李師煜,高武軍,劉且根
(1.江西理工大學(xué)理學(xué)院,江西贛州341000;2.南昌大學(xué)電子信息工程系,南昌330031)
非Lipschitz條件下由一般鞅驅(qū)動(dòng)的倒向隨機(jī)微分方程解的存在性
李師煜1,高武軍1,劉且根2
(1.江西理工大學(xué)理學(xué)院,江西贛州341000;2.南昌大學(xué)電子信息工程系,南昌330031)
經(jīng)典的倒向隨機(jī)微分方程以布朗運(yùn)動(dòng)做為干擾源,布朗運(yùn)動(dòng)是一種理想化的隨機(jī)模型,從而使倒向隨機(jī)微分方程的應(yīng)用受到了限制.文中研究了以連續(xù)局部鞅為干擾源的倒向隨機(jī)微分方程,在生成元滿足一種非Lipschitz條件下,通過(guò)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)列的方法,利用Lebesgue's控制收斂定理和常微分方程的比較定理,證明了其解是存在的并且是唯一的,對(duì)經(jīng)典的倒向隨機(jī)微分方程進(jìn)行了推廣.
連續(xù)局部鞅;倒向隨機(jī)微分方程;解的存在性和唯一性
Pardoux和Peng[1]在1990年給出了非線性形式的倒向隨機(jī)微分方程并且在Lipschitz條件下證明了解的存在性和唯一性,從此之后,倒向隨機(jī)微分方程(BSDE)理論和應(yīng)用得到了飛快發(fā)展,倒向隨機(jī)微分方程現(xiàn)在已經(jīng)成為研究隨機(jī)最優(yōu)控制、數(shù)理金融、偏微分方程、隨機(jī)微分效用等的強(qiáng)大工具.
經(jīng)典的倒向隨機(jī)微分方程理論以布朗運(yùn)動(dòng)為干擾源,而布朗運(yùn)動(dòng)是一種理想化的隨機(jī)模型,致使經(jīng)典的倒向隨機(jī)微分方程的應(yīng)用受到了限制.一方面,許多學(xué)者研究了以其他隨機(jī)過(guò)程為干擾源的倒向隨機(jī)微分方程,其中李娟[2]和王湘君[3]分別研究了以連續(xù)半鞅和連續(xù)局部鞅為干擾源的倒向隨機(jī)微分方程,在系數(shù)滿足Lipschitz條件下證明了解的存在性和唯一性,其它研究工作可參見(jiàn)文獻(xiàn)[4-6].另一方面,很多學(xué)者試圖弱化生成元的Lipschitz條件和終端條件的可積性來(lái)改進(jìn)Pardoux和Peng的關(guān)于解的存在唯一性,做過(guò)這方面研究的有:Fan[7-8],Lepeltier[9],Man[10],Wang[11-12],Chen[13],特別地,F(xiàn)an[8]給出了一種非Lipschitz條件下解的存在唯一性結(jié)果.文中首先研究由連續(xù)局部鞅驅(qū)動(dòng)的倒向隨機(jī)微分方程在Fan[8]非Lipschitz條件下解的存在唯一性,通過(guò)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)列的方法,利用Lebesgue's控制收斂定理和常微分方程的比較定理,證明了其解是存在的并且是唯一的,對(duì)經(jīng)典倒向隨機(jī)微分方程進(jìn)行了推廣.
令(Ω,F(xiàn),{Ft}t≥0,P)為一個(gè)帶信息流的完備的概率空間,且流{Ft}t≥0滿足通常條件,記P為可料σ域.M={Mt,F(xiàn)t∶0≤t<∞}為一個(gè)連續(xù)局部鞅,并且M0=0,
首先給出幾個(gè)相關(guān)記號(hào):
(1)用LM(0,T;Rn)表示所有使得的Ft-適應(yīng)的Rn值的過(guò)程x=x(s)的集合.當(dāng)n=1時(shí)簡(jiǎn)記為L(zhǎng)M.
(2)用L′M(0,T;Rn×d)表示所有使得的Ft可料的Rn×d值的過(guò)程y=y(s)的集合.當(dāng)n=d=1時(shí)簡(jiǎn)記為
(3)用L2(Ω,F(xiàn)T,P;Rn)表示所有滿足+∞的FT-可測(cè)的Rn值的隨機(jī)變量ξ的集合.當(dāng)n= 1時(shí)簡(jiǎn)記為L(zhǎng)2(Ω,F(xiàn)T,P).
現(xiàn)在給出以下的主要假設(shè):
(H1)ξ∈L2(Ω,F(xiàn)T,P);
(H2)M={Mt,F(xiàn)t∶0≤t<∞}為具有零初值的連續(xù)局部鞅,具有可料表示性,且
其中,u(·),v(·)∶[0,T]→R+,且滿足
其中,α(·),β(·)∶[0,T]→R+且ρ(·,·)∈S[T,a(·),b(·)],S[T,a(·),b(·)]={k(·,·)∶[0,T]×R+→R+},且滿足下面的兩個(gè)條件:
(1)對(duì)固定的t,k(t,·)是連續(xù)的,單調(diào)不減的凹函數(shù),k(t,0)=0,k(t,u)≤α(t)+β(t)u.
(2)微分方程u′(t)=-k(t,u),t∈[0,T],u(T)=0有唯一的解u(t)=0,t∈[0,T].
其中,ψ(·,·)∈S[T,a(·),b(·)],u(·),v(·)∶[0,T]→ R+,且是非負(fù)的Ft可測(cè)的過(guò)程,且滿足E[M>t)2]<+∞.
以下,我們將討論如下形式的一維倒向隨機(jī)微分方程:
其中,x(s)為Ft適應(yīng)的過(guò)程,y(s)為Ft可料的過(guò)程,X∈L2(Ω,F(xiàn)T,P),{Mt,F(xiàn)t;0≤t<+∞}滿足(H2),函數(shù)f∶Ω×[0,T]×R×R→R滿足(H3).
定理1假設(shè)0<T<+∞,函數(shù)f∶Ω×[0,T]×R×R→R滿足(H5)和(H6),則倒向隨機(jī)微分方程(1)存在唯一一組適應(yīng)解(x(s),y(s))0≤t≤T∈LM×L′M.
為了證明定理1,我們還需要用到下面的引理.
引理1假設(shè)0<T<+∞,f滿足(H7),(yt,zt)t∈[0,T]是倒向隨機(jī)微分方程(1)的解,那么存在兩個(gè)正數(shù)C1和C2,使得對(duì)t∈[0,T]
引理2假設(shè)0<T<+∞,ξ∈L2(Ω,F(xiàn)T,P),f滿足(H4)和(H6)成立,那么倒向隨機(jī)微分方程(1)存在唯一的解.
現(xiàn)在我們假設(shè)0<T<+∞,ξ∈L2(Ω,F(xiàn)T,P),f滿足(H5)和(H6),構(gòu)造Picard序列如下:設(shè)x0(t)=0,{xn(t),yn(t)∶0≤t≤T}∈LM×LM′,由如下的倒向隨機(jī)微分方程所定義:
引理3假設(shè)0=T0<T1<T2<…<TN-1<TN,在定理1的假設(shè)下,對(duì)t∈[TN-1,TN],n,m≥1則
引理4在定理1的假設(shè)下,則存在常數(shù)K≥ 0,使得對(duì)n≥1,t∈[TN-1,TN],有成立.
注:以上4個(gè)引理的證明參見(jiàn)文獻(xiàn)[7].
存在性:定義一個(gè)函數(shù)列{φn(t)}n≥1如下:
由引理4,對(duì)t∈[TN-1,TN],可得:
進(jìn)一步可得,
0≤φn+1(t)≤φn(t)≤…≤φ1(t)≤φ0(t)≤K
因此,函數(shù)列{φn(t)}n≥1的極限存在,設(shè)其為φ(t).
對(duì)式(4)取極限,由Lebesgue's控制收斂定理可得,
由假設(shè)(H5)可得,φ(t)=0,t∈[TN-1,T].
因此,
用TN-2,TN-1和yTN-1替換引理1-4中的TN-1,T和ξ,重復(fù)以上證明過(guò)程,即知At∈[0,T],(yt,zt)是倒向隨機(jī)微分方程(1)的解.
由引理1,可得
用TN-2和TN-1分別替換TN-1和T,重復(fù)以上證明過(guò)程,即知在整個(gè)區(qū)間[0,T],解是唯一的.
文中研究了以連續(xù)局部鞅為干擾源的倒向隨機(jī)微分方程,在生成元滿足一種比Lipschitz條件更弱的條件下,證明了解的存在性和唯一性,對(duì)經(jīng)典的倒向隨機(jī)微分方程進(jìn)行了推廣,從而拓廣了其在其它領(lǐng)域中的應(yīng)用.此類(lèi)倒向隨機(jī)微分方程還有很多值得研究的地方,后續(xù)的研究可以從以下兩方面進(jìn)行:
(1)可以開(kāi)展對(duì)此類(lèi)倒向隨機(jī)微分方程性質(zhì)的研究,比如比較定理.
(2)可以討論此類(lèi)倒向隨機(jī)微分方程在金融衍生產(chǎn)品期權(quán)定價(jià)的應(yīng)用.
[1]Pardoux E,Peng S.Adapted solution of a backward stochastic differential equation[J].Systems&Control Letters,1990,14(1): 55-61.
[2]李娟.由一般鞅驅(qū)動(dòng)的倒向隨機(jī)微分方程[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2005,40(4):70-76.
[3]王湘君.由連續(xù)半鞅驅(qū)動(dòng)的倒向隨機(jī)微分方程[J].數(shù)學(xué)雜志,1999,19 (1):45-50.
[4]李師煜,高武軍.由連續(xù)局部鞅驅(qū)動(dòng)的倒向隨機(jī)微分方程的解[J].江西理工大學(xué)學(xué)報(bào),2009,30(5):71-73.
[5]Chen S.Lp solutions of one-dimensional backward stochastic differential equations with continuous coefficients[J].Stochastic Analysis and Applications,2010(28):820-841.
[6]Kobylanski M.Backward stochastic differential equations and partial differential equations with quadratic growth[J].Annals of Probability,2000(28):558-602.
[7]Fan S J,Jiang L.Finite and infinite time interval BSDEs with non-Lipschitz coefficients[J].Statistics&probability letters,2010, 80(11):962-968.
[8]Fan S J,Jiang L,Tian D J.One-dimensional BSDEs with finite and infinite time horizons[J].Stochastic Processes and their Applications, 2011,121(3):427-440.
[9]Lepeltier J P,San Martin J.Backward stochastic differential equations with continuous coefficient[J].Statistics&Probability Letters,1997,32(4):425-430.
[10]Mao X.Adapted solutions of backward stochastic differential equations with non-Lipschitz coefficients[J].Stochastic Processes and Their Applications,1995,58(2):281-292.
[11]Wang Y,Huang Z.Backward stochastic differential equations with non-Lipschitz coefficients[J].Statistics&Probability Letters,2009,79(12):1438-1443..
[12]Wang Y,Wang X.Adapted solutions of backward SDE with non-Lipschitz coefficients[J].Chinese Journal of Applied Probability and Stastistics,2003,19(3):245-251.
[13]Chen Z,Wang B.Infinite time interval BSDEs and the convergenceofg-martingales[J].Journal-Australian Mathematical Society Series A,2000,69(2):187-211.
Adapted solutions of backward stochastic differential equations driven by general martingale under non-Lipschitz condition
LI Shi-yu1,GAO Wu-jun1,LIU Qie-gen2
(1.Faculty of Science,Jiangxi University of Sciences and Technology,Ganzhou 341000,China;2.Department of Electronic and Information Engineering,Nanchang University,Nanchang 330031,China)
The classical backward stochastic differential equations(BSDE)theory is taken the Brownian motion as the noise source,but the Brown motion is one kind of extreme idealized model,which causes limitations of the BSDE theory in application.This paper studies the backward stochastic differential equation which is taken continuous local martingale as the noise source.The authors of the paper conclude a general existence and uniqueness of the solutions under non-Lipschitz condition on the generator by adopting the construction of function sequence,Lebesgue's dominated convergence theorem and the comparison of ordinary differential equation.The authors have also conducted a substantial extension of the classical backward stochastic differential equations.
continuous local martingale;backward stochastic differential equation;existence and uniqueness of the solution
O211.6
A
2095-3046(2013)03-0093-04
2013-01-28
國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61262084)
李師煜(1983-),男,講師,主要從事隨機(jī)分析等方面的研究,E-mail:lishiyu83@163.com.