麥克斯韋精確驗證電力平方反比律的實驗和理論

魏 標(biāo)

(青川第一高級中學(xué) 四川 廣元 628100)

1 背景

庫倫定律核心是“電力平方反比律”用數(shù)學(xué)表達(dá)為F∝r-2，要驗證這個規(guī)律即要求出F∝r-2+δ中的修正數(shù)δ是否為零.最早提出“電力平方反比律”這一猜想的是普林斯特列(Prestily).然而,這一猜想的提出還得力他的好友富蘭克林(Franklin).富蘭克林曾觀察到放在金屬杯中的小球不受金屬杯上電荷的作用力，他將這一發(fā)現(xiàn)告訴了普林斯特列，同時，讓他重新做這一個實驗以確認(rèn)這個事實.1766年普林斯特列按照富蘭克林所說完成了這個實驗得到相同的結(jié)果，與此同時他聯(lián)想到了一個與此類似的實驗，即把一個小球放在球殼內(nèi)該小球受到的萬有引力為零，因此，他認(rèn)為電荷間作用力也同萬有引力一樣同距離的二次方成反比，于是，就提出了這樣的一個猜想，但由于缺乏有力的實驗論證，這終究還是一個猜想[2].1769年魯賓孫(J.Ronbinson)用間接測量的方法得到修正數(shù)δ=0.06.1772年卡文迪什(H.Canvendish)測得δ=0.02，但他的這一成果并未及時的發(fā)表，直到100年后才被麥克斯韋 (C.Maxwell)整理后發(fā)表.此后庫倫用扭秤實驗測得修正數(shù)δ=0.04.1879年麥克斯韋在劍橋卡文迪什實驗室用類似與卡文迪什的方法得到的修正數(shù)位δ=5*10-5，以后有許多人都從事了這一項工作得到的修正數(shù)逐漸縮小，直到1979年得到的修正數(shù)數(shù)量級已達(dá)到了10-16[1].

下面就詳細(xì)的介紹麥克斯韋如何通過實驗和數(shù)學(xué)推算得到δ=5*10-5.

2 驗證思路

電磁學(xué)中的高斯定理是在修正數(shù)δ=0時得到的，應(yīng)用高斯定理我們得到一個帶電的空腔導(dǎo)體內(nèi)部帶電量Q內(nèi)=0，如果δ≠0則帶電的空腔導(dǎo)體內(nèi)部帶電量就不為零，此時高斯定理也需要修正.可以看出驗證電力平方反比律的關(guān)鍵是檢驗帶電空腔導(dǎo)體內(nèi)部的帶電量.

3 麥克斯韋的實驗步驟

如圖1所示，A金屬殼的半徑為a，B金屬殼的半徑為b.

圖1

(1)充電，閉合C，A-B相連，此時設(shè)內(nèi)部球殼B帶電β，外部球殼A帶電α.

(2)將球殼A接地放電.

(3)用儀器探測球殼B的帶電情況.

4 麥克斯韋實驗的分析

在第一步實驗中閉合C，A-B相連，這時A,B就有相同的電勢設(shè)為V,即此時有

VA(α,β,a,b,δ)=VB(α,β,a,b,δ)=V

該等式可以消去α，從而得到

β=β(V,δ,a,b)

(這里要做一個簡要的說明即VA(α,β,a,b,δ)表示的是影響電勢VA的因素有α,β,a,b,δ，以下出現(xiàn)類似的表達(dá)式意義相同.)

在第二步實驗中將A球殼接地,此時A的電勢就為零，若設(shè)此時其帶電量為α′，則

5 δ值的具體推算過程

在完成上述實驗的基礎(chǔ)上來計算δ的值，就要先計算出一個帶電球殼外任意一點P的電勢表達(dá)式.如圖2所示,將一個球簡化為一個平面來說明球面上的一個面積元SAB，設(shè)其帶電量為dq，球面的電荷密度為σ.

圖2

(1)

令

且

dq=σa2sinθdθdφ

代入式(1)得到

(2)

令

代入式(2)得

(3)

因為

r2=a2+b2-2abcosθ

所以

rdr=absinθdθ

代入式(3)得到

(4)

θ=π時

r=r1=a+b

θ=0時，當(dāng)P點在球外

r=r2=b-a

當(dāng)P點在球內(nèi)

r=r2=a-b

當(dāng)P在球上時

r=r2=0

由于α=4πa2σ當(dāng)P在球殼外時

當(dāng)P點在球殼上時

當(dāng)P點在球殼內(nèi)部時

在得到帶電球殼任意一點P的電勢表達(dá)式后，我們就可以推廣到兩個球殼，如圖3.

圖3

根據(jù)上面的推導(dǎo)得到外殼A上的電勢表達(dá)式

(5)

內(nèi)殼B上的電勢表達(dá)式

(6)

這樣，在球的內(nèi)外球殼電勢表達(dá)式的基礎(chǔ)上，就可以根據(jù)實驗的步驟進(jìn)行計算分析：

在實驗的第一步中，合C，A-B就連接成一個整體，此時內(nèi)、外球殼的電勢就相等，即

VA=VB=V

(7)

式(5)、(6)、(7)聯(lián)立求解得

β=2Vb{b[f(2a)-f(0)]-a[f(a+b)-

f(a-b)]}{[f(2a)-f(0)][f(2b)-f(0)]·

[f(a+b)-f(a-b)]}-1

(8)

VA=0

(9)

式(5)、(9)聯(lián)立求解得

(10)

將式(8)、(10)代入式(6)得

(11)

由于

且

所以

故而

將其代入式(11)得

麥克斯韋將當(dāng)時的實驗數(shù)據(jù)a,b值帶入上式得到

(12)

圖4

圖5

圖6

最后,在用靜電計測量大球的電勢為D，即

(13)

同時,這樣的D也可以同最大零點漂移比較發(fā)現(xiàn)

D>300d

(14)

聯(lián)立式(12)～(14)得到

即

(15)

聯(lián)立式(12)、(15)得

即

δ<5*10-5

參考文獻(xiàn)

1 陳熙謀. 電力平方反比律的實驗驗證.大學(xué)物理，1982(1)：11～15

2 郭奕玲. 庫侖定律的實驗驗證.物理，1981，10(12)：760～764