挖掘隱含結(jié)論 提升解題能力

☉浙江省開(kāi)化縣第二中學(xué) 曹嘉興

挖掘隱含結(jié)論 提升解題能力

☉浙江省開(kāi)化縣第二中學(xué) 曹嘉興

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書(shū)中提出了“教師十誡”，其中第八誡是：“要找出手邊題目中那些可能對(duì)解后來(lái)題目有用的特征——即設(shè)法揭示出隱含在眼前具體情形中的一般模型”.下面就從一道典型中考題的解法入手，談?wù)勅绾瓮诰螂[含在題目的具體解法中的一般結(jié)論（不妨稱(chēng)之為隱含結(jié)論），然后應(yīng)用這些結(jié)論解決幾道與之相關(guān)的中考題，從而實(shí)現(xiàn)“抓住一道題，帶出一串題”.

題目 （2010年寧夏卷）如圖1，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，將△ABD沿AB所在的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)E處；將△ACD沿AC所在的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，分別延長(zhǎng)EB、FC使其交于點(diǎn)M.

（1）判斷四邊形AEMF的形狀，并給予證明；

（ 2）若BD=1，CD=2，試求四邊形AEMF的面積.

圖1

從第（1）題的解法中不難看出，四邊形AEMF的形狀（正方形）依賴(lài)于△ABC的形狀（含45°角的銳角三角形），正方形AEMF的邊長(zhǎng)就等于△ABC的邊BC上的高AD，這正是本題圖形的一個(gè)“有用的特征”.在第（2）題的解法中，BD和CD的具體數(shù)值（ 即BD=1，CD=2）并不重要，重要的是BD、CD與正方形AEMF的邊長(zhǎng)之間的聯(lián)系，而關(guān)系式（*）中正隱含著它們之間的聯(lián)系，不考慮BD和CD的具體數(shù)值就可以從關(guān)系式（*）中挖掘出更一般的結(jié)論.事實(shí)上，在Rt△BMC中，由勾股定理得BM2＋CM2＝BC2，注意到BM=EM-BE=AD-BD，CM=FM-CF=AD-CD， 于是（ADBD）2＋（ AD-CD）2＝（ BD＋CD）2.

這就得到了含45°角的銳角三角形的一個(gè)基本性質(zhì).

性質(zhì)1：在銳角△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC邊上的高，則AD2=AD·BC+BD·CD.

運(yùn)用性質(zhì)1我們可以十分簡(jiǎn)潔地證明含45°角的銳角三角形的其他重要性質(zhì).

性質(zhì)2：如圖2，在銳角△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC邊上的高，在△ABC的外部作∠BAE=∠CAD，∠CAF=∠BAD分別交直線(xiàn)BC于E、F，則BE2＋CF2=BC2.

如同等腰直角三角形一樣，含45°角的銳角三角形也是一類(lèi)特殊的三角形.在近幾年的各地中考試題中經(jīng)常出現(xiàn)以含45°角的銳角三角形為背景的試題，然而在現(xiàn)行教材中并沒(méi)有給出這類(lèi)三角形的性質(zhì)，致使不少同學(xué)感到難以應(yīng)對(duì).如果以上面所得到的這兩個(gè)基本性質(zhì)作為解題的突破口，就可以使這類(lèi)題目化難為易，迎刃而解.

分析：前兩個(gè)小題其實(shí)是為推導(dǎo)本文性質(zhì)1作準(zhǔn)備，設(shè)AD的長(zhǎng)為x，根據(jù)本文性質(zhì)1就容易列出方程，解之即得AD的長(zhǎng).

解：（ 1）連接OB和OC．因?yàn)镺E⊥BC，所以BE＝CE．

點(diǎn)評(píng)：這道中考題與2010年寧夏卷基本相同，因而解題思路和方法有一定的類(lèi)比性，但改為以圓為背景又有一定的新穎性.由此可以看出利用基本圖形改編試題是目前中考命題的常用方法.性質(zhì)1雖然是解題的突破口，但作為解答題還需記住并寫(xiě)出性質(zhì)的詳細(xì)推理過(guò)程.

例3 （2011年咸寧卷）（1）如圖5，在正方形ABCD中，△AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC、CD邊上，高AG與正方形的邊長(zhǎng)相等，求∠EAF的度數(shù)；

分析：從圖形上看，圖6的一個(gè)關(guān)鍵特征是45°角的頂點(diǎn)與等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)重合，這正是本文性質(zhì)2的圖形特征，因此只需將本題的條件轉(zhuǎn)化為性質(zhì)2的條件即可得出所要的結(jié)論.

點(diǎn)評(píng)：第（2）小題的命題意圖是利用旋轉(zhuǎn)變換從圖6中推導(dǎo)出關(guān)系式BM2+ND2=MN2（即性質(zhì)2），然后利用該關(guān)系式來(lái)解決第（3）小題，但初中學(xué)生對(duì)于利用圖形變換來(lái)解決幾何問(wèn)題并不十分熟悉.事實(shí)上，不用旋轉(zhuǎn)變換直接利用性質(zhì)1也可以推導(dǎo)出性質(zhì)2.

目前，很多中考試題的設(shè)計(jì)大多采取學(xué)生比較熟悉的幾何圖形，以這些幾何圖形的基本性質(zhì)為基礎(chǔ)，通過(guò)逐步探究，不斷加大難度來(lái)考查學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.這類(lèi)試題因其能充分體現(xiàn)《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）》中所提出的“培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐探索能力”的要求而受到各地中考命題專(zhuān)家的青睞，往往是各地中考試卷中的“壓軸題”和“拉分題”.因此，在平時(shí)的解題教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生從題目所給的幾何圖形和解法中挖掘出“隱含結(jié)論”的能力就顯得尤為重要.羅增儒教授在文［3］中給出的分析解題過(guò)程的一些操作，如：看是否可以用更一般的原理去代替現(xiàn)存的許多步驟，以提高整個(gè)解題的觀點(diǎn)和思維的層次；看是否可以用一個(gè)更特殊的技巧去代替現(xiàn)存的常規(guī)步驟，以體現(xiàn)解題的奇異美；看解題過(guò)程中哪一個(gè)是最實(shí)質(zhì)的步驟，抓住這一步既可簡(jiǎn)化過(guò)程又可迅速推廣.這些操作確實(shí)有助于我們從題目所給的幾何圖形和解法中挖掘出有用的“隱含結(jié)論”，進(jìn)而改進(jìn)解法并把它作為今后解決類(lèi)似問(wèn)題的突破口.總之，教會(huì)學(xué)生如何從題目所給的幾何圖形和解法中挖掘出“隱含結(jié)論”是教會(huì)學(xué)生“怎樣解題”的一個(gè)必要步驟，也是提升學(xué)生解題能力的一個(gè)有效方法.

1.［美］喬治·波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)——對(duì)解題的理解、研究和講授［M］.劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯.北京：科學(xué)出版社，2006.

2.楊世明，王雪琴.數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的藝術(shù)——數(shù)學(xué)探索中的合情推理［M］.青島：中國(guó)海洋大學(xué)出版社，1998.

3.羅增儒.分析解題過(guò)程的操作［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬刊），2009，5.

4.景敏，周靜.中考試題的類(lèi)比推理能力考法分析［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2010，4.

5.李天舟.淺談中考試題的編制方法 ［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2012，10.FH