圓錐曲線含參問題求解中不等關系的構建

☉湖北省武漢市鋼都中學 姜名山

圓錐曲線含參問題求解中不等關系的構建

☉湖北省武漢市鋼都中學 姜名山

圓錐曲線中的參數(shù)問題一直都是高考的重點和難點，而很多考生往往無從下筆.為此筆者給出幾種解決這類問題的幾種途徑.我們知道要求未知量的值必須建立關于未知量的方程，要求參數(shù)的取值范圍必須要建立關于參數(shù)的不等式.那么，在圓錐曲線中如何尋找不等關系就變得非常重要了，有些不等式一目了然，有些不等關系則暗含在題目條件里.那么從哪幾個方面去尋找不等關系呢？

一、利用幾何圖形中的特殊位置建立不等式

例如橢圓的焦半徑，雙曲線的焦半徑就有一個自身的變化范圍，這個范圍是我們經(jīng)常需要用來建立不等式的.

評析：此題中要求離心率的范圍，那么其實就是建立圓錐曲線中a、b、c三者的不等式，而題目中又涉及到焦半徑，那么就利用橢圓中焦半徑的取值范圍來建立不等式.

二、利用直線和圓錐曲線交點個數(shù)建立不等式

評析：該題有兩個條件和限制k的取值范圍，一個是恒有兩個交點，那么判別式就應當大于零.另外一個就是題目已經(jīng)出現(xiàn)的O≠→A·O≠→B＜6.

三、利用題目中已知的范圍去建立不等式

在有些題目中往往已經(jīng)給出了某個量或者表達式的范圍，那么我們只需要把要求的參數(shù)與該表達式建立起關系，利用已知的范圍進行求解.

例3如圖1，兩條過原點O的直線l1、l2分別與x軸、y軸成30°的角，已知線段PQ的長度為2，且點P（x1，y1）在直線l1上運動，點Q（x2，y2）在直線l2上運動.

圖1

（1）求動點M（x1，x2）的軌跡C的方程；

（2）設過定點T（0,2）的直線l與（1）中的軌跡C交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍.

此題就是利用∠AOB為銳角這個條件建立的關于k的不等式，那么中間把∠AOB為銳角的不等式轉(zhuǎn)換到k上來就是解題的關鍵.

本文重在給學生指出尋找圓錐曲線含參數(shù)問題中不等關系的三個基本思路.以此拋磚引玉，望考生不斷歸納總結，使自己的知識系統(tǒng)更完備.■