兩類(lèi)矩陣多項(xiàng)式的逆矩陣的求法

賴(lài)新興，肖清嵐

（江西理工大學(xué)理學(xué)院，江西贛州341000）

兩類(lèi)矩陣多項(xiàng)式的逆矩陣的求法

賴(lài)新興，肖清嵐

（江西理工大學(xué)理學(xué)院，江西贛州341000）

矩陣的求逆是矩陣論中研究的重要問(wèn)題，尤其是一些矩陣多項(xiàng)式的求逆問(wèn)題．在求矩陣多項(xiàng)式的逆矩陣過(guò)程中，研究發(fā)現(xiàn)一些特殊矩陣多項(xiàng)式與其逆之間不僅有密切聯(lián)系，而且有特殊的結(jié)構(gòu)或形式．文中對(duì)兩類(lèi)矩陣多項(xiàng)式的逆矩陣求法進(jìn)行了探討，研究求逆的一些方法，得出兩類(lèi)矩陣多項(xiàng)式的求逆公式，并且對(duì)相關(guān)結(jié)論分別舉例加以應(yīng)用．使得這兩類(lèi)矩陣多項(xiàng)式求逆變得簡(jiǎn)單明了，相關(guān)問(wèn)題也可以迎刃而解．對(duì)豐富矩陣多項(xiàng)式的求逆理論具有重要意義，對(duì)學(xué)習(xí)求逆知識(shí)也具有借鑒作用．

矩陣；矩陣多項(xiàng)式；逆矩陣

0 引言

矩陣是高等代數(shù)的主要研究對(duì)象之一，在自然科學(xué)、工程技術(shù)乃至社會(huì)科學(xué)中均廣泛應(yīng)用.而矩陣的求逆又是矩陣?yán)碚摦?dāng)中非常重要的問(wèn)題，由于其解法靈活，綜合性較強(qiáng)，能力要求較高，解決這類(lèi)問(wèn)題，要掌握各數(shù)學(xué)分支知識(shí)，并能綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)技能，靈活選擇合理的解題方法.在數(shù)學(xué)上，靈活運(yùn)用從特殊到一般的思想，可以使很多難以解釋的問(wèn)題得到很好的解決.

關(guān)于矩陣的逆，在《高等代數(shù)》[1]或《線(xiàn)性代數(shù)》[2]的學(xué)習(xí)中就有了一定的認(rèn)識(shí)，如何求逆矩陣一直是研究者探討的問(wèn)題.2002年黃光鑫[3]考慮伴隨矩陣的情形得到一種求可逆矩陣新方法.2007年王麗霞[4]總結(jié)和歸納了求逆矩陣的幾種求法.2008年邵逸民[5]對(duì)幾類(lèi)特殊矩陣的逆矩陣問(wèn)題進(jìn)行了研究，討論了它們可逆的條件，分析了這些矩陣與其逆矩陣之間的關(guān)系，并給出了其逆矩陣的特征或求逆矩陣的公式.2010年王美蓮和何翠竹[6]利用冪零矩陣和嚴(yán)格上三角形矩陣的性質(zhì)得到了求其逆矩陣的一個(gè)簡(jiǎn)單公式，這為解決矩陣方冪的計(jì)算問(wèn)題提供了方便.2011年蔣加清[7-8]利用多項(xiàng)式矩陣的初等行變換給出的r-循環(huán)矩陣和對(duì)稱(chēng)r-循環(huán)矩陣求逆的簡(jiǎn)便算法.同時(shí)很多文獻(xiàn)對(duì)逆矩陣的其它特點(diǎn)和性質(zhì)也進(jìn)行了相關(guān)研究，已有諸多研究成果[9-15].但是對(duì)于一些矩陣多項(xiàng)式求逆的問(wèn)題卻一直沒(méi)有很好的方法，文中討論了兩類(lèi)矩陣多項(xiàng)式的求法，使得這兩類(lèi)矩陣多項(xiàng)式求逆的問(wèn)題迎刃而解.

1 主要結(jié)果

定理1若n階矩陣A滿(mǎn)足A3-kE=0，矩陣B滿(mǎn)足B=A2+mA+nE，m、n、k滿(mǎn)足m3+k2+m3k-3mnk≠0，記d=n3+k2+m3k-3mnk，則B可逆，且有表達(dá)式：

證明由于A(yíng)3＝kE，從而A4-kA=0，設(shè)B的逆矩陣為aA2+bA+cE，代入BB-1=E，則有（A2+mA+ nE）（aA2+bA+cE）=E.將A4-kA=0代入，化簡(jiǎn)得到（c+bm+an）A2+（ak+bn+mc）A+（amk+bk+cn）E=E.將系數(shù)進(jìn)行對(duì)比得到：

與之對(duì)應(yīng)有矩陣形式

當(dāng)d=n3+k2+m3k-3mnk≠0，可以解出

得出B是可逆陣，且

得證.

定理2若n階矩陣A滿(mǎn)足A3-mA2-nE＝0，矩陣B滿(mǎn)足B=A2+kE，其中m2k2+k3-2mnk+n2≠0，記Ω＝m2k2+k3-2mnk+n2，則B可逆，且

證明由于A(yíng)3-mA2-nE＝0，從而A4-mA3-nA＝0，則有A3=mA2+nE，A4=mA3+nA＝m2A2+nA+ mnE，設(shè)B的逆矩陣為aA2+bA+cE，代入BB-1=E，則有（A2+kE）（aA2+bA+cE）=E.將A3=mA2+nE，A4= mA3+nA=m2A2+nA+mnE代入，化簡(jiǎn)得到

（m2a+ka+mb+c）A2+（na+kb）A+（mna+nb+kc）E=E.

將系數(shù)進(jìn)行對(duì)比

與之對(duì)應(yīng)有矩陣形式

當(dāng)Ω＝m2k2+k3-2mnk+n2≠0，可以解出：

則可以得出B是可逆陣，且

得證.

2 舉例應(yīng)用

例1已知n階矩陣B＝A2+2A-E，其中n階矩陣A滿(mǎn)足A3＝3E，試驗(yàn)證B可逆并求其逆矩陣.

解這時(shí)k=3，m=2，n=-1，計(jì)算得d=n3+k2+ m3k-3mnk=50≠0，

由定理1可知矩陣B可逆，且

容易驗(yàn)算：

例2對(duì)于n階矩陣B滿(mǎn)B＝A2+2E，其中n階矩陣A滿(mǎn)足A3-A2-2E=0，試求B的逆矩陣.

解這里m=1，n=2，k=2，計(jì)算出Ω=m2k2+k3-2mnk+n2=8≠0，

由定理2可知矩陣B是可逆的，且

3 結(jié)論

定理1是針對(duì)矩陣A滿(mǎn)足一個(gè)特殊三次方程，矩陣B是關(guān)于A(yíng)的一般二次矩陣多項(xiàng)式，求B-1的問(wèn)題；定理2則是針對(duì)矩陣A滿(mǎn)足一般三次方程，矩陣B是關(guān)于A(yíng)的一個(gè)特殊二次矩陣多項(xiàng)式，求B-1的問(wèn)題，給出了這兩類(lèi)矩陣多項(xiàng)式求逆的具體方法，其它矩陣多項(xiàng)式求逆的問(wèn)題也可以仿照此方法得以解決.

[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社，1989.

[2]劉二根，謝霖銓.線(xiàn)性代數(shù)[M].南昌:江西高校出版社，2010.

[3]黃光鑫.一種關(guān)于求可逆矩陣的新方法[J].重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，19(1):35-36.

[4]王麗霞.逆矩陣的幾種求法[J]．雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，23(2): 185-188.

[5]邵逸民.幾類(lèi)特殊矩陣的可逆性及其逆矩陣[J]．通化師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008(12):5-6.

[6]王美蓮，何翠竹.一類(lèi)特殊矩陣的逆矩陣的特點(diǎn)及求逆公式[J].忻州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，26(2):41-43.

[7]蔣加清.關(guān)于循環(huán)矩陣求逆的一種快速算法[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2011(1):88-90.

[8]蔣加清.兩類(lèi)循環(huán)矩陣求逆的簡(jiǎn)便算法[J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，37(4):44-48.

[9]鄧義華.一類(lèi)矩陣的逆矩陣和特征值問(wèn)題[J]．洛陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005(2):33-34.

[10]鄧義華.循環(huán)矩陣求逆的兩個(gè)簡(jiǎn)便方法[J].云南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，25(5):1-2.

[11]楊明順.三角矩陣求逆的一種方法[J].渭南師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2003，18(5):12-13.

[12]張帆，王金林.一類(lèi)中心對(duì)稱(chēng)矩陣反問(wèn)題的最小二乘解[J]．江西理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，33(1):86-89.

[13]陳芳，徐仲.求分塊三對(duì)角矩陣和分塊周期三對(duì)角矩陣逆矩陣的快速算法[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2005，32(12):183-187.

[14]余承依，陳躍輝.周期三對(duì)角矩陣逆的一種新算法[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2010，40(22):192-198.

[15]周夢(mèng)，張玉俊.關(guān)于兩個(gè)矩陣之和逆陣的討論[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27(5):149-151.

The inverse calculation of two types of matrix polynomials

LAI Xin-xing,XIAO Qing-lan
(Faculty of Science,Jiangxi University of Science and Technology,Ganzhou 341000,China)

The inverse calculation of matrix is an important problem in matrix theory,particularly the problem of the inversion of matrix polynomials.It is found that there are not only close ties but also special structures or forms between several kinds of special matrix and their inverse matrix.In the paper,inverse matrices solving methods of two classes of matrix polynomials are discussed to draw the formula of inverse matrices polynomials, and to put the results into real use.This study has certain important significance for solving relevant problems and the conclusion of it is also a good reference to further study of the inversion calculation of matrix polynomials．

matrix;matrix polynomial;inverse matrix

O151

A

2095-3046（2013）03-0090-03

2012-08-01

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61064006)；江西省教育廳青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目(GJJ10155)；江西理工大學(xué)科研基金項(xiàng)目計(jì)劃(jxxj12065)

賴(lài)新興（1981-），男，講師，主要從事代數(shù)等方面的研究，E-mail:doublexing@163.com．