計(jì)及塑性接觸層的法向接觸剛度等效方法

劉 意，劉 恒，易 均，王為民

(1.西安交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，西安 710049;2.東方汽輪機(jī)有限公司，四川 德陽(yáng) 618000)

接觸界面廣泛存在于各種工程組合結(jié)構(gòu)中，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力特性影響備受關(guān)注。針對(duì)接觸問題的高度非線性［1-3］，主要有解析與數(shù)值兩種研究:① GW解析模型［4］，只將粗糙面之間的接觸模擬成彈性半球形凸體與剛性面之間的接觸用統(tǒng)計(jì)參數(shù)描述粗糙加工表面接觸狀況，未考慮接觸峰之間的相互作用及塑性影響，實(shí)際應(yīng)用中有一定限制。而MB分形接觸模型［5］、引入彈塑性變形系數(shù)的 MB 修正模型［6］、GW修正模型［7］等等均未考慮接觸面下層材料受力變形情況，無(wú)法完全計(jì)入塑性影響。② 采用限元方法對(duì)粗糙面與剛性面間的彈性與彈塑性接觸問題進(jìn)行的分析［8-11］，為揭示接觸界面的一般機(jī)理提供了依據(jù)。

為清楚接觸界面對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為影響，通常將系統(tǒng)中的接觸界面等效為法向、切向均質(zhì)彈簧［12-13］，避免對(duì)含接觸界面系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析時(shí)造成困難。而準(zhǔn)確性與簡(jiǎn)便性是這類接觸界面等效方法成功與否的重要標(biāo)志。

本文采用典型的粗糙體-剛性面接觸模型，針對(duì)彈、彈塑性兩種材料假設(shè)，對(duì)比分析接觸界面法向剛度等效方法的準(zhǔn)確性，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有方法處理彈塑性材料接觸時(shí)存在較大誤差及誘發(fā)原因。通過對(duì)接觸界面法向剛度定義的修正，實(shí)現(xiàn)處理彈塑性接觸時(shí)與原系統(tǒng)的準(zhǔn)確動(dòng)力等效，驗(yàn)證該方法的準(zhǔn)確性和有效性，為工程中大量含接觸界面系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究提供參考。

1 一般法向接觸剛度等效及不足

1.1 一般法向接觸剛度的定義和求取

圖1(a)為一典型粗糙體與剛性平面受壓接觸的動(dòng)力系統(tǒng)，按常用的等效方法，該系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為可用一層法向均質(zhì)彈簧與一個(gè)無(wú)界面塊體等效，如圖1(b)所示。其中法向均質(zhì)彈簧剛度K由接觸界面特性確定:通過對(duì)粗糙體施加一定法向壓力Pnom，考察粗糙面均值線與剛性平面法向距離u，由式(1)［12］即可得出在該法向載荷下的界面法向接觸剛度，進(jìn)而改變法向壓力得出不同法向載荷下界面法向接觸剛度。

圖1 一般法向接觸剛度等效方法Fig.1 Equivalent method for general normal contact stiffness

為便于區(qū)分，本文將該定義出的接觸界面法向剛度稱為一般法向接觸剛度，將相應(yīng)的等效方法稱為一般法向接觸剛度等效方法。

據(jù)此定義，利用有限元方法在完全彈性與理想彈塑性兩種假設(shè)下，求出圖2所示粗糙體與剛性面接觸受壓時(shí)的一般法向接觸剛度曲線，如圖3所示。圖中粗糙面上的尖點(diǎn)在高度方向服從高斯分布，并考慮三種粗糙度情況。模型其他參數(shù)見表1。

圖2 含粗糙體—?jiǎng)傂悦娼佑|模型Fig.2 The rough-body-and-rigid-plane contact model

表1 粗糙體—?jiǎng)傂悦婺Ｐ蛥?shù)Tab.1 Parameters of the rough-body-and-rigid-plane model

圖3 兩種模型一般法向接觸剛度Fig.3 Pressure vs.general normal contact stiffness for both material

由圖3看出，由于材料模型的不同，求出的一般法向接觸剛度存在明顯不同:① 對(duì)各種粗糙度，采用完全彈性材料時(shí)，一般法向接觸剛度隨載荷的增大而線性增大;② 采用理想彈塑性材料時(shí)，一般法向接觸剛度整體小于完全彈性模型，表現(xiàn)出先增大，而后在接近材料屈服極限時(shí)顯著下降現(xiàn)象，顯然因部分材料進(jìn)入塑性使剛度減小所致。

在求得一般法向接觸剛度后，可得與原系統(tǒng)等效的無(wú)接觸界面等效動(dòng)力系統(tǒng)，如圖4所示。

圖4 采用一般方法的等效動(dòng)力系統(tǒng)Fig.4 Equivalent dynamic system by using general method

1.2 一般界面法向剛度準(zhǔn)確性驗(yàn)證

由于一般法向接觸剛度計(jì)算方法的物理意義明確、計(jì)算簡(jiǎn)單而廣泛應(yīng)用。但此等效動(dòng)力系統(tǒng)與原系統(tǒng)受壓變形時(shí)的動(dòng)力學(xué)行為是否完全一致，需進(jìn)一步驗(yàn)證。本文采用有限元方法在完全彈性與理想彈塑性兩種假設(shè)下，對(duì)二者受壓時(shí)整個(gè)系統(tǒng)的法向變形位移曲線進(jìn)行計(jì)算對(duì)比:對(duì)兩種模型施加0～285 MPa法向壓力，考察系統(tǒng)整體法向位移δ，δe(圖2、圖4)，計(jì)算結(jié)果如5所示。由圖看出:

(1)對(duì)各種粗糙度下完全彈性模型，等效前后系統(tǒng)整體法向位移曲線保持一致，說明一般方法在處理完全彈性接觸時(shí)是準(zhǔn)確的。

(2)對(duì)各種粗糙度下理想彈塑性模型，等效前后其法向位移曲線存在差異，且該差異隨載荷的增大而增大。說明接觸界面法向剛度等效方法在處理彈塑性接觸時(shí)存在明顯誤差，未實(shí)現(xiàn)動(dòng)力特性的完全等效。

1.3 進(jìn)一步研究

為研究原因，圖6給出某一確定載荷壓力下(240 MPa)彈塑性模型等效前后三維應(yīng)力分布。由圖看出:

圖5 等效前后兩種模型整體法向位移對(duì)比Fig.5 Contrast of the systematic normal displacement before and after equivalence for the both material

(1)受表面形貌影響，等效前粗糙面下層材料應(yīng)力分布不均勻，局部發(fā)生塑性變形，最大應(yīng)力大于材料屈服極限，使該部分材料剛度下降。

(2)等效后接觸界面已被一層均質(zhì)彈簧替代，無(wú)界面彈塑性體不再受表面形貌影響，因而未產(chǎn)生應(yīng)力不均、塑性變形及所致的剛度下降。

圖6 理想彈塑性模型受力分布Fig.6 Stress distribution of the ideally elastic-plastic body

顯然，一般法向接觸剛度等效方法在處理彈塑性接觸界面時(shí)存在明顯誤差的原因是未能完全計(jì)及接觸界面附近塑性區(qū)域影響所致。需著重指出的是，雖然彈性模型接觸時(shí)也存在應(yīng)力集中，但由于材料的完全彈性特征，應(yīng)力大小不會(huì)引起彈性模量變化，因而不會(huì)因部分材料進(jìn)入塑性造成剛度下降。

2 接觸界面法向剛度接觸層等效

由分析看出，一般法向接觸剛度等效方法實(shí)質(zhì)是通過考察不同法向載荷下粗糙面均值線與剛性面間的位移變化規(guī)律，得出此區(qū)域法向等效剛度，并將其定義為此接觸界面法向剛度。因考察區(qū)域未含所有塑性范圍，故難以實(shí)現(xiàn)對(duì)原模型在彈塑性接觸時(shí)的完全動(dòng)力等效。

為解決此問題，即將一般方法中計(jì)算接觸界面法向剛度的考察區(qū)域擴(kuò)大，使之能包含實(shí)際所有塑性區(qū)域，在接觸界面法向剛度計(jì)算中計(jì)入塑性區(qū)域影響，接觸界面法向剛度同時(shí)擴(kuò)展為界面接觸層法向剛度。

2.1 界面接觸層法向剛度定義

仍以含粗糙面接觸體與剛性平面受壓接觸的動(dòng)力系統(tǒng)為例，其動(dòng)力學(xué)行為仍用一層法向均質(zhì)彈簧與一無(wú)界面塊體等效，如圖7所示。區(qū)別在于法向均質(zhì)彈簧剛度不再僅等效粗糙面均值線與剛性面間接觸面的剛度，而是包含了系統(tǒng)受壓時(shí)所有塑性區(qū)域及接觸界面虛設(shè)接觸層的法向剛度等效，本文稱其為界面接觸層法向剛度Kcl。通過對(duì)接觸體施加法向壓力Pnom，考察整個(gè)接觸層ucl的法向變形，表達(dá)式為:

圖7 接觸層法向剛度等效方法Fig.7 Equivalent method for contact-layer normal stiffness

2.2 界面接觸層法向剛度求解

確定界面彈塑性接觸層厚度，對(duì)圖2三維粗糙體—?jiǎng)傂悦娼佑|系統(tǒng)施加240 MPa載荷，利用有限元方法給出塑性變形區(qū)域，見圖6(a)，載荷不同，接觸層厚度不斷變化。在載荷范圍內(nèi)改變壓力大小，得到接觸層厚度變化曲線，如圖8所示。

據(jù)不同載荷狀況，將圖8曲線中相應(yīng)的接觸層厚度作為ucl，代入式(2)即可完成界面接觸層法向剛度計(jì)算，結(jié)果如圖9所示。

利用新方法等效后，原系統(tǒng)等效結(jié)果如圖10所示。

圖8 接觸層厚度的變化曲線Fig.8 Pressure vs.the thickness of contact-layer

圖9 界面接觸層法向剛度曲線Fig.9 Pressure vs.contact-layer normal stiffness

圖10 采用新方法得到的等效動(dòng)力系統(tǒng)Fig.10 Equivalent dynamic system by using new method

2.3 新方法準(zhǔn)確性驗(yàn)證

圖11 新方法等效前后系統(tǒng)的整體法向位移Fig.11 Contrast of the systematic normal displacement before and after equivalence by using new method

驗(yàn)證方法同1.2節(jié)，考察新方法在處理彈塑性接觸時(shí)的準(zhǔn)確性。結(jié)果如圖11所示。可以看出:在全載荷范圍內(nèi)，原系統(tǒng)受壓后整體法向位移與等效后模型一致性較好，表明新界面接觸層法向剛度等效方法優(yōu)于一般法向接觸剛度等效方法，并成功解決了后者在處理彈塑性接觸時(shí)誤差較大問題。

需著重指出的是，該接觸層等效方法多針對(duì)平面之間的接觸狀況，對(duì)分析圓柱面或球面接觸情況尚需改進(jìn)，但可將小面積平面接觸剛度粗略為圓柱面或球面接觸剛度，以作簡(jiǎn)化之用。

3 應(yīng)用舉例

新方法完全計(jì)入塑性影響后，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力特性造成何種影響，為此本文以機(jī)床中存在的接觸系統(tǒng)為例進(jìn)行相關(guān)分析。建立圖12的接觸系統(tǒng)模型，該系統(tǒng)由兩相同粗糙體組成，在載荷壓力Pnom作用下粗糙面發(fā)生接觸，接觸狀態(tài)能反映真實(shí)情況。兩接觸界面粗糙度均為3.2 m，其它參數(shù)同表1中理想彈塑性材料。

圖12 兩粗糙體接觸系統(tǒng)Fig.12 Two-rough-body contact system

分別采用新方法與一般等效方法對(duì)兩粗糙體接觸系統(tǒng)進(jìn)行等效。由于新方法中彈簧包含接觸層厚度，導(dǎo)致其無(wú)界面塊體長(zhǎng)度較小，見圖13。兩種方法等效后，系統(tǒng)中A點(diǎn)振動(dòng)量隨頻率變化規(guī)律如圖14所示。接觸界面在切向方向完全固結(jié)，系統(tǒng)阻尼比0.05。

圖13 兩種方法等效動(dòng)力系統(tǒng)Fig.13 Tow equivalent systems by using the both methods

由圖14看出，與現(xiàn)有方法相比，新方法等效后系統(tǒng)一階臨界頻率略降低，一臨界處振動(dòng)量有所增大。此為新方法完全計(jì)入材料塑性影響，使系統(tǒng)整體剛度下降所致。需要指出的是，含接觸界面動(dòng)力系統(tǒng)載荷、約束及界面在其中的位置均會(huì)影響新方法的改進(jìn)效果，此尚需進(jìn)一步研究。

4 結(jié)論

(1)一般界面法向剛度等效方法處理彈塑性材料接觸時(shí)存在較大誤差，主因?yàn)樗x的界面法向剛度由考察不同法向載荷下粗糙面均值線與剛性面間位移變化規(guī)律得出，無(wú)法完全計(jì)及因表面形貌造成的局部應(yīng)力集中及塑性屈服影響。

(2)通過將界面法向剛度定義擴(kuò)展為包含接觸界面及附近所有塑性區(qū)域接觸層剛度，可有地克服現(xiàn)有接觸界面法向剛度定義的不足，能實(shí)現(xiàn)處理彈塑性接觸時(shí)與原系統(tǒng)準(zhǔn)確動(dòng)力等效。

(3)與一般界面等效方法相比，新方法使系統(tǒng)一階臨界頻率略有降低，一臨界處振動(dòng)量有所增大。

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