載流圓線圈周?chē)艌?chǎng)分布

孟雨

(鄭州大學(xué)物理工程學(xué)院 河南 鄭州 450001)

圓電流的磁場(chǎng)分布是電磁學(xué)中一個(gè)重要而典型的問(wèn)題，不少學(xué)者求解此問(wèn)題時(shí)一般采用矢勢(shì)方法，而即使采用最為基本的畢奧-薩伐爾定律求解時(shí)，求解的結(jié)果也是簡(jiǎn)化后的磁場(chǎng)在固定平面內(nèi)的分布，而非整個(gè)三維空間內(nèi)的分布．究其原因，在于積分的復(fù)雜性．即使求解磁場(chǎng)在平面內(nèi)的分布，也涉及復(fù)雜的橢圓積分.因此對(duì)于磁場(chǎng)在三維空間任意處的分布，更為復(fù)雜．本文采用最為基本的畢奧-薩伐爾定律，通過(guò)一系列變量替換直接在直角系中給出了磁場(chǎng)分布的級(jí)數(shù)形式解．并通過(guò)數(shù)值模擬，形象給出了磁場(chǎng)在空間中的分布情況．

1 載流圓線圈磁感應(yīng)強(qiáng)度

如圖1所示，空間中一閉合圓線圈，其半徑為R，圓線圈位于平面xOz內(nèi)．

圖1

不妨假設(shè)載流線圈中的電流I如圖1所示的方向．現(xiàn)計(jì)算該載流回路在空間任一點(diǎn)P(x,y,z)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度．在載流回路上選取任一微元，其與x軸正方向夾角為θ，如上圖所示．易知其位置坐標(biāo)為(Rcosθ,0,Rsinθ)．則P點(diǎn)到該微元的距離r為

源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的單位方向矢量為

則

(1)

其中

由Rθ=l，得dl=Rdθ，故

(2)

2 積分公式求解

分析式(2)中的積分不難發(fā)現(xiàn)，積分的困難就在于分母的復(fù)雜性．而分母可以表示為下面的形式

其中

(3)

因此本文就先從最基本的積分形式入手．令

其中，通過(guò)分析不難發(fā)現(xiàn)，φ∈[-π,2π]，上式可改寫(xiě)為

(4)

其中

對(duì)I0的進(jìn)一步求解過(guò)程如下.

設(shè)t=sinψ，則

(5)

(6)

以上兩式相減，考慮到[3]

則

(7)

其中

由此得到等式

其中

故

(9)

對(duì)比式(2)中出現(xiàn)的積分，引入?yún)⒘縄1,I2并令

(10)

則由

得到結(jié)果

(11)

其中

將式(4)、(10)代入到式(2)中并整理，則得到以下結(jié)果

(12)

以上式(12)結(jié)果便是求解得到的載流圓線圈周?chē)我馓幙臻g磁感應(yīng)強(qiáng)度分布，當(dāng)然上式還不算是最終結(jié)果，因?yàn)槭街兴婕暗牟煌耆珯E圓積分的具體形式E(m,α,β)，J還沒(méi)有確定，以下便是對(duì)其具體形式的求解．

3E(m,α,β)和J的計(jì)算

不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)0

(13)

又由于

(14)

因此,原則上E(m,α,β)可求．由于

從而可以確定出

(15)

綜上所述，式(12)已是嚴(yán)格意義上的精確解．至此，載流圓線圈周?chē)我馓幙臻g磁感應(yīng)強(qiáng)度分布已由式(12)嚴(yán)格給出．

4 結(jié)果分析

雖然結(jié)果已由上文給出，但式(13)、(14)結(jié)果依然比較復(fù)雜，先對(duì)其進(jìn)一步簡(jiǎn)化．考慮到

則由式(13)、(14)，并取冪級(jí)數(shù)前兩項(xiàng)(第三項(xiàng)已趨于零)，得到

(16)

將相應(yīng)α,β表達(dá)式代入式(8)、(16)，并取冪級(jí)首項(xiàng)，易得

M(α,β)=0

(17)

又由式(11)、(15)得

(18)

故最終

(19)

5 數(shù)值模擬

綜合式(10)、(12)、(19)，用軟件Matlab進(jìn)行數(shù)值模擬，相關(guān)取值如下：μ0=12.566 370 614 4×10-7H·m-1;I=1 A;R=0.2 m.

首先對(duì)式(8)中的Bx進(jìn)行數(shù)值模擬，由于目標(biāo)函數(shù)Bx是關(guān)于空間變量x，y，z的三元函數(shù)，實(shí)際模擬時(shí)本文采用降維方法：由于圓線圈周?chē)艌?chǎng)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)分布，故固定空間變量y，對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行三維模擬．當(dāng)y取0.08 m時(shí)，磁場(chǎng)Bx分布如圖2所示.

圖2

同樣道理，當(dāng)y取0.08 m時(shí)，磁場(chǎng)By，Bz分布如圖3所示.

圖3

6 結(jié)語(yǔ)

對(duì)載流圓線圈周?chē)艌?chǎng)分布的求解一直都是一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題，一方面在于圓形線圈的簡(jiǎn)單性，更重要的在于其方法的推廣性和適用性很強(qiáng)．本文采用最為簡(jiǎn)單的方法，精確求解了載流圓線圈周?chē)艌?chǎng)分布．通過(guò)定性分析易知，By方向磁場(chǎng)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)．由模擬結(jié)果可以明顯看出，Bx，Bz分布具有相似性，且分布結(jié)果對(duì)稱(chēng)分布．由于數(shù)值模擬中計(jì)算E(m,α,β)時(shí)只取了冪級(jí)首項(xiàng)，因此結(jié)果會(huì)有稍許誤差．在誤差可允許的范圍內(nèi)本文的計(jì)算結(jié)果還是較為可信的．

參考文獻(xiàn)

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