共形陣低副瓣方向圖綜合性能分析

楊永建 樊曉光 王晟達(dá) 馬 健

（空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，陜西 西安710038）

引 言

近年來，基本粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法［1-2］因其理論簡單、易于編程實(shí)現(xiàn)且沒有太多參數(shù)需要調(diào)整，取得了一系列研究成果，各種改進(jìn)的PSO算法［3-5］可克服基本PSO算法早熟收斂、易陷入局部極值的問題.在陣列天線方向圖綜合中，PSO算法也取得了一系列研究成果［6-9］.盡管PSO算法及其改進(jìn)算法在陣列綜合中被證明是有效的，但PSO算法是一類不確定的算法，是一類概率型的全局優(yōu)化算法，其收斂性因其隨機(jī)因素的影響很難從數(shù)學(xué)上進(jìn)行證明.根據(jù)文獻(xiàn)［10］分析表明，PSO算法的收斂性與參數(shù)（如加速因子、迭代次數(shù)）的選取有關(guān)，但所選參數(shù)并不能保證PSO算法一定收斂.文獻(xiàn)［11］從加速因子選取的角度對PSO算法的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，通過其所選的加速因子，可以保證PSO算法達(dá)到收斂，但其所需的迭代次數(shù)并不能精確計(jì)算，這表明即使PSO算法一定收斂，但其所需的迭代次數(shù)并不是固定的，每次試驗(yàn)所需的迭代次數(shù)不盡相同，這從側(cè)面說明當(dāng)?shù)螖?shù)足夠大時(shí)，一定能夠保證PSO算法尋找到最優(yōu)解.但在實(shí)際應(yīng)用中，為了保證算法的有效性，迭代次數(shù)不可能設(shè)置的太大，因此，在迭代次數(shù)固定時(shí)，為了保證PSO算法的穩(wěn)定性和有效性，對其性能分析應(yīng)在統(tǒng)計(jì)意義下進(jìn)行分析.目前，對于PSO算法有效性的分析大多是根據(jù)PSO算法是否能夠達(dá)到要求進(jìn)行分析的［6-8］.

本文通過定義有效性和穩(wěn)定性兩個(gè)性能指標(biāo)，運(yùn)用蒙特卡洛（Monte-Carlo）試驗(yàn)對PSO算法在陣列綜合中的性能從統(tǒng)計(jì)角度進(jìn)行了分析，并分析了不同陣列在運(yùn)用二分粒子群優(yōu)化（Dichotomy Particle Swarm Optimization，DPSO）算法進(jìn)行綜合時(shí)所能達(dá)到的最高性能及適應(yīng)度函數(shù)對算法性能的影響.

1 PSO及DPSO算法

基本PSO算法的迭代公式如下：

式中：ω為慣性權(quán)重；c1和c2為學(xué)習(xí)因子，又稱為加速因子；νki是第i個(gè)粒子當(dāng)前運(yùn)動(dòng)速度向量；xki是第i個(gè)粒子的位置向量；pbest，i是第i個(gè)粒子自身歷史的最優(yōu)位置向量；gbest，i是群體的最優(yōu)位置向量；rand1和rand2是（0，1）之間的隨機(jī)數(shù)；上標(biāo)k表示是第k次的迭代；下標(biāo)d表示向量的第d維.

PSO算法在求解優(yōu)化問題時(shí)，首先隨機(jī)初始化一個(gè)種群，賦予其隨機(jī)的位置和初速度.粒子在整個(gè)搜索空間飛行搜索，通過向自身最優(yōu)和群體最優(yōu)的不斷學(xué)習(xí)，調(diào)整飛行速度，搜尋整個(gè)空間的最優(yōu)解.每次飛行后都會更新個(gè)體最優(yōu)值和群體最優(yōu)值.當(dāng)尋找到最優(yōu)解或達(dá)到最大迭代次數(shù)，算法終止.這時(shí)的群體最優(yōu)值即為求解得到的最優(yōu)解.

文獻(xiàn)［12］詳細(xì)介紹了DPSO算法原理，驗(yàn)證了DPSO算法在陣列綜合中的有效性.DPSO算法主要通過利用粒子本身的隨機(jī)因素產(chǎn)生兩個(gè)不同的分裂粒子，再通過對這兩個(gè)分裂粒子的適應(yīng)度值比較選優(yōu)，選擇具有較強(qiáng)尋優(yōu)能力的粒子作為下一代粒子的本體參與下次的迭代.這符合“優(yōu)勝劣汰”的生物進(jìn)化規(guī)則，將大大提高粒子的尋優(yōu)能力，減小算法所需的迭代次數(shù).

2 低副瓣方向圖性能分析

采用PSO算法或其改進(jìn)算法進(jìn)行低副瓣方向圖綜合時(shí)，主要從算法性能和所綜合的方向圖性能兩個(gè)方面來考慮.主要影響因素有：

1）算法機(jī)制.不同的算法具有不同的收斂速度，且綜合方向圖性能也不盡相同.通常，一些改進(jìn)算法會在原有算法的基礎(chǔ)上提高算法的收斂速度或提高綜合方向圖的性能.

2）適應(yīng)度函數(shù)構(gòu)造.對同一問題構(gòu)造不同的適應(yīng)度函數(shù)會導(dǎo)致綜合方向圖結(jié)果的不同，不同的適應(yīng)度函數(shù)可以從不同的角度對所綜合的方向圖性能進(jìn)行改善.

3）陣列形式.不同的陣列形式有著不同的綜合結(jié)果，分析不同陣列形式所綜合的方向圖性能有利于實(shí)際的決策.

2.1 適應(yīng)度函數(shù)的選取

在綜合低副瓣方向圖時(shí)，適應(yīng)度函數(shù)的選擇應(yīng)根據(jù)綜合方向圖的具體要求進(jìn)行設(shè)計(jì).文獻(xiàn)［6-9］在綜合低副瓣方向圖時(shí)同時(shí)考慮了零陷的設(shè)置，文獻(xiàn)［13］在綜合低副瓣方向圖時(shí)同時(shí)考慮了主瓣寬度的設(shè)置.

式中：α、β分別為權(quán)重系數(shù)；LMSL是最高旁瓣電平；LSLV是參考旁瓣電平；LNUL是最大零陷深度；LNLV是參考零陷深度.式（3）中第一項(xiàng)描述副瓣電平誤差，第二項(xiàng)描述零陷誤差.當(dāng)綜合低副瓣方圖時(shí)，通常取α＝1，β＝0.

式中：LRSL為相對副瓣電平；AHP為主瓣半功率寬度角.在文獻(xiàn)［13］中還給出了式（4）的其他改進(jìn)表達(dá)式，這里不再討論.

從低副瓣綜合的要求來看，并不需要進(jìn)行零陷的設(shè)置，并且如果進(jìn)行多余的零陷設(shè)置可能造成收斂速度的下降.在綜合低副瓣方向圖時(shí)，考慮主瓣寬度是必要的，通常副瓣的降低必然會導(dǎo)致主瓣的展寬，但主瓣的展寬程度在一定范圍內(nèi)是可以修正的.為了直觀地描述綜合后方向圖的性能，同時(shí)便于分析其有效性，這里直接取適應(yīng)度函數(shù)為副瓣電平誤差，有

2.2 基于統(tǒng)計(jì)的性能指標(biāo)設(shè)計(jì)

為了分析PSO算法綜合低副瓣方向圖的性能，從統(tǒng)計(jì)的角度定義以下兩個(gè)指標(biāo)：

定義1：設(shè)Monte-Carlo試驗(yàn)次數(shù)為N，在N次試驗(yàn)結(jié)果中，有m次試驗(yàn)不滿足設(shè)計(jì)要求，則算法的有效性值為

通常設(shè)計(jì)要求是有一個(gè)范圍的，即在誤差在一定范圍內(nèi)時(shí)，可以認(rèn)為試驗(yàn)滿足設(shè)計(jì)要求.這里定義當(dāng)誤差小于0.5dB時(shí)，認(rèn)為試驗(yàn)滿足設(shè)計(jì)要求.

定義2：將N次試驗(yàn)結(jié)果的誤差值的方差定義為算法的穩(wěn)定性值.

穩(wěn)定性值越小，說明算法越穩(wěn)定，粒子的活性較弱；反之，則算法穩(wěn)定性較差，粒子的活性較強(qiáng).粒子活性越強(qiáng)，粒子尋優(yōu)能力越強(qiáng)，但并不能說穩(wěn)定性值越大越有利于實(shí)際問題的解決，太大的穩(wěn)定性值，會造成算法的穩(wěn)定性較差，這在實(shí)際中是不允許的.

3 共形陣低副瓣方向圖綜合性能分析

均勻線陣、均勻圓環(huán)陣、圓柱共形陣和圓錐共形陣的陣列形式如圖1所示，其中圓環(huán)上陣元均勻分布.

在陣元為全向陣元時(shí)，

1）均勻線陣的方向圖函數(shù)為

式中：N為陣元數(shù)目；d為均勻線陣的間隔；an為第n個(gè)陣元的饋電電流幅值大小；βn為饋電相位，可由方向圖指向唯一確定；k0＝2π/λ為自由空間的傳播波數(shù)，λ為波長.

2）均勻圓環(huán)陣的方向圖函數(shù)為

式中：r為圓環(huán)半徑；φn＝2π（n-1）/N （n-1，2，…，N）表示陣元的方位角.

3）圓柱陣［12］的方向函數(shù)為

式中：amn表示第n層圓環(huán)上第m個(gè)陣元的饋電電流幅值；βmn為饋電相位；φmn表示該陣元的方位角；為相鄰兩層圓環(huán)間的間距.

4）圓錐陣的方向圖函數(shù)為

式中：θn，φmn分別表示第n層陣元的俯仰角、第n層第m個(gè)陣元的方位角；rn為圓錐面上任意陣元到參考點(diǎn)的距離.

圖1 陣列建模

仿真1 陣列綜合中DPSO算法與PSO算法性能對比.仿真參數(shù)設(shè)置：Monte-Carlo試驗(yàn)次數(shù)N為50次，粒子規(guī)模為30，分別用DPSO算法和PSO算法對16元均勻線陣低副瓣方向圖進(jìn)行綜合，參考副瓣電平為-30dB，最大迭代次數(shù)為50次.適應(yīng)度函數(shù)如式（5）所示.

仿真結(jié)果：在50次 Monte-Carlo試驗(yàn)后，各次試驗(yàn)適應(yīng)度函數(shù)的最小值所構(gòu)成的曲線如圖2所示.

仿真分析：從圖2可以看出，DPSO算法的平均最小適應(yīng)度值為-0.724dB，PSO 算法的為2.417 8dB.DPSO算法最小適應(yīng)度值小于0.5dB的次數(shù)為47次，其有效性值為94%，PSO算法的為2次，其有效性值為4%.DPSO算法最小適應(yīng)度值的方差為0.586 4，PSO算法的為3.011 3.可見DPSO算法其有效性和穩(wěn)定性要大大優(yōu)于PSO算法，是一種有效且穩(wěn)定的算法.

圖2 線陣低副瓣綜合時(shí)，適應(yīng)度函數(shù)的最小值隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的變化曲線

仿真2 DPSO算法在共形陣綜合中的性能分析.

仿真參數(shù)設(shè)置：Monte-Carlo試驗(yàn)次數(shù)N為50次，粒子規(guī)模為30，參考副瓣電平為-30dB，最大迭代次數(shù)為50次.適應(yīng)度函數(shù)如式（5）所示，主瓣寬度不要求.

仿真結(jié)果：在50次 Monte-Carlo試驗(yàn)后，各次試驗(yàn)適應(yīng)度函數(shù)的最小值所構(gòu)成的曲線如圖3所示.

仿真分析：在采用式（5）的適應(yīng)度函數(shù)時(shí)，由圖3可以得出以下結(jié)論：

圖3 三種陣列低副瓣綜合時(shí)，適應(yīng)度函數(shù)的最小值隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的變化曲線

1）圓柱共形陣采用DPSO算法綜合低于-30dB的方向圖時(shí)，其有效性值為100%，可達(dá)到的最低副瓣電平約為-59dB，但此時(shí)有效性值僅為2%.副瓣電平的均值約為-37.6dB，若綜合副瓣電平低于-37.6dB的方向圖，其有效性值為58%.穩(wěn)定性值約為41.2，其穩(wěn)定性較差，粒子的活性較好.因此，如果對副瓣電平要求比較低，但最低不超過-59dB時(shí)，可以在增加迭代次數(shù)的條件下，使圓柱共形陣的副瓣電平達(dá)到期望值.

2）圓環(huán)陣采用DPSO算法綜合低于-30dB的方向圖時(shí)，其有效性值為92%，可達(dá)到的最低副瓣電平約為-45.6dB，但此時(shí)有效性值僅為2%.副瓣電平的均值約為-36.7dB，若綜合副瓣電平低于-36.7dB的方向圖，其有效性值為64%.穩(wěn)定性值約為27.4.因此，如果對副瓣電平要求比較低，但不低于-45.6dB時(shí)，可以增加迭代次數(shù)，使副瓣電平達(dá)到期望值.

3）圓錐共形陣采用DPSO算法綜合低于-30dB的方向圖時(shí)，其有效性值為92%，可達(dá)到的最低副瓣電平約為-105dB，但此時(shí)有效性值僅為2%.副瓣電平的均值約為-45dB，若綜合低于-45dB的方向圖，其有效性值僅為10%.穩(wěn)定性值約為296.3.因此，如果要求副瓣電平低于-105dB，其有效性值非常有可能為0，因?yàn)榉€(wěn)定性太差.

通過以上分析可以得出，在陣列方向圖綜合中，DPSO算法的綜合性能不僅與最大迭代次數(shù)有關(guān)，而且與陣列形式有著密切的關(guān)系.其中圓錐共形陣運(yùn)用DPSO算法時(shí)所能達(dá)到的副瓣電平很低，但其主瓣寬度展寬非常嚴(yán)重，需要對其主瓣寬度進(jìn)行控制.

仿真3 適應(yīng)度函數(shù)對DPSO算法性能影響分析.

仿真參數(shù)設(shè)置：Monte-Carlo試驗(yàn)次數(shù)N為50次，粒子規(guī)模為30，參考副瓣電平為-30dB，最大迭代次數(shù)為50次，圓柱、圓錐共形陣陣列形式與仿真2相同.適應(yīng)度函數(shù)為式（5）取絕對值.

仿真結(jié)果：在50次 Monte-Carlo試驗(yàn)后，各次試驗(yàn)適應(yīng)度函數(shù)的最小值所構(gòu)成的曲線如圖4所示.

圖4 共形陣低副瓣方向圖綜合時(shí)，適應(yīng)度函數(shù)的最小值隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的變化曲線

仿真分析：在對適應(yīng)度函數(shù)取絕對值后，由圖4可以得出以下結(jié)論：

1）圓柱共形陣的平均最小適應(yīng)度值約為0.002 6dB，其 穩(wěn) 定 性 值 為 0.000 4，有 效 性 為100%.

2）圓錐共形陣的平均最小適應(yīng)度值約為0.053 7dB，其穩(wěn)定性值為0.079 0，有效性為98%.

對比仿真2中DPSO算法在圓柱、圓錐共形陣的性能，可以看出DPSO算法的性能與適應(yīng)度函數(shù)的構(gòu)造有密切的關(guān)系.所采用的兩種適應(yīng)度函數(shù)從不同方面對算法的性能進(jìn)行了說明：若對適應(yīng)度函數(shù)不取絕對值，則有利于分析DPSO算法在不同副瓣電平要求下所能達(dá)到的性能；若對適應(yīng)度函數(shù)取絕對值，則有利于從實(shí)際要求的角度分析DPSO算法的性能.

從以上三個(gè)仿真可以看出，運(yùn)用DPSO算法進(jìn)行陣列方向圖綜合時(shí)，DPSO算法的性能可從有效性、穩(wěn)定性兩個(gè)方面進(jìn)行說明.DPSO算法的性能與迭代次數(shù)、陣列形式和適應(yīng)度函數(shù)的構(gòu)造有著密切的關(guān)系.

4 結(jié) 論

文章通過定義有效性值和穩(wěn)定性值兩個(gè)參數(shù)對PSO算法在陣列綜合中的性能從統(tǒng)計(jì)的角度進(jìn)行了分析.通過分析PSO算法與DPSO算法在線陣低副瓣綜合中的性能，說明了DPSO算法的高效性、有效性和穩(wěn)定性.通過分析圓環(huán)陣、圓錐陣和圓柱陣低副瓣綜合中的性能，說明了DPSO算法與陣列形式密切相關(guān)，有利于陣列形式的選擇.通過對適應(yīng)度函數(shù)取絕對值，分析了DPSO算法在圓柱陣和圓錐陣低副瓣綜合中的性能，說明了適應(yīng)度函數(shù)對DPSO算法性能的影響.仿真分析表明所定義的兩個(gè)性能指標(biāo)完全可以從實(shí)際應(yīng)用角度分析算法性能及陣列形式的選擇，具有較強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用指導(dǎo)意義.

［1］SHI Yuhui，EBERHART R C.Emprical study of particle swarm optimization［C］∥Proc of the Congress on Evolutionary Computation.Washington D C，1999：1945-1950..

［2］BOERINGER D W，WERNER D H.Particle swarm optimization versus genetic algorithms for phased array synthesis［J］.IEEE Trans on Antennas and Propagation，2004，52（3）：771-779.

［3］SHI Y，EBERHART R C.A modified particle swarm optimizer［C］∥Proceeding of the IEEE Congress on Evolutionary Computation（CEC 1998）.Piscataway，1998：69-73.

［4］EBERHART R C，SHI Y.Comparing inertia weights and constriction factors in particle swarm optimization［C］∥ Proceedings of the 2000Congress on Evolutionary Computation.La Jolla，2000，1：84-88.

［5］EBERHART R C，SHI Y.Fuzzy adaptive particle swarm optimization［C］∥ Proceedings of the Congress on Evolutionary Computation.Seoul，2001，1：101-106.

［6］焦永昌，楊 科，陳勝兵，等.粒子群優(yōu)化算法用于陣列天線方向圖綜合設(shè)計(jì)［J］.電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2006，21（1）：16-20.JIAO Yongchang，YANG Ke，CHEN Shengbing.Application of particle swarm optimization in antenna array pattern synthesis［J］.Chinese Journal of Radio Science，2006，21（1）：16-20.（in Chinese）

［7］金榮洪，袁智皓，耿軍平.基于改進(jìn)粒子群算法的天線方向圖綜合技術(shù)［J］.電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2006，21（6）：873-877.JIN Ronghong，YUAN Zhihao，GENG Junping，et al.The pattern synthesis of antennas based on a modified particle swarm optimization algorithm［J］.Chinese Journal of Radio Science，2006，21（6）：873-877.（in Chinese）

［8］劉 東，馮全源.基于停滯檢測粒子群算法的陣列天線方向圖綜合［J］.電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2009，24（4）：697-700.LIU Dong，F(xiàn)ENG Quanyuan.Pattern synthesis of antennas based on modified PSO algorithm with stagnation dection［J］.Chinese Journal of Radio Science，2009，24（4）：697-700.（in Chinese）

［9］肖龍帥，黃 華，夏建剛，等.基于近鄰粒子群優(yōu)化的陣列天線方向圖綜合［J］.通信技術(shù)，2009，42（9）：52-53.XIAO Longshuai，HUANG Hua，XIA Jiangang，et al.Array antennas beam pattern synthesis based on neighborhood particle swarm optimization ［J］.Communications Technology，2009，42（09）：52-53.（in Chinese）

［10］高 尚，楊靜宇.群智能算法及其應(yīng)用［M］.中國水利水電出版社，2006：112-117.

［11］張 瑋，王華奎.粒子群算法穩(wěn)定性的參數(shù)選擇策略分析［J］.系紡仿真學(xué)報(bào)，2009，21（14）：4339-4334.ZHANG Wei，WANG Huakuai.Analysis on parameter selection for stability of particle swarm optimization algorithm［J］.Journal of System Simulation，2009，24（4）：697-700.（in Chinese）

［12］楊永建，王晟達(dá)，馬 健，等.基于改進(jìn)粒子群算法的共形陣列天線綜合［J］.現(xiàn)代雷達(dá)，2012，34（12）：64-67.YANG Yongjian，WANG Shengda，MA Jian，et al.Conformal antenna array beam pattern synthesis based on improved particle swarm optimization ［J］.Modern Radar，2012，34（12）：64-67.（in Chinese）

［13］TIAN Yubo，QIAN Jian.Improve the performance of a linear array by changing the spaces among array elements in terms of genetic algorithm［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2005，53：2226-2230.