“不空不滿”問題辨析

郭翠敏

學(xué)習(xí)了不等式組之后，遇到“不空不滿”問題，同學(xué)們因?qū)l件把握不準(zhǔn)而出現(xiàn)錯誤，現(xiàn)就不同條件不同解法問題加以辨析。

例1：某旅游團(tuán)入住旅游景區(qū)的一家旅店，如果每間客房住4名游客就有20人無法入??；如果每間客房住6名游客，就有一間不空頁不滿。這家旅店共有多少間客房？

分析：設(shè)這家旅店共有x間客房，根據(jù)“如果每間客房住4名游客，就有20人無法入住”得出總?cè)藬?shù)為（4x+20）人，再根據(jù)“如果每間客房住6名游客，就有一間不空頁不滿?！贝_定兩個不等關(guān)系。不空：最后一間人數(shù)＞0，不滿：最后一間人數(shù)＜6.最后一間人數(shù)為：4x+20－6（x－1），綜合以上兩個不等關(guān)系列出不等式組求出其解集中的正整數(shù)解得出本題的解。

解：設(shè)這家旅店有x間客房，由題意得：

解的10＜x＜13

∵x是正整數(shù)

∴x=11或12

答：這家旅店有11或12間客房。

這道題同學(xué)們還提出了另外一種解法：因為最后一間“不空也不滿”，假設(shè)都住滿的人數(shù)＞總?cè)藬?shù)＞已經(jīng)住滿的人數(shù)，可列不等式組

這種解法同樣可得10

例2：把一籃蘋果分給幾個學(xué)生，若每人分4個蘋果則剩下3個；若每人分6個蘋果則最后一個學(xué)生最多分得3個。求學(xué)生人數(shù)和蘋果數(shù)？

分析：由于最后一個學(xué)生最多分3個，所以0≤最后一個學(xué)生分得的蘋果≤3

解：設(shè)學(xué)生為x人，則蘋果數(shù)為（4x+3）個，由題意得，

0≤4x+3-6（x-1）≤3

解得：3≤x＜4.5

∵x為正整數(shù)

∴x=3或4

∴4x+3=15或19

答：學(xué)生3名蘋果15個或?qū)W生4名蘋果19個。

但如果對條件不加分析，按照第二種方法做會出現(xiàn)不同結(jié)果導(dǎo)致錯誤。

解：設(shè)學(xué)生為x人，

解得：1.5

∵x為正整數(shù)

∴x=2或3或4

這樣出現(xiàn)了3個結(jié)果而準(zhǔn)確結(jié)果是2個，原因是沒把握“最后一個學(xué)生最多分得3個”這個條件，和“最后一個學(xué)生分到蘋果但不足6個”是不一樣的，它們的范圍不一樣，第二種做法擴(kuò)大了最后一個學(xué)生分得蘋果數(shù)的范圍而多出一個解。如果按第二種思路解題也可以但要把范圍搞具體了，具體做法如下：

x取正整數(shù)

∴x=3或4

還有一類“不空不滿”問題也需要我們謹(jǐn)慎思考準(zhǔn)確找出不等關(guān)系才能做對。題目如下：某校初一組織旅游，需要租用客車。若租用50座的客車若干輛正好坐滿；若租用60座的則可少租一輛，）且保證前幾輛都坐滿的情況下，最后一輛還剩下不到15個空座位。問旅游的人數(shù)是多少？

分析：若想得到人數(shù)需求出租用50座客車的輛數(shù)，求輛數(shù)要列出不等式組求出正整數(shù)解。有兩種思路，分別由最后一輛車的人數(shù)和空座的范圍列出不等式組求解。

設(shè)租用50座的客車x輛，根據(jù)題意得：

方法⑴：60－45＜50x-60（x-2）＜60

解得：6＜x＜7.5

∵x是正整數(shù)

∴x=7

∴50x=50×7=350

說明：此方法是通過人數(shù)的范圍求解的。

方法⑵：0＜60（x-1）-50x＜15

解得：6＜x＜7.5

∵x是正整數(shù)

∴x=7

∴50x=50×7=350

答：旅游人數(shù)為350人。

說明：此方法是由空座位的范圍求解。

綜上所述，“不空不滿”問題條件變化多樣，所以要謹(jǐn)慎審題抓準(zhǔn)條件列出不等式組得出正確解，切記不要想當(dāng)然，思路要準(zhǔn)才能把握好此類問題。

（河北石家莊外國語學(xué)校）