對(duì)一道穩(wěn)度競(jìng)賽訓(xùn)練題解法的商榷

陳新華

（常州市第一中學(xué)，江蘇 常州 213003）

華東師范大學(xué)出版社出版的高中物理競(jìng)賽考前訓(xùn)練《賽前集訓(xùn)》一書第13頁(yè)第9題如下：

一個(gè)具有正方形截面的均勻長(zhǎng)木塊浮在水中，這個(gè)木塊或以兩個(gè)相對(duì)的側(cè)面平行于水面，或以4個(gè)側(cè)面都和水面成45°角，如圖1所示，試問(wèn)其平衡后的位置可能是圖中的哪一種？說(shuō)明理由（設(shè)水的密度為ρ0，木塊的密度為ρ）.

圖1

原書所給的參考解法如下：

圖2

點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)比較物體穩(wěn)度的計(jì)算題，一般來(lái)說(shuō)，穩(wěn)度跟物體的重心高度和支面大小有關(guān)，重心越低、支面越大時(shí)穩(wěn)度越高.本題就是根據(jù)重心的高低來(lái)判斷物體的穩(wěn)定程度.其關(guān)鍵就在于判斷ha和hb的大小.參考解法的（2）、（3）兩問(wèn)中，分別算出了ha，hb，比較兩者大小時(shí)，用了極限法比較，但極限法討論的重要前提是函數(shù)必須是單調(diào)變化的，實(shí)際上，由第（2）問(wèn)的數(shù)據(jù)，k增大，ha，hb都增大，單從k＝1這一特殊點(diǎn)來(lái)比較兩者的大小，顯然是不夠嚴(yán)密，而筆者通過(guò)以下運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)（2）、（3）兩問(wèn)的條件下并非單調(diào)函數(shù)，用特殊點(diǎn)的運(yùn)算來(lái)代表整個(gè)過(guò)程顯然是不嚴(yán)密的.

以上是筆者對(duì)此題解法嚴(yán)密性的一些補(bǔ)充.仔細(xì)分析，不難發(fā)現(xiàn)用幾何方法解決此題更為便捷.

如圖3，按1、2、3三條虛線所示的位置來(lái)考慮.

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

反思：這是一個(gè)關(guān)于穩(wěn)度問(wèn)題的討論題，但卻向我們展示了求極值和比較大小問(wèn)題的一般處理方法：作差求函數(shù)的極值，本題中作差所得的函數(shù)比較復(fù)雜，帶有根號(hào)，所以并沒(méi)有直接求函數(shù)的極值，而是用解不等式的方法間接求臨界值進(jìn)行討論.也提醒我們除非已經(jīng)很明確函數(shù)的單調(diào)性，否則用某些特殊點(diǎn)的值來(lái)代表整個(gè)函數(shù)進(jìn)行比較，往往會(huì)失之不嚴(yán)密.

用幾何方法討論，大大減少了運(yùn)算量，避免了解二次函數(shù)，并且物理意義較為明晰.但幾何方法解題對(duì)物理思維的要求較高，輔以幾何圖形和輔助線則可以提高處理問(wèn)題的精確性.