一種新的灰色馬爾科夫預(yù)測模型及其應(yīng)用

杜 雯

(鄂東職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖北 黃州438000)

現(xiàn)代奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)是展示世界各國最高競技運(yùn)動(dòng)水平的舞臺(tái)，其所獲獎(jiǎng)牌數(shù)及國家排名不僅是一個(gè)國家體育運(yùn)動(dòng)競技水平的標(biāo)志，也是國家經(jīng)濟(jì)政治和綜合實(shí)力的體現(xiàn)［1－2］。奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌預(yù)測問題也是經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題之一，其理論發(fā)展一直受到關(guān)注，產(chǎn)生了眾多預(yù)測方法［3－6］，如趨勢直線外推法、統(tǒng)計(jì)回歸方法、色預(yù)測模型、時(shí)間序列預(yù)測法、Markov 方法等。

本文將灰色預(yù)測與馬爾科夫預(yù)測模型相結(jié)合，提出了一種新的灰色馬爾科夫預(yù)測模型，并通過對(duì)奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌數(shù)進(jìn)行分析預(yù)測，結(jié)果表明該模型能夠降低運(yùn)算量，提高預(yù)測水平，并克服了傳統(tǒng)奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌數(shù)預(yù)測模型的不足。

1 灰色馬爾科夫預(yù)測模型

灰色馬爾科夫預(yù)測模型的基本思路是:先建立灰色GM (1，1)模型，求出其預(yù)測曲線;再以平滑的預(yù)測曲線為基準(zhǔn)劃分若干動(dòng)態(tài)的狀態(tài)區(qū)間，計(jì)算出馬爾科夫預(yù)測未來狀態(tài)，從而得出預(yù)測值區(qū)間，取區(qū)間中點(diǎn)，最終得到精度較高的預(yù)測值。

⑴GM(1，1)模型

①原始數(shù)據(jù)的累加處理

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)，記為:

對(duì)序列x(0)作一次累加處理，得到新的生成序列為:

累加生成序列克服了原始數(shù)據(jù)序列的隨機(jī)性和波動(dòng)性，將原始數(shù)據(jù)序列轉(zhuǎn)化成規(guī)律性較強(qiáng)的遞增數(shù)據(jù)序列，其目的是為建立微分方程形式的預(yù)測模型作好準(zhǔn)備。

②GM(1，1)模型的建立

微分方程(1)就是灰色GM(1，1)預(yù)測模型［4－6］，其中a，u為常數(shù)，可通過最小二乘法擬合得到:

⑵馬爾科夫預(yù)測

對(duì)于一個(gè)符合n階馬爾科夫非平穩(wěn)隨機(jī)序列y(k)，其任一狀態(tài)Qk可表示為Qk∈［Q1k，Q2k］，其中為原始數(shù)據(jù)的均值。根據(jù)所研究對(duì)象的實(shí)際意義和樣本數(shù)據(jù)的多少來確定Qk的含義，以及狀態(tài)劃分的數(shù)目和常數(shù)ak，bk的值。由狀態(tài)Qi經(jīng)過k步轉(zhuǎn)移到Qj的次數(shù)記為nij(k)，狀態(tài)Qi出現(xiàn)的次數(shù)為ni，則由狀態(tài)Qi經(jīng)過k步轉(zhuǎn)移到Qj的轉(zhuǎn)移概率為pij(k)=則k步轉(zhuǎn)移矩陣記為P =(pij(k)m×m)，于是系統(tǒng)未來時(shí)刻最可能的預(yù)測值為

2 灰色馬爾科夫預(yù)測模型在倫敦奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌數(shù)預(yù)測中的應(yīng)用

根據(jù)第24 屆至第29 屆奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜情況，選取多次出現(xiàn)在獎(jiǎng)牌榜前10 名的5 個(gè)國家［7］，并重點(diǎn)參考近兩屆的排名情況，其基本情況如表1 所示(其中俄羅斯數(shù)據(jù)的第25 屆為獨(dú)聯(lián)體的數(shù)據(jù)，第24 屆為前蘇聯(lián)的數(shù)據(jù)，德國第24 屆的數(shù)據(jù)為民主德國和聯(lián)邦德國的獎(jiǎng)牌數(shù)和)。

對(duì)于表1 中的相關(guān)數(shù)據(jù)，依次對(duì)中國、美國、俄羅斯等國家編號(hào)i=1，2，…，5，將剩余的國家和地區(qū)的綜合編號(hào)i=10，由此確定了所要研究的10 個(gè)國家或地區(qū)。

在計(jì)算獎(jiǎng)牌數(shù)比例時(shí)必須考慮到“東道主效應(yīng)”［8］。競技體育中的“東道主效應(yīng)”是指運(yùn)動(dòng)員在自己的家鄉(xiāng)參加比賽要比在其他地方參加比賽能取得更好的成績。鄧運(yùn)龍統(tǒng)計(jì)了1992 －2000 年這3 屆奧運(yùn)會(huì)中，東道主舉辦當(dāng)屆、上一屆、再上一屆和后一屆獲得金牌、獎(jiǎng)牌排名情況，論證了夏季奧運(yùn)會(huì)確實(shí)存在著東道主效應(yīng)［9］。對(duì)于“東道主效應(yīng)”的測算有很多方式，選用參考文獻(xiàn)［1］中簡單平均法綜合所有各屆奧運(yùn)會(huì)東道主效應(yīng)，所得結(jié)果是:金牌數(shù)的東道主效應(yīng)增幅為11.31%，整體實(shí)力的東道主效應(yīng)增幅為11.71%。而第30 屆奧運(yùn)會(huì)時(shí)中國隊(duì)是客場作戰(zhàn)，因此需要在每屆奧運(yùn)會(huì)中去除東道主效應(yīng)對(duì)獎(jiǎng)牌數(shù)的影響。選取東道主效應(yīng)指數(shù)α=0.1171，則去除東道主效應(yīng)后東道主獎(jiǎng)牌數(shù)

表1 第24 屆至第29 屆奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜

在所研究的數(shù)據(jù)中有東道主效應(yīng)的國家有第26 屆的美國，第27 屆的澳大利亞，第29 屆的中國，獎(jiǎng)牌數(shù)分別為101，58，100 枚，按折合后獎(jiǎng)牌數(shù)分別為91，52，90 枚，將其折合后統(tǒng)計(jì)每屆中各國獎(jiǎng)牌數(shù)見表2 所示。

表2 去除東道主效應(yīng)后的獎(jiǎng)牌數(shù)統(tǒng)計(jì)表

根據(jù)表2 中各國家或地區(qū)獎(jiǎng)牌數(shù)ni(t)與總獎(jiǎng)牌數(shù)N(t)，由式計(jì)算得到各國家或地區(qū)獎(jiǎng)牌數(shù)比例如表3。

表3 各國家或地區(qū)獎(jiǎng)牌數(shù)占總獎(jiǎng)牌數(shù)的比例

下面運(yùn)用上文提出的灰色馬爾科夫預(yù)測模型對(duì)第30 屆倫敦奧運(yùn)會(huì)中國獲獎(jiǎng)牌所占比例進(jìn)行預(yù)測。

Step1:構(gòu)造獎(jiǎng)牌比例序列

對(duì)x(0)進(jìn)行一次累加生成，得生成序列

Step2:構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣B及數(shù)據(jù)向量Y

Step3:計(jì)算^a

于是得到

Step4:建立模型，得預(yù)測方程

Step5:以(k)曲線為基準(zhǔn)，劃分成與(k)曲線平行的三個(gè)區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域構(gòu)成了一個(gè)狀態(tài)如下圖1 所示。

圖1 預(yù)測方程狀態(tài)圖

其中(k)為第k年的預(yù)測值，為歷年獎(jiǎng)牌比率的平均值0.065。由圖1 可知，落入Q1，Q2，Q3三個(gè)狀態(tài)的原始數(shù)據(jù)的樣本點(diǎn)數(shù)分別為n1=n2=n3=2。由狀態(tài)Q1一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Q1、Q2和Q3的原始數(shù)據(jù)樣本點(diǎn)數(shù)分別為n11=1，n12=1，n13=0;由狀態(tài)Q2一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Q1、Q2和Q3的原始數(shù)據(jù)樣本點(diǎn)數(shù)分別為n21=0，n22=1，n23=1;由狀態(tài)Q3一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Q1、Q2和Q3的原始樣本點(diǎn)數(shù)分別為n11=0，n12=1，n13=1。故可得一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為

根據(jù)該矩陣可以判定2012 年中國所獲獎(jiǎng)牌率最有可能處于狀態(tài)Q3，即可能在灰區(qū)間［Q31，Q32］內(nèi)，因此2012 年的中國所獲獎(jiǎng)牌率預(yù)測值

同樣用此方法可依次計(jì)算出各個(gè)國家或地區(qū)獎(jiǎng)牌比率。再根據(jù)各屆的獎(jiǎng)牌總數(shù)假設(shè)下屆的獎(jiǎng)牌總數(shù)為960 枚，最后求得第30 屆奧運(yùn)會(huì)各國家或地區(qū)獎(jiǎng)牌比例和數(shù)量情況如表4 所示。

表4 第30 屆倫敦奧運(yùn)會(huì)各國家或地區(qū)獎(jiǎng)牌比例和數(shù)量預(yù)測值和實(shí)際值比較

由表4 可以看出，整體的預(yù)測效果比較好，預(yù)測的平均相對(duì)誤差均在7%以內(nèi)。因此，可運(yùn)用該預(yù)測模型來預(yù)測第31 屆里約熱內(nèi)盧奧運(yùn)會(huì)世界各國的獎(jiǎng)牌數(shù)，預(yù)測值的可信度將比較高。

本文將灰色理論與馬爾科夫預(yù)測相結(jié)合，提出了灰色馬爾科夫預(yù)測模型?；疑獹M (1，1)預(yù)測所需信息較少，計(jì)算簡便，但由于GM (1，1)模型的解為指數(shù)型曲線，其預(yù)測的幾何圖形是一條較平滑曲線，因而對(duì)波動(dòng)性較大的數(shù)據(jù)列擬合較差，預(yù)測精度較低。而馬爾科夫模型適合于波動(dòng)性較大的數(shù)據(jù)列預(yù)測問題，但它要求研究對(duì)象具有平穩(wěn)過程等特點(diǎn)。因此，本文將兩者取長補(bǔ)短結(jié)合起來，形成了灰色馬爾科夫預(yù)測模型，該模型可有效提高隨機(jī)波動(dòng)較大數(shù)據(jù)列的預(yù)測精度。

［1］ 王國凡，唐學(xué)峰. 奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌預(yù)測國內(nèi)、外研究動(dòng)態(tài)及發(fā)展趨勢［J］. 中國體育科技，2009，45(6):130 －132.

［2］ 王宇鵬，許健. 奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜影響因素的實(shí)證分析［J］. 統(tǒng)計(jì)研究，2008，25(10):57 －62.

［3］ 張正民. 奧運(yùn)會(huì)男子100m 跑成績的灰色GM(1，1)模型預(yù)測［J］. 體育學(xué)刊，2011，18(4):112 －114.

［4］ 肖新平，宋中民，李峰. 灰技術(shù)基礎(chǔ)及應(yīng)用［M］. 北京:科學(xué)出版社，2005.

［5］ 鄧聚龍. 灰預(yù)測與灰決策［M］. 武漢:華中科技大學(xué)出版社，2002，60 －65.

［6］ Rao C J，Peng J，Li C F，Li W. Group decision making model based on grey relational analysis［J］. The Journal of Grey System，2009，21(1):15 －24.

［7］ 張玉超. 第29 屆奧運(yùn)會(huì)中、美、俄國獎(jiǎng)牌分布特點(diǎn)及其啟示［J］. 體育學(xué)刊，2009，16(2):81 －84.

［8］ 吳殿延，吳穎. 2008 北京奧運(yùn)會(huì)中國金牌趕超美國的可能性［J］. 統(tǒng)計(jì)研究，2008，25(3):61 －64.

［9］ 張海波，趙煥成. 北京奧運(yùn)會(huì)中國軍團(tuán)金牌數(shù)的預(yù)測［J］. 統(tǒng)計(jì)與決策，2008，15:76 －77.