模型在粘性指進(jìn)模擬中的應(yīng)用，討論了粘性指進(jìn)的實驗與計算機模擬研究中存在的問題以及發(fā)展方向．

在經(jīng)典DLA模型中一個基本假設(shè)是每個釋放粒子所具有的初始能量為零，粒子在格點平面上作無規(guī)的布朗運動，一旦與種子或團(tuán)簇接觸就直接被吸附不再繼續(xù)運動．該假設(shè)與很多實際過程并不符合，如在薄膜生長過程中，蒸發(fā)或濺射出來的原子所具有的初始能量并不完全相同，而且有些原子被吸附后還會沿著團(tuán)簇邊緣進(jìn)行擴散運動，甚至有一定概率脫離團(tuán)簇，此類過程的差異可導(dǎo)致沉積原子在基底上的凝聚行為很不相同［9－12］．因此，在經(jīng)典DLA模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究粒子初始能量以及可能的脫附及邊緣擴散對凝聚體的形貌、結(jié)構(gòu)和分形維數(shù)的影響是非常重要的．然而，迄今未見相關(guān)報道．本文在Matlab平臺上采用Monte Carlo方法，模擬粒子在二維格點平面上的運動和凝聚行為，通過改變粒子初始能量并考慮粘附粒子具有脫離團(tuán)簇的概率，模擬得到邊緣擴散效應(yīng)對凝聚體的形貌和分形維數(shù)的影響關(guān)系．

1 模擬理論與方法

經(jīng)典DLA模型是在格點平面的中央放置一個種子粒子，然后在格點平面的邊緣隨機釋放一個粒子（不考慮粒子的初始能量），粒子在網(wǎng)格平面內(nèi)作無規(guī)的布朗運動，直到抵達(dá)種子粒子鄰近位置與種子粒子黏住不動，然后下一個粒子從邊緣釋放，如此循環(huán)；如果在隨機游走時，粒子移動到格點平面邊緣，則放棄該粒子，從邊緣重新釋放下一個粒子．粒子的這種無規(guī)運動使絕大部分粒子在團(tuán)簇的尖端凝聚，只存在較小的幾率粒子到達(dá)團(tuán)簇或分枝的內(nèi)部（此即分枝屏蔽效應(yīng)），因此，得到的凝聚體結(jié)構(gòu)較松散，其分形維數(shù)D＝1．67［1］．

本文在經(jīng)典DLA模型的基礎(chǔ)上，模擬了粒子具有一定的初始能量以及粒子與格點及團(tuán)簇有相互作用的情況下粒子的凝聚行為．模擬的具體規(guī)則和步驟如下：

1）定義一個L×L的格點空間（本文L＝251），在格點中心放置一個粒子，設(shè)為種子粒子；

2）以種子粒子為中心，定義一個初始釋放半徑R0（本模擬中的最優(yōu)化取值為80）［7］，在R0處釋放一個有一定初始能量E0的粒子讓其在格點平面內(nèi)隨機游走；此處，初始能量E0的取值是［0，Emax］范圍內(nèi)的隨機數(shù)，而且將粒子在格點上每運動一步所需的能量Eact定義為一個能量單位，則初始能量及文中其它能量均為相對于Eact的倍數(shù)［10］．

3）單個粒子限制在格點平面中以隨機步長運動（步長滿足最大值為L／100的均勻分布，取整），由于粒子與格點平面有相互作用能，則每運動一次能量減小Eact；

4）當(dāng)運動粒子與種子（或已有團(tuán)簇）接觸時，根據(jù)粒子的能量Ee（i，t）∈［0，E0］確定粒子的運動規(guī)則：

a）當(dāng)粒子的能量Ee＞Eesc（粒子脫離團(tuán)簇的能量），粒子以一定的概率Pesc脫離團(tuán)簇繼續(xù)在格點平面內(nèi)做隨機游走．

b）當(dāng)粒子的能量滿足Eedge（粒子邊緣擴散的能量）＜Ee＜Eesc，則粒子在團(tuán)簇表面做邊緣擴散運動，每運動一次粒子能量減少Eedge，直到粒子能量Ee＜Eedge，粒子將粘在團(tuán)簇上不再運動．

c）當(dāng)粒子能量Ee＜Eedge，粒子均直接粘在團(tuán)簇上不再運動．

5）粒子與團(tuán)簇粘附不動后，計算該粒子與團(tuán)簇中心粒子的距離ri，如果ri＜（2／3）R0，則釋放半徑將增加10個單位，然后釋放下一個粒子，并重復(fù)步驟3）和4）．

6）如果粒子在隨機游走時，移出格點平面，則釋放下一個粒子，重復(fù)步驟3）和4）．

7）所有粒子釋放完畢，全部粒子運動停止后，程序結(jié)束，本文中釋放的總粒子數(shù)為10 000個．

8）對模擬得到的凝聚體，采用盒維數(shù)法計算其分形維數(shù)［11］．本文給出的分形維數(shù)的值均為每一條件下30次模擬所得凝聚體分形維數(shù)的統(tǒng)計平均值．

在整個模擬過程中，隨機數(shù)的產(chǎn)生起著非常重要的作用，無論是粒子初始釋放的半徑、行走方向，還是粒子初始的能量，都由RAND函數(shù)生成的隨機數(shù)決定．在Matlab程序中僅用RAND命令獲得的隨機數(shù)是以0作為隨機數(shù)發(fā)生器初始值所產(chǎn)生的隨機數(shù)序列（缺省值），即rand（'state'，0）．而每次所產(chǎn)生的“隨機數(shù)”大多是依次從該序列中抽取出來的，事實上是一組固定的數(shù)據(jù)，因此，在多次模擬實驗中所長出的聚集體圖形都是完全相同的．為了避免這種偽隨機的情況發(fā)生，筆者在模擬程序中采用了以系統(tǒng)時間值作為隨機數(shù)發(fā)生器的初始值（即語句rand（'state'，sum（clock）））．其中clock語句是返回一組6個元素的向量：［year month day hour minute seconds］，即為系統(tǒng)當(dāng)前的時間，由于時間是不斷變化的，sum（clock）隨時間變化，產(chǎn)生的隨機數(shù)序列也隨之變化，所取得的隨機數(shù)不再是一組固定的數(shù)據(jù)．這樣，粒子的出點位置是一組更好的隨機序列，行走的方向以及粒子能量也是真正隨機的，這更符合Monte Carlo方法的要求，當(dāng)參數(shù)相同時，可獲得的凝聚體形貌相似但又不完全相同，從而具有更高的可信度．

2 結(jié)果與討論

根據(jù)粒子在格點平面中運動可能發(fā)生的物理過程及其所涉及的能量［12］，通過調(diào)整模擬參數(shù)，得到了不同的物理模型，分別是退化到經(jīng)典的DLA模型、只考慮粒子脫附的模型、只考慮邊緣擴散的模型和既有粒子脫附又有邊緣擴散的模型．表1給出了各種模型所對應(yīng)的主要物理參數(shù)及所得凝聚體分形維數(shù)．

表1 模擬的類型和采用的主要物理參數(shù)Tab．1 Simulation modes and main physical parameters used

2．1 經(jīng)典DLA生長模型模擬

為了驗證程序的可靠性，設(shè)定粒子初始最大能量Emax＝0，Eesc＝∞（只要粒子與團(tuán)簇接觸就不再脫離），Eedge＝∞（粒子不作邊緣擴散運動），具體參數(shù)見表1．這樣設(shè)定后，該模型即退化為經(jīng)典的DLA模型．模擬得到的典型凝聚體結(jié)構(gòu)如圖1所示，其分形維數(shù)的平均值＝1．67，該值與經(jīng)典DLA模型的模擬結(jié)果一致，表明本文所建立的模型是合理的．如果粒子具有一定的初始能量，但在隨機行走過程中不考慮粒子脫附和邊緣擴散，得到的凝聚體結(jié)構(gòu)及分形維數(shù)也與經(jīng)典DLA結(jié)果基本一致（表1），說明在沒有粒子脫附和邊緣擴散的情形下，粒子初始能量對凝聚體結(jié)構(gòu)影響不大．

圖1 退化到經(jīng)典DLA模型得到的分形凝聚體Fig．1 Fractal aggregates simulated from the model degenerated into DLA model

2．2 考慮粒子以一定概率脫附團(tuán)簇

當(dāng)粒子能量Ee＞Eesc時，粒子將以一定概率脫離團(tuán)簇，繼續(xù)在格點平面中作隨機行走，每行走一步能量減少Eact，當(dāng)Ee＜Eesc時，粒子才粘附在團(tuán)簇上不再運動（此處不考慮邊緣擴散）．該過程與經(jīng)典DLA模型中只要粒子與團(tuán)簇相接觸粒子就被粘附在團(tuán)簇上的過程不同．當(dāng)最大初始能量較小時，模擬結(jié)果與經(jīng)典DLA類似，如圖2（a）所示．當(dāng)粒子初始能量增大時，由于粒子的脫附，粒子在團(tuán)簇尖端凝聚的概率相對減小，從而有一定概率進(jìn)入凝聚體的分枝內(nèi)部，如圖2（b）所示，脫附概率為0．8時的凝聚體平均分形維數(shù)＝1．70，比經(jīng)典DLA的值略大一些．但隨著初始能量的增加，分形維數(shù)變化并不明顯．如果減小脫附概率，凝聚體結(jié)構(gòu)和分形維數(shù)逐漸退化到經(jīng)典DLA的結(jié)果（表1）．

圖2 只考慮粒子脫附得到的分形凝聚體（Pesc＝0．8）Fig．2 Fractal aggregates simulated from the model only considered particle escape（Pesc＝0．8）

2．3 僅考慮粒子的邊緣擴散

當(dāng)粒子能量Ee＞Eedge，但是無脫附（即脫附概率Pesc＝0）時，粒子只作邊緣擴散．模擬結(jié)果發(fā)現(xiàn)，粒子只作邊緣擴散時所得到的凝聚體結(jié)構(gòu)對初始能量比較敏感．圖3（a）和3（b）分別給出了最大初始能量為500和3 000時的凝聚體．從圖中可以看出，隨著初始能量的增加，分枝凝聚體的密度明顯變密，分形維數(shù)從1．68急增至1．89．與圖2比較可以發(fā)現(xiàn)，相對于粒子脫附，邊緣擴散對凝聚體結(jié)構(gòu)的影響更大．

圖3 只考慮邊緣擴散得到的分形凝聚體Fig．3 Fractal aggregates simulated from the model only considered edge diffusion

2．4 既有粒子脫附也有邊緣擴散

實際的薄膜生長過程中，粒子既有一定概率脫附團(tuán)簇，也有一些做邊緣擴散運動．當(dāng)粒子能量Ee＞Eesc，粒子會有一定概率脫離團(tuán)簇，脫離團(tuán)簇的粒子和未脫附的粒子，只要其能量大于Eedge，粒子將會沿著團(tuán)簇的表面邊緣運動，每運動一步，能量減少Eedge，直到粒子能量小于Eedge，則粒子粘附在團(tuán)簇的表面．圖4給出的是粒子具有不同最大初始能量Emax的情況下，同時考慮粒子脫附和邊緣擴散生長得到的分形凝聚體．當(dāng)Emax較小時，分枝分布的空間較大，粒子進(jìn)入分枝內(nèi)部的概率比較小，所以分形維數(shù)也較?。‥max＝500時，平均分形維數(shù)＝1．66），與經(jīng)典DLA結(jié)果類似，如圖4（a）所示．隨著Emax的增大，分枝所分布的空間在縮小，越來越多的粒子突破分枝的屏蔽效應(yīng)進(jìn)入分枝內(nèi)部，導(dǎo)致凝聚體結(jié)構(gòu)更加致密，分形維數(shù)也逐漸增加．當(dāng)Emax為2 000，4 500，和7 000時，所對應(yīng)的凝聚體平均分形維數(shù)分別為1．82，1．91和1．93（圖4（b），（c），（d））．當(dāng)粒子初始能量固定，若減少粒子脫附概率，筆者發(fā)現(xiàn)凝聚體的分形維數(shù)并不是減小而是增加的（表1），原因是盡管脫附的粒子減少了，但這些粒子將作邊緣擴散，而根據(jù)前文可知，邊緣擴散對凝聚體分形維數(shù)的影響比粒子脫附要大．

圖4 同時考慮粒子脫附和邊緣擴散得到的分形凝聚體（Pesc＝0．8）Fig．4 Fractal aggregates simulated from the model considered both the particle escape and edge diffusion（Pesc＝0．8）

為了進(jìn)一步了解粒子最大初始能量對凝聚體分形維數(shù)的影響，將粒子最大初始能量從500變化至10 000，能量間隔為500，對每單位能量分別做30次模擬，然后對所得的凝聚體分形維數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計分析．圖5給出的是凝聚體平均分形維數(shù)隨粒子最大初始能量（Emax）的變化關(guān)系．從圖中看出，當(dāng)能量從500變到4 500時，凝聚體的分形維數(shù)從1．66急劇增大至1．91．但隨著Emax繼續(xù)增大至10 000，分形維數(shù)的增長變得非常緩慢，并逐漸趨于飽和值（1．93）．該飽和值略低于二維圖形的維數(shù)（2．0），說明所形成的凝聚體內(nèi)部仍存在一些未被粒子填充的空隙，此類空隙在薄膜的實際生長過程中可能會由于凝聚體結(jié)構(gòu)的晶化等過程而減小或消失．

圖5 凝聚體分形維數(shù)隨粒子初始能量的變化關(guān)系（Pesc＝0．8）Fig．5 The maximum initial energy dependence of fractal dimension of aggregates（Pesc＝0．8）

3 結(jié) 論

本文在經(jīng)典DLA模型的基礎(chǔ)上加以改進(jìn)，加入粒子在界面運動物理參數(shù)（包括運動中消耗的能量、粒子與凝聚體結(jié)合的能量、粒子在凝聚體表面做邊緣擴散需要的能量等），使得模擬結(jié)果更加接近物理現(xiàn)實．結(jié)果發(fā)現(xiàn)，粒子脫附和邊緣擴散對凝聚體的結(jié)構(gòu)和分形維數(shù)均有影響，但邊緣擴散的影響更大一些．而且在有邊緣擴散的情況下，凝聚體的分形維數(shù)隨著粒子最大初始能量有一復(fù)雜的變化關(guān)系，即分形維數(shù)先隨初始能量呈線性增大，但當(dāng)初始能量增大到一定值之后，分形維數(shù)增長變得非常緩慢并逐漸趨于飽和．該研究結(jié)果為進(jìn)一步理解薄膜生長早期的復(fù)雜過程提供了一些物理基礎(chǔ)和模型．

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