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    兩個(gè)平面鏡成像的規(guī)律

    2013-01-17 01:58:36余念祖
    物理通報(bào) 2013年9期
    關(guān)鍵詞:虛像紙面平面鏡

    余念祖

    (昆明第十二中學(xué) 云南 昆明 650041)

    對(duì)兩個(gè)有一定夾角的平面鏡成像問(wèn)題的研究,是單個(gè)平面鏡成像知識(shí)的擴(kuò)展和延伸.兩個(gè)平面鏡成像的現(xiàn)象存在于我們生活中,只要我們稍加留意就不難發(fā)現(xiàn)它.因此,研究這一現(xiàn)象,發(fā)現(xiàn)它的規(guī)律也具有實(shí)際意義.

    先對(duì)成像過(guò)程及相關(guān)名稱作簡(jiǎn)單介紹.

    如圖1所示,設(shè)M,N兩平面鏡鏡面夾角為θ

    (0<θ<180°),兩鏡面被紙面所截,且均垂直于紙面.AA′和BB′是兩鏡及其延展面跟紙面的交線,O點(diǎn)是這兩直線的交點(diǎn)(也是三面交點(diǎn)).今在兩鏡面間的紙面上任一位置放一個(gè)小物體S(可視為一個(gè)點(diǎn)),線段SO跟M鏡面的夾角∠SOA=α,跟N鏡面的夾角∠SOB=β(平面鏡兩個(gè)面,一個(gè)是不反光的鏡背,另一個(gè)是反光的鏡面.這里的角是SO跟鏡面的夾角).

    圖1

    S在M鏡后對(duì)稱位置成一像SM1.此像在N鏡前,對(duì)N鏡可作為物點(diǎn)而在其后成像SM2.SM2在M鏡前,又可作為物而在M鏡后成像SM3.直至一鏡所成的像落在另一鏡后或鏡面上,這個(gè)像再也不能作為物而成像了.這個(gè)像是最后的像,叫做終像.圖中SM3就是終像.為方便討論,我們把S在M鏡后的第一個(gè)像和以它為物反復(fù)在兩鏡后所成的像稱為M系列的像,并按成像先后依次記為SM1,SM2,SM3,…,SMm.SMm便是M系列的終像.同理,我們把S在N鏡后成的第一個(gè)像和以它為物反復(fù)在兩鏡后所成的像叫N系列的像(過(guò)程不再重復(fù)).按先后依次記為SN1,SN2,SN3,…,SNn.SNn便是N系列的終像(圖中N系列的終像是SN4).像記號(hào)右下腳碼第一個(gè)是字母,表示系列名稱;第二個(gè)腳碼是數(shù)字,表示它是該系列的第幾個(gè)像.顯然,第二腳碼是奇數(shù)的像是跟該系列名稱相同的鏡(同名鏡)所成的像,第二腳碼為偶數(shù)的是跟該系列名稱不相同的鏡(異名鏡)所成的像.如圖中SM1,SM3,SN2,SN4是M鏡成的像,SM2,SN1,SN3是N鏡成的像.

    物點(diǎn)和像點(diǎn)跟三面交點(diǎn)O的連線分別叫物心線和像心線(如SO、SM1O等),其長(zhǎng)度是物心距和像心距.物心線跟某鏡面的夾角簡(jiǎn)稱為物對(duì)該鏡面的角;同樣,某像心線跟某鏡面的夾角稱為該像對(duì)該鏡面的角.這里須注意:物對(duì)同一鏡的“面”和“背”之角的和是360°;同一像對(duì)同一鏡的“面”和“背”之角的和也是360°.因此S對(duì)M鏡面的角是α,則S對(duì)M鏡背的角是360°-α.

    下面我們就利用上述的說(shuō)明和介紹討論兩平面鏡成像的規(guī)律.

    1 像和物共面共圓

    先證明像和物共面.因物點(diǎn)在紙面上,紙面同時(shí)垂直兩平面鏡,而像和物又關(guān)于鏡面對(duì)稱,因此物點(diǎn)和它在兩鏡后反復(fù)所成的全部像都在紙面上.即像和物同在過(guò)物點(diǎn)而垂直于兩鏡的平面.

    既然像和物共面,且又關(guān)于鏡面對(duì)稱,則所有的像心距必等于物心距.因此像和物都在以三面交點(diǎn)O為圓心,以物心距長(zhǎng)為半徑的圓周上.

    2 兩系列虛像數(shù)

    系列中第幾個(gè)像是終像,該系列就有幾個(gè)像.但確定終像,須討論終像區(qū)和終像條件.

    2.1 終像區(qū)和終像條件.

    我們知道,一鏡所成之像位置在另一鏡前,它可以作為物體在另一鏡后成像.但如果一鏡所成之像落在另一鏡之后,它不能作為物而再次成像了.因此,不論哪一系列,也不論哪個(gè)平面鏡所成的像,只要它落在以兩鏡延展面為邊界所夾的區(qū)域內(nèi)或邊界上(圖中OA′及OB′所夾之區(qū)域),此像就再也不能作為物而成像了,這個(gè)像就是該系列的終像.上述的角∠A′OB′所占有的區(qū)域(含邊界)叫終像區(qū).

    什么樣的像才能落在終像區(qū)呢?從圖中不難看出,當(dāng)一鏡所成的像對(duì)另一鏡面之角等于或大于180°而又小于180°+θ時(shí),此像一定在終像區(qū)了(等于180°時(shí),像在邊界上;大于180°而小于180°+θ時(shí),像在終像區(qū)內(nèi)).因此終像條件應(yīng)是:一鏡所成的像對(duì)另一鏡面的角等于或大于180°而小于180°+θ.

    2.2 兩系列各自的虛像數(shù)

    從本文附圖中可以看出在M系中:

    S對(duì)M鏡面的角φMO=α,在M鏡后對(duì)稱位置成像SM1;

    SM1對(duì)N鏡面的角φM1=θ+α<180°,表明SM1在N鏡前,可作為物在N鏡后成像SM2;

    SM2對(duì)M鏡面的角φM2=2θ+α<180°,表明SM2在M鏡前還可作為物在M鏡后成像SM3;

    SM3對(duì)N鏡面的角φM3=3θ+α>180°而小于180°+θ,表明SM3已在終像區(qū)內(nèi)了.它是M系列的終像.M系列有3個(gè)像.

    同理,在N系列中:

    S對(duì)N鏡面的角φNO=β,在N鏡后成像SN1;

    SN1對(duì)M鏡面的角φN1=θ+β<180°,表明可作為物在M鏡后成像SN2;

    SN2對(duì)N鏡面的角φN2=2θ+β<180°,表明可作為物在N鏡后成像SN3;

    SN3對(duì)M鏡面的角φN3=3θ+β<180°,表明可作為物在M鏡后成像SN4;

    SN4對(duì)N鏡面的角φN4=4θ+β>180°,但小于180°+θ,表明SN4在終像區(qū)內(nèi),SN4是系列的終像.N系列有4個(gè)像.

    應(yīng)注意上面討論中兩點(diǎn):

    (1)像記號(hào)和角記號(hào)的第二腳碼就是θ角的系數(shù).

    (2)第二腳碼若為奇數(shù),該角是同名鏡成的像對(duì)異名鏡面的角;若為偶數(shù),則該角是異名鏡成的像對(duì)同名鏡面的角.

    現(xiàn)將上面的討論推廣到一般情況中去.

    對(duì)M系列,若φMm=180°表示SMm在終像區(qū)邊界上;若φMm>180°而小于180°+θ,則SMm在終像區(qū)內(nèi).表示SMm是M系列的終像.

    對(duì)N系列,若φNn=180°在終像區(qū)邊界上,若180°<φNn<180°+θ,表示SNn在終像區(qū)區(qū)域內(nèi).SNn是N系列的終像.

    因此,如果SMm和SNn是終像則一定有

    180°≤φMm<180°+θ

    180°≤φNn<180°+θ

    因φMm=mθ+α,φNn=nθ+β,故有

    180°≤mθ+α<180°+θ

    (1)

    180°≤nθ+β<180°+θ

    (2)

    此兩式就是終像條件式.

    由此可知M系列有m個(gè)像,N系列有n個(gè)像,但m和n的數(shù)值還需進(jìn)一步討論.由式(1)、(2)可知m和n應(yīng)滿足

    180°=kθ+δ

    代入(1)、(2)兩式后整理得

    (3)

    (4)

    上兩式中m和n只能是自然數(shù),因此當(dāng)

    (5)

    (6)

    3 虛像的總數(shù)

    兩平面鏡所成虛像的總數(shù)不一定等于m+n因兩系列的終像可能重合.如果重合,則總像數(shù)

    Z=m+n-1

    重合條件的討論并不十分困難,因所有的像是共面共圓的,只要討論終像對(duì)相應(yīng)鏡面的角就足夠了.下面分兩種情況討論.

    (1)若m≠n,它們的差僅為1,因此若一個(gè)是奇數(shù),另一個(gè)必為偶數(shù),那么φMm和φNn必為兩終像SMm和SNn對(duì)同一個(gè)鏡面的角.若要兩終像重合必須φMm=φNn,即mθ+α=nθ+β.由于α和β均小于θ,它們的差更不可能等于θ,則等式φMm=φNn不成立.故當(dāng)m≠n時(shí),兩終像不重合.

    (2)若m=n,則m和n同為奇數(shù)或同為偶數(shù),那么φMm和φNn必為兩終像對(duì)不同鏡面的角,故考慮到兩鏡面朝向相反(順時(shí)針和逆時(shí)針?lè)较?,且?jiàn)A角為θ,要使兩終像重合,必須

    φMm+φNn=360°+θ

    如果m=n=k+1,左邊

    φMm+φNn=mθ+α+nθ+β=

    (k+1)θ+α+(k+1)θ+β=2kθ+3θ

    右邊

    360°+θ=2×180°+θ=

    2(kθ+δ)+θ=2kθ+2δ+θ

    因δ<θ,則φMm+φNn>360°+θ,兩終像也不重合.

    如果m=n=k,左邊

    φMn+φNn=mθ+a+nθ+β=

    2kθ+(a+β) =2kθ+θ

    右邊

    360°+θ=2kθ+2δ+θ

    顯然如果δ≠0,上述重合條件式φMm+φNn=360°+θ不能成立,兩終像仍不重合.只有當(dāng)δ=0時(shí),φMm+φNn=360°+θ才能成立,兩終像才重合.

    因此兩終像重合必要而充分的條件是:δ=0,

    這樣,虛像的總數(shù)就有以下幾種可能.

    (2)δ≠0時(shí),終像不重合,這時(shí)m和n可能同為k;可能一為k,一為k+1,也可能同為k+1.則虛像總數(shù)Z=2k或Z=2k+1或Z=2k+2.具體的數(shù)值要由式(5)至式(8)中的條件決定.

    可見(jiàn)兩平面鏡成的像總數(shù)不僅決定于θ角,還決定于角α和β的大小(物點(diǎn)的位置).

    4 對(duì)以上所討論的規(guī)律須注意幾點(diǎn)

    (1)上述公式是在0<θ<180°的情況下推出的.若θ=180°,上述公式無(wú)實(shí)際意義.因θ=180°時(shí),實(shí)際就是一個(gè)平面鏡,不可能有兩系列的像.

    (2)若θ=0,上述公式不再適用.但若θ=0看成是兩平面鏡鏡面對(duì)鏡面平行的話.那么上述的某些方法和結(jié)論仍然是有用的.例如,當(dāng)兩鏡面不在一平面且相向平行,就沒(méi)有終像區(qū)了,可成無(wú)限多個(gè)像;又因兩鏡面相向不在一平面且平行,則過(guò)鏡面的兩平面永不相交,這可以理解為物心距無(wú)限大,像心距也無(wú)限大,則可視為物點(diǎn)和它的全部像點(diǎn)均分布在同一直線上(共線).

    5 總結(jié)

    以上的論述和證明較散,需要?dú)w納一下.

    5.1 符號(hào)和腳碼

    SMm和SNn,φNm,φNn分別為兩系列的像符號(hào)和角符號(hào).第一腳碼是系列名稱;第二腳碼是數(shù)字.第二腳碼若為奇數(shù),則該像是同名鏡所成之像;該角是該像對(duì)異名鏡面所夾的角.第二腳碼若為偶數(shù),則該像是異名鏡所成之像,該角是該像對(duì)同名鏡面所夾的角.如SM3是M鏡成的像,φM3是SM3對(duì)N鏡面的夾角;SN2是M鏡成的像,φN2是SN2對(duì)N鏡面的夾角.

    5.2 成像規(guī)律

    (1)共面共圓.特珠情況下還共直線.

    (2)成像數(shù)的確定

    終像條件

    (7)

    式中m,n應(yīng)滿足

    (8)

    上兩式中m和n只能是自然數(shù),故當(dāng)

    (9)

    (10)

    已證明:δ=0時(shí)(即180°能被θ整除時(shí)),兩系列終像重合,故成像總數(shù)Z=m+n-1;其他情況Z=m+n,故考慮到式(9)、(10)中的條件,總像數(shù)Z=2k或Z=2k+1或Z=2k+2.

    6 舉例

    【例1】設(shè)M和N兩平面鏡鏡面夾角為θ,物點(diǎn)S對(duì)M,N鏡面的角分別為α和β.試求

    (1)θ=50°,α=40°,β=10°;

    (2)θ=50°,α=26°,β=24°;

    (3)θ=55°,α=30°,β=25°.

    三種情況時(shí)像的總數(shù).

    解析

    (1)當(dāng)θ=50°,α=40°,β=10°時(shí),k=3,δ=30°.由于余數(shù)δ不為零,兩終像不重合,又因β<δ<α,根據(jù)式(5)和式(8),得m=k=3.n=k+1=4,則總像數(shù)Z=m+n=7個(gè);

    (2)θ=50°,α=26°,β=24°時(shí),k=3,δ=30°,兩終像不重合,且δ既大于α又大于β,根據(jù)式(6)和式(8),得m=n=k+1=4,則總像數(shù)Z=m+n=8個(gè);

    (3)θ=55°,α=30°,β=25°時(shí),k=3,δ=15°,兩終像不重合,且δ<α,又δ<β,根據(jù)式(5)和式(7),得m=n=k=3,則總像數(shù)Z=m+n=6個(gè).

    【例2】?jī)善矫骁RM,N的鏡面夾角θ=60°,物點(diǎn)S對(duì)M,N鏡面的角分別為α=40°,β=20°.求兩鏡所成虛像總數(shù)及終像位置.

    解析:θ=60°,α=40°,β=20°時(shí),k=3,δ=0兩終像重合,且由式(5)和式(7)得m=n=k=3,則虛像總數(shù)Z=m+n-1=6-1=5個(gè).

    因φMm=φM3=3θ+α=3×60°+40°=220°,m=3為奇數(shù),則φM3是終像SM3對(duì)異名鏡(N鏡)鏡面的角.故兩終像重合于對(duì)N鏡面的角為220°以O(shè)點(diǎn)為圓心、以物心距長(zhǎng)為半徑的圓周上一點(diǎn).

    為減少篇幅,上述例子的圖形省略了.請(qǐng)讀者自行作圖驗(yàn)證上例中的結(jié)果.

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