包含偽Smarandache函數(shù)與Euler函數(shù)的兩個方程

高 麗， 魯偉陽， 郝虹斐

(延安大學 數(shù)學與計算機科學學院， 陜西 延安 716000)

0 引言

Lin Cheng[4]也討論了一個包含偽Smarandache函數(shù)的均值，得到漸近式：

張文鵬[6]教授討論了方程Z(n)=S(n)和Z(n)+1=S(n)的正整數(shù)解問題；

范盼紅[7]在其碩士論文中研究了方程Z(n)=φ(n)可解性問題，并給出解有如下形式：

(1)n=p，其中p為素數(shù)；(2)n=2p，其中p≡1(mod 4)；(3)n=2kp，其中，p≡1(mod 4),且p|(2k-1-1).

本文作者前期已經(jīng)對方程φ(n)=Z(n2)的可解性問題進行了研究.在此基礎上，本文利用初等方法討論兩個方程φ(n)=Z(nk)與Z(n)+φ(n)=2n的可解性問題，并給出其所有正整數(shù)解.

1 基本定義及引理

定義[8]Euler函數(shù)φ(n)定義為不大于n且與n互素的正整數(shù)的個數(shù).

引理1[8]Euler函數(shù)為積性函數(shù)，即對于任意互素的正整數(shù)m和n，則有φ(mn)=φ(m)φ(n).

引理3[8]對于素數(shù)p與α≥1，有φ(pα)=pα-pα-1.

引理4[9]對任意的素數(shù)p≥3，Z(p)=p-1.引理5[9,10]對任意的素數(shù)p≥3及k∈N，Z(pk)=pk-1.當p=2時，則有Z(2k)=2k+1-1.引理6[9]Z(n)是不可加的，即Z(m+n)不恒等于Z(m)+Z(n)；Z(n)也不是可乘的，即Z(m·n)不恒等于Z(m)·Z(n).

引理7[10]Z(n)≤2n-1;若n為奇數(shù)，則Z(n)≤n-1.

2 主要結論及其證明

定理1對任意的正整數(shù)n和k≥2，方程

φ(n)=Z(nk)

(1)

僅有正整數(shù)解n=1.

下面提到的p，pi均為素數(shù).

證明：對正整數(shù)n進行分類討論.

(1)當n為奇數(shù)時，可分為以下4種情況討論：

(ⅰ)當n=1時，φ(1)=Z(1)=1，所以n=1是方程(1)的解.

(ⅱ)當n=p(p≥3)時，φ(p)=p-1，Z(pk)=pk-1，則φ(p)≠Z(pk)，所以n=p不是方程(1)的解.

(ⅲ)當n=pt(p≥3)，t>1時，φ(pt)=pt-1(p-1),Z(pkt)=pkt-1,φ(pt)≠Z(pkt)，所以n=pt不是方程(1)的解.

亦即:

(p1-1)(p2-1)…(pt-1)，顯然不成立.

(2)當n為偶數(shù)時，可分為以下3種情況討論：

(ⅰ)當n=2t(t≥1)時，φ(2t)=2t-1，Z(2kt)=2kt+1-1，則φ(2t)≠Z(2kt)，所以n=2t不是方程(1)的解.

(ⅱ)當n=2tpl且t≥1，p≥3,l≥1時，φ(2tpl)=φ(2t)φ(pl)=2t-1pl-1(p-1)，如果φ(n)=Z(nk)成立，則由函數(shù)Z(n)的定義知：

亦即:

pk(l-1)+1?[2k-1pl-1(p-1)+1],

所以

2kα0mk|(2α0-2φ(m))(2α0-1φ(m)+1),

又(2kα0,mk)=1，所以，2kα0?(2α0-2φ(m))，mk?(2α0-1φ(m)+1),所以

2kα0mk?(2α0-2φ(m))(2α0-1φ(m)+1),

綜上所述，方程(1)僅有正整數(shù)解n=1.

定理2對任意的正整數(shù)n，方程

Z(n)+φ(n)=2n

(2)

僅有正整數(shù)解n=1,2.

定理2的證明與定理1證明類似，下面進行簡單證明.

證明：(1)當n為奇數(shù)時，可分為以下4種情況討論：

(ⅰ)當n=1時，顯然成立，所以n=1是方程(2)的解.

(ⅱ)當n=p(p≥3)時，Z(p)=p-1，φ(p)=p-1，則Z(p)+φ(p)=2(p-1)≠2p，所以n=p不是方程(2)的解.

(ⅲ)當n=pk(p≥3)，k>1時，Z(pk)=pk-1,φ(pk)=pk-1(p-1),則Z(pk)+φ(pk)=2pk-pk-1-1≠2pk,所以n=pk不是方程(2)的解.

(2)當n為偶數(shù)時，可分為以下4種情況討論：

(ⅰ)當n=2時，顯然成立，所以n=2是方程(2)的解.

(ⅱ)當n=2k(k>1)時，Z(2k)=2k+1-1，φ(2k)=2k-1，顯然不成立，所以n=2k不是方程(2)的解.

(ⅲ)當n=2kpl且k≥1,p≥3,l≥1時，有φ(2kpl)=φ(2k)φ(pl)=2k-1pl-1(p-1),由Z(n)+φ(n)=2n可得：Z(n)=2n-φ(n)=2k-1pl-1(3p+1)，則由函數(shù)Z(n)的定義知：

又(2,p)=1,2k-1pl-1(3p+1)+1為奇數(shù)， 2不能整除2k-1pl-1(3p+1)+1，所以只能p整除2k-1pl-1(3p+1)+1，顯然不成立.

因此，n=2kpl不是方程(2)的解.

綜上所述，方程(2)僅有正整數(shù)解n=1,2.

3 結束語

關于偽Smarandache函數(shù)的性質(zhì)雖然取得了不少進展，但是仍然存在不少問題.本文在文獻[6,7]研究的基礎上，利用初等方法對兩個包含偽Smarandache函數(shù)的方程可解性問題進行了研究，并得到其所有正整數(shù)解，拓寬了偽Smarandache函數(shù)在方程問題的研究內(nèi)容.

[1] Kashihara Kenichiro.Comments and topics on smarandache notions and problems[M].USA:Erhus University Press,1996.

[2] A.A.K.Majumdar.A note on the Pseudo-Smarandache function[J].Scientia Magna,2006,2(3):1-25.

[3] Yuanbing Lou.On the pseudo smarandache function[J].Scientia Magna,2007,3(4):48-50.

[4] Lin Cheng.On the mean value of the Pseudo-Smarandache function[J].Scientia Magna,2007,3(3):97-100.

[5] Yani Zheng.On the pseudo smarandache function and its two conjectures[J].Scientia Magna,2007,3(4):74-76.

[6] 張文鵬.關于F.Smarandache函數(shù)的兩個問題[J].西北大學學報，2008,38(2):173-175.

[7] 范盼紅.對Catalan數(shù)的性質(zhì)以及關于Smarandache函數(shù)的幾個方程的研究[D].西安：西北大學，2012.

[8] Tom M.Apostol.Introduction to analytic number theory[M].New York: Spring-Verlag, 1976.

[9] 馬 榮. Smarandache函數(shù)及其相關問題研究[M].USA:The Educational Publisher, 2012.

[10] Richard Pinch.Some properties of the Pseudo Smarandache function[J].Scientia Magna,2005,1(2):167-172.