基于t分布的BEEK-MVGARCH的股指期貨套期保值率研究

鄭 帥, 王建國, 程曉雪

(西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院, 陜西 西安 710055)

0 引言

股指期貨[1],是指以股價(jià)指數(shù)為標(biāo)的物的標(biāo)準(zhǔn)化期貨合約，雙方約定在未來的某個(gè)特定日期，可以按照事先確定的股價(jià)指數(shù)的大小，進(jìn)行標(biāo)的指數(shù)的買賣.股指期貨是我國推出的第一個(gè)金融衍生產(chǎn)品，對(duì)于我國資本市場具有重大的意義.風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移是股指期貨的一個(gè)重要功能，自我國2010年4月16日正式推出股指期貨后，運(yùn)用股指期貨對(duì)投資進(jìn)行套期保值就得到了廣泛的應(yīng)用.套期保值投資策略，是指在期貨市場買進(jìn)(賣出)，與現(xiàn)貨交易方向相反的期貨，以期在未來某一時(shí)間，通過賣出(或買進(jìn))期貨合約，補(bǔ)償因?yàn)楝F(xiàn)貨市場價(jià)格不利變化帶來的損失.套期保值投資策略最重要的部分就是套期保值率的確定.套期保值比率，是指一份現(xiàn)貨，需要購買多少比例的股指期貨來進(jìn)行套期保值.不同比例的股指期貨合約會(huì)有不同的套期保值效果.因此在股指期貨套期保值應(yīng)用中，確定面臨風(fēng)險(xiǎn)最小下的最優(yōu)套期保值率是套期保值理論研究的核心和重點(diǎn).

本文在多元GARCH(BEEK-MVGARCH)模型套期保值研究的基礎(chǔ)上考慮了殘差服從t分布的BEEK-MVGARC模型[2-4]對(duì)計(jì)算方差最小下最優(yōu)套期保值比率的影響.并對(duì)殘差服從正態(tài)分布和t分布這兩種不同分布下的BEEK-MVGARCH模型的套期保值績效進(jìn)行相應(yīng)的比較.

1 模型和方法

1.1 最小方差套期保值率

最小方差套期保值比率是由最小化期貨和現(xiàn)貨套期保值組合的收益率方差所得到的套期保值比率[5].假設(shè)我們進(jìn)行多頭套期保值，現(xiàn)貨的持有數(shù)量為1，rs,t為t時(shí)刻現(xiàn)貨價(jià)格的收益率，rf,t為t時(shí)刻期貨價(jià)格的收益率，rp,t為現(xiàn)貨和期貨套期保值組合的收益率，我們需要賣空h比例的期貨來進(jìn)行套期保值.整個(gè)組合的收益率為：

rp,t=rs,t-hrf,t

(1)

由(1)知，在進(jìn)行套期保值的過程中期貨市場和現(xiàn)貨市場持有的頭寸是相反的，rp,t就是現(xiàn)貨收益率和期貨收益率之差.對(duì)(1)式兩邊取方差，得：

(2)

先對(duì)(2)式關(guān)于h求一階導(dǎo)數(shù)：

(3)

對(duì)(3)式求關(guān)于h的一階導(dǎo)數(shù)，即(2)式關(guān)于h的二階導(dǎo)數(shù)：

(4)

當(dāng)對(duì)h的二階導(dǎo)為正數(shù)時(shí)，令h的一階導(dǎo)數(shù)為0，這樣就可以得到(2)式的最小值，也就是期貨和現(xiàn)貨套期保值組合收益率方差的最小值.

由以上推導(dǎo)可以看出(4)式恒大于0，所以(3)式等于0時(shí)，可以得到股指期貨和現(xiàn)貨組合收益率方差的最小值.

(5)

(5)式為最小方差下的套期保值公式.h為套期保值比率，ρ為期貨價(jià)格收益率和現(xiàn)貨價(jià)格收益率之間的相關(guān)系數(shù)，σs,t為現(xiàn)貨價(jià)格收益率序列的標(biāo)準(zhǔn)差，σf,t為期貨價(jià)格收益率序列的標(biāo)準(zhǔn)差.從(5)可以看出，要計(jì)算最小方差下的套期保值比率，一是計(jì)算期貨價(jià)格和現(xiàn)貨價(jià)格收益率之間的相關(guān)系數(shù)ρ或者是協(xié)方差，二是計(jì)算現(xiàn)貨價(jià)格和期貨價(jià)格收益率的標(biāo)準(zhǔn)差σs,t，σf,t.

1.2 厚尾多元t分布的定義及性質(zhì)

1.2.1 厚尾分布

一個(gè)分布被稱為厚尾分布是指：如果與具有相同均值μ和方差σ2的正態(tài)分布相比，它在尾部區(qū)域有更高的概率密度.

從峰度角度來說，如果厚尾分布的峰度比3要大，就被稱為尖峰態(tài)；如果峰度等于3，就被稱為常態(tài)；如果峰度小于3，就被稱為低峰態(tài).

1.2.2 一元t分布

學(xué)生氏t分布(t>4)的均值、方差、偏度、峰度為：

μ=0

skewness=0

(6)

(7)

1.2.3 多元t分布

t(y;μ,Σ,υ)=

如果υ≤2，Cov(Y)沒有定義Σ可以理解為形狀參數(shù).

當(dāng)p=2時(shí)，

t(y;μ,Σ,υ)=

,則向量Y服從2維t分布.

1.3 最小方差下基于t分布的BEEK-MVGARCH

(1,1)套期保值率計(jì)算模型

大量實(shí)證研究證明二維GARCH(1,1)足以刻畫金融時(shí)間序列的二階矩波動(dòng)且比更高階模型在刻畫二階矩的波動(dòng)效果好.由于在計(jì)算股指期貨套期保值率的過程中，只考慮期貨價(jià)格和現(xiàn)貨價(jià)格這兩組時(shí)間序列，因此本文選用二維GARCH(1,1)模型[6].

BEEK-MVGARCH(1,1)-t模型的定義如下：

rs,t=μs+εs,t

rf,t=μf+εf,t

其中：Ai，Bj為對(duì)稱方陣，K為三角矩陣.

其中，hsf,t為股指期貨和現(xiàn)貨收益的條件協(xié)方差，hs2,t，hf2,t為股指期貨和現(xiàn)貨收益的條件方差.

未知參數(shù)集合為：

θ={μs,μf,γss,γfs,γff,αss,αsf,αff,βss,βsf,βfs,βss,υ}

參數(shù)數(shù)值的確定可通過下列最大似然函數(shù)得到：

其中T為觀察值的總個(gè)數(shù).

2 實(shí)證分析

2.1 數(shù)據(jù)選擇

本文選用滬深300股指期貨的日收盤價(jià)作為期貨數(shù)據(jù)，股指期貨的標(biāo)的是滬深300指數(shù).股指期貨交易包括四張合約，即當(dāng)月、次月以及隨后的連續(xù)兩個(gè)季月.股指期貨合約到期后會(huì)進(jìn)行交割，因此就會(huì)出現(xiàn)不連續(xù)的數(shù)據(jù).由于股指期貨合約采用現(xiàn)金交割的方式，所以交割月作用比較小，并且在股指期貨的四張合約中，當(dāng)月合約的交易量比較大，所以本文通過在交割日時(shí)把當(dāng)月合約的收盤價(jià)進(jìn)行連接起來的辦法產(chǎn)生連續(xù)的期貨報(bào)價(jià).文章中的股指期貨數(shù)據(jù)來自于中金所(www.cffex.com.cn).滬深300指數(shù)來自于新浪財(cái)經(jīng).本文利用2010.4.16至2012.6.30的樣本數(shù)據(jù)對(duì)套期保值率進(jìn)行估計(jì)，其中除去周末和節(jié)假日，共計(jì)535組數(shù)據(jù).

2.2 數(shù)據(jù)處理結(jié)果

2.2.1

圖1 滬深300指數(shù)和股指期貨時(shí)間序列走勢圖

可以看出，滬深300指數(shù)和滬深300股指期貨的走勢基本一致，通過計(jì)算兩者相關(guān)系數(shù)為0.845 3,相關(guān)性較好，滿足套期保值策略的基本要求.

2.2.2描述性統(tǒng)計(jì)

首先對(duì)期貨和現(xiàn)貨數(shù)據(jù)的收益率序列進(jìn)行描述性檢驗(yàn).收益率序列即對(duì)原序列進(jìn)行一階對(duì)數(shù)逐期差分得到[7,8].

表1 對(duì)數(shù)收益率的描述性統(tǒng)計(jì)

通過表1可以得到：

J-B統(tǒng)計(jì)量服從自由度為2的χ2，其臨界值為5.992.由表1可知，期貨和現(xiàn)貨的J-B統(tǒng)計(jì)量的值分別為102.088 6和53.954 52均大于臨界值，因此拒絕收益率服從正態(tài)分布的假設(shè)；其次，期貨和現(xiàn)貨收益率序列的峰度值都大于3，說明收益率序列具有尖峰厚尾的特征.而期貨和現(xiàn)貨收益率序列的偏度值都不為0，說明收益率序列具有弱左偏性.因此本文引入t分布是十分必要的.

2.3 實(shí)證結(jié)果

根據(jù)上面數(shù)據(jù)檢驗(yàn)的結(jié)果，分別對(duì)現(xiàn)貨價(jià)格和期貨價(jià)格收益率序列建立殘差服從t分布的BEEK-MVGARCH模型和殘差服從正態(tài)分布的BEEK-MVGARCH模型.采用上述兩種模型來估計(jì)股指期貨的動(dòng)態(tài)套期保值率.根據(jù)上述模型計(jì)算出的股指期貨的BEEK-N和BEEK-T的動(dòng)態(tài)套期保值比率，我們做出其走勢圖.

圖2 股指期貨的BEEK-N和BEEK-T的動(dòng)態(tài)套期保值率走勢圖

觀察圖2可以看出模型BEEK-N和BEEK-T計(jì)算出的套取保值比率的重合率很小，殘差對(duì)BEEK模型的套期保值比率影響還是比較大的，而且BEEK-T計(jì)算得到的股指期貨套期保值比率普遍高于BEEK-N模型，這說明殘差服從不同分布對(duì)模型計(jì)算套期保值比率的影響較大.

接著利用Ederington[9,10]提出的套期保值績效比較方法對(duì)不同分布的BEEK-MVGARCH模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較.該方法是利用對(duì)現(xiàn)貨資產(chǎn)進(jìn)行套期保值后方差減小的比率來衡量套期保值的效果，通過以下公式來比較的：

(8)

其中，ut為未進(jìn)行套期保值的現(xiàn)貨頭寸，ht為套保后的投資組合，var(rut)為投資組合未經(jīng)過套保的收益方差.由(8)表示套期保值對(duì)現(xiàn)貨價(jià)格波動(dòng)減少的比率，其越接近1套期保值效果越好[11].

表2 套期保值收益率均值、標(biāo)準(zhǔn)差

從表2可以看出，不管使用哪種分布的BEEK-MVGARCH模型估計(jì)出來的套期保值比率進(jìn)行套期保值，套保后的收益率的標(biāo)準(zhǔn)差都明顯變小，有效的回避了風(fēng)險(xiǎn).同時(shí)由套期保值績效值可以看出，殘差服從t分布的BEEK-MVGARCH模型的套期保值效果好于殘差服從正態(tài)分布的模型.

3 結(jié)束語

從本文得到的最優(yōu)套期保值率的結(jié)果來看，殘差服從t分布的BEEK-MVGARCH模型的套期保值績效要好于殘差服從正態(tài)分布的BEEK-MVGARCH.基于風(fēng)險(xiǎn)最小化原則比較發(fā)現(xiàn)，不論殘差服從何種分布，使用套期保值策略都可以很大程度的降低組合風(fēng)險(xiǎn).說明GARCH的動(dòng)態(tài)模型適合長期、動(dòng)態(tài)的市場環(huán)境.

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